SUMÁRIO FUNÇÕES POLINOMIAIS
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- Sílvia Teixeira de Sintra
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1 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 Ministrante Profª. Drª. Luciana Schreiner de Oliveira Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da Unicamp SUMÁRIO FUNÇÕES POLINOMIAIS Depois de tratarmos das funções de uma forma genérica e da função do 1º. Grau, é hora de passarmos a discutir funções que são usadas com maior frequência na modelagem de fenômenos reais. Nesta aula trataremos das funções quadráticas. As funções modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, por sua vez, serão apresentadas em aulas futuras.
2 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05
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4 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 OBS: A curva mostrada na Fig 4. inclui o trecho entre x=15 e x=140, no qual os valores de f(x) são negativos. Esse trecho foi usado apenas para completar a trajetória até o ponto de queda, não implicando que, na prática, a bola tenha tido uma altura negativa, o que só aconteceria se ela fosse enterrada no solo. 4
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23 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 3
24 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 4
25 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 EXERCÍCIOS 5
26 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 RESPOSTAS: ACESSAR (VER P. 378) 6
27 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 Ministrante Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da Unicamp
28 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 8
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39 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 RESPOSTAS: ACESSAR (VER P. 190) 39
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41 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 41
42 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 4
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50 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÃO PARCIAL Fração Racional Quando o grau f(x) é menor que o grau de g(x), F(x) = () Racional Própria: caso contrário, F(x) é chamada de Fração Racional Imprópria. () é chamada Fração Fração Racional Própria Toda fração racional própria pode ser expressa como uma soma de frações parciais (com o objetivo de se obter frações mais simples). Decomposição em Frações Parciais Definição: Considere que p(x) e q(x) são polinômios. A função definida por f(x) = () () é chamada de função racional. Este método consiste em escrever a fração racional como soma de frações mais simples. Por exemplo: = / + / Vamos apresentar dois casos do Método: CASO 1: O denominador q(x) = (x ± a 1 )(x ± a ) (x ± a n ): onde a 1, a,, a n são distintos. Neste caso a decomposição é da forma: p(x) q(x) = A 1 A A n (x ± a 1 ) + (x ± a ) + + (x ± a n ) 50
51 Exemplo: Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 Temos que calcular A e B. x + x 9 = x + x 9 = A x 3 + B x + 3 A x 3 + B x + 3 = A(x + 3) + B(x 3) (x 3)(x + 3) Então : x + = A(x + 3) + B(x 3), para qualquer x real. Fazendo x = 3 teremos: 3 + = A( 3 + 3) + B( 3 3); 6B = 1; B = 1/6. Fazendo x = 3 teremos: 3 + = A(3 + 3) + B(3 3); 6A = 5; A = 5/6 Assim: = / + / Exercício Proposto: Decomponha a fração algébrica em frações parciais: = CASO : O denominador q(x) = (x ± a 1 ) r1 (x ± a ) r (x ± a n ) rn, onde a 1, a,, a n são distintos e r 1, r,, r n são as multiplicidades dos fatores (x ± a i ). Neste caso a decomposição é da forma: p(x) q(x) = A 11 (x ± a 1 ) + A 1 (x ± a 1 ) + + A 1r1 (x ± a 1 ) r1 + A 1 (x ± a ) + A (x ± a ) + + A r (x ± a ) r + A n A nrn + (x ± a n ) + + (x ± a n ) rn A n1 (x ± a n ) 51
52 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 Exemplo 1: Aplicando a regra: 3x x x dx 3x x x A 1 1 x A x B x B x 3x x x A1xx Ax B 1x x B x x x x x 1 Daí, 3x A xx A x B x x B 1 x 6 B x 6 4B x 0 0 A A 0 6 B 4 3 Substituindo os valores de A e B na igualdade você obtém: 3 3x A1x x B1x x x 3 3x A1x x B1x x x Fazendo x =1 e x = -1 na igualdade, você obtém: x A1 11 B A 1 3B 1 x ( 1) A1 ( 1) 1 B 1 ( 1) 1 ( 1) A1 B1 3 A 1 B1 3 A 1 B 1 Resolva o sistema formado pelas equações 3 e A1 3B 9 18A 1 1 6B 1 3 6A1 B 1 3 A 1 B 3 A 1 1 B 3 A 1 1 B 1 Somando membro a membro essas equações, A1 A1 você obtém: 8 4 Substituindo este valor na segunda equação você obtém, 3 3 B B B B B
53 A 1 4 A 0 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 B 1 4 Então, 3x x x A1 A x x Assim, 3x x x 3 / 4 x 3 / 4 x 3x dx 3 x x / 4 dx x FRAÇÃO ALGÉBRICA IMPRÓPRIA Decomposição de funções impróprias Para a decomposição de uma função racional imprópria (dividindo se o numerador pelo denominador) escreve-se a função como soma de uma função polinomial e uma função racional própria. Exemplo 1: 53
54 Exemplo : Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 06 LISTA DE EXERCÍCIOS FRAÇÕES PARCIAIS Decomponha as funções racionais abaixo em frações parciais: a) b) = = / resp: + / + / resp: +/ + / + / c) / = resp: + / + / + / d) = / resp: + / + / 54
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