Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL AULA 09: INTEGRAL INDEFINIDA E APLICAÇÕES TÓPICO 01: INTEGRAL INDEFINIDA E FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO Como foi visto no tópico 2 da aula 4 a derivada de uma função f representa o quociente de duas quantidades infinitesimais, mas até este momento não se enfatizou o significado do numerador e denominador dessa razão que são chamados de diferenciais; o objetivo inicial deste tópico é estabelecer e interpretar as diferenciais, o que será de grande relevância no cálculo integral. Em seguida será introduzido o conceito de integral indefinida, trata-se de uma família de funções que é obtida através de um processo inverso a derivação. Posteriormente, serão relacionadas às fórmulas de integração que constituem a base do cálculo integral, isto é, as fórmulas que decorrem diretamente das fórmulas de derivação ou destas através de mudanças de variáveis simples. Vale observar que a habilidade na utilização de tais fórmulas, constitui tarefa indispensável ao estudo dos tópicos posteriores e só é possível se o estudante resolver uma quantidade substancial de exercícios que estão propostos no exercitando deste tópico. Quando se faz, diz-se que é uma VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de (ou uma variação infinitesimal do valor ). Suponha que f seja contínua em, então implica que logo sendo f contínua em possível interpretar que é taxa (ou razão) de duas quantidades infinitesimais. Se tal limite existe é dito é dito a TAXA (OU RAZÃO) INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO de y em relação a x em, então sendo tem-se Sejam x um valor qualquer no domínio de uma função f e uma variação de x (conforme foi visto no tópico 2 da aula 04), então a DIFERENCIAL DE X é indicada por dx e definida como sendo essa variação, ou seja, Se existe, então é aproximadamente igual a para próximo de 0, ou seja, para próximo de 0, daí para próximo de 0. A quantidade é chamada a DIFERENCIAL DE Y e é indicada por dy, assim ou ainda, Para interpretar geometricamente, considere a figura seguinte. VEJA

2 Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo é retângulo, onde é a inclinação da reta tangente, daí Portanto, DY é a variação da ordenada da reta tangente correspondente a variação DX da abscissa. Observe que a aproximação entre pode ser melhor quanto menor for. Dada uma função f definida num intervalo I, diz-se que uma função F é uma INTEGRAL(primitiva ou antiderivada) de f em I, se para todo. Assim, para encontrar uma integral de uma função num intervalo é necessário efetuar o processo inverso ao da derivação, esta operação é chamada de INTEGRAÇÃO (primitivação ou antiderivação). Com a familiaridade que se tem com a derivação, não haverá dificuldade para se obter integrais de algumas funções, por exemplo: se então é uma integral de f (x) em R, pois para todo Observe que não é a única integral de em R, pois adicionando qualquer valor constante no segundo membro de ainda se tem uma integral de ; logo (por exemplo): e são também integrais de em R. Desta forma, se C é um valor constante arbitrário, então é uma integral de em R. Em geral, se C é uma constante arbitrária e y = f(x) é uma integral de f (x) num intervalo I, então é também uma integral de f (x) em I. DÚVIDA O que não está evidente é a resposta da pergunta: se y =f (x) é uma integral de f (x) em I, então qualquer outra integral de f (x) em I é da forma? A resposta é afirmativa, a justificativa decorre do corolário do teorema 2 do tópico 1 da aula 06 pois sendo outra integral qualquer de f (x) em I, G e F têm a mesma derivada f (x) em I, logo (do corolário) G e F diferem de uma constante em I e assim para todo. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais que para todo, então existe uma constante C tal que para todo.

3 Uma integral F de uma função f num intervalo I adicionada a uma constante arbitrária C, dada por é dita a INTEGRAL INDEFINIDA de f (x) em relação a x e a constante C é chamada uma CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO. O símbolo é chamado de SÍMBOLO DA INTEGRAL INDEFINIDA e é usado para representar a integral indefinida da função f num intervalo da seguinte forma Nesta representação, f(x) é chamada de INTEGRANDO e dx indica que x é a VARIÁVEL DE INTEGRAÇÃO (isto é, a variável em relação a qual se deve derivar F (x) para obter f (x)). Assim, para o exemplo dado inicialmente, escreve-se onde é o integrando e EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular as seguintes integrais indefinidas: (a) Tem-se pois (b) Tem-se pois EXEMPLO PROPOSTO 1 Calcular as integrais e verificar que o resultado está correto: A constante de integração C pode ser determinada quando se deseja que a integral satisfaça alguma condição, que é chamada de CONDIÇÃO INICIAL (ou condição de contorno), por exemplo: suponha que o valor da integral seja para então isto é, está determinada. O exemplo seguinte dá uma ilustração.

4 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Achar a função G tal que Tem-se pois Sendo obtém-se daí C = -2, portanto é a função procurada. EXEMPLO PROPOSTO 2 Determinar a função G tal que e Verificar o resultado. A constante de integração C dá origem a uma família de funções definidas por e que é chamada de FAMÍLIA A UM PARÂMETRO. Geometricamente, estas funções representam uma família de CURVAS PARALELAS (isto é, nos pontos de interseções das curvas com uma reta vertical, todas as retas tangentes às curvas são paralelas), como se encontra ilustrado na figura seguinte. VEJA PARADA OBRIGATÓRIA O cálculo integral é uma tarefa mais difícil que o cálculo diferencial, este às vezes requer artifícios de notória complexidade. A seguir seção serão estabelecidas fórmulas e técnicas simples que serão de grande utilidade no cálculo integral. Entretanto vale chamar a atenção, que existem integrais que não podem ser expressas como FUNÇÕES ELEMENTARES (isto é, funções resultantes de um número finito de operações algébricas envolvendo as funções até agora estudadas). No século XIX, foi provado por Liouville ( -- Joseph Liouville ( ), matemático francês.) que integrais como não podem ser expressas como funções elementares, isto é, não existe função elementar cuja derivada seja

5 fazem parte também de tal grupo de integrais (provado também por Liouville) as integrais elípticas ( -- A expressão 'integral elíptica', deve-se ao fato de que o comprimento de uma elipse é expresso através de uma integral desse tipo.) isto é, qualquer integral da forma onde é uma função racional e y é a raiz quadrada de uma função polinomial de terceiro ou quarto grau em x, como por exemplo, Através das fórmulas de derivação já estabelecidas, é possível calcular a derivada de qualquer função elementar derivável; entretanto, as fórmulas de integração não têm um papel tão geral, tais fórmulas, na maioria das vezes, apenas auxiliam o cálculo integral. A seguir estão relacionadas as fórmulas de integração, que servem de base para o cálculo integral. As justificativas de tais fórmulas serão efetuadas ou comentadas no texto complementar indicado no final deste tópico. As três primeiras fórmulas valem para qualquer função, devido a isso, são consideradas como propriedades da integral indefinida. VEJA (1) A integral indefinida da derivada de uma função ou da diferencial da função é a função adicionada a constante de integração, isto é, Particularmente, sendo tem-se (2) A integral indefinida de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela integral indefinida da função, ou seja, onde a é uma constante. Em outras palavras, uma constante permuta com o sinal de integração. (3) A integral indefinida da soma ou diferença de duas funções é a soma ou diferença das integrais indefinidas das funções, isto é, Resulta das fórmulas (2) e (3) que onde é constante. (4) Se u e uma função de x e derivável, então Particularmente, se obtém-se

6 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular as integrais: (a) Pela fórmula (ii) mas (pela fórmula e (pela fórmula (i)) logo substituindo os resultados das três últimas integrais na integral proposta, obtém-se (b) Tem-se (c) Tem-se Outra forma de aplicar a fórmula 4 no cálculo desta integral, é fazendo uma mudança de variável (isto é, mudando de forma conveniente a variável x para a variável u). Assim, considerando tem-se portanto substituindo x + 1 e dx na integral, obtém-se: (d) Tem-se

7 A integral também pode ser calculada, mudando para a variável u onde Cada integral calculada pode ser verificada, por derivação do resultado encontrado. Assim, no item d, por exemplo, que é o integrando da integral do item d, logo o cálculo da integral está correto. EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a integral para mostrar que: AS FÓRMULAS (5) ATÉ (17)

8 EXEMPLO RESOLVIDO 4 Calcular as integrais: (a) (1º Solução) pois ou seja, (2º Solução) (3º Solução) (b) Tem-se (c) Tem-se (d) Tem-se (e) Tem-se EXEMPLO PROPOSTO 4 Calcular a integral para mostrar que:

9 AS FÓRMULAS (18) ATÉ (20) EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular as integrais: (a) Tem-se (b) Tem-se EXEMPLO PROPOSTO 5 Calcular a integral para mostrar que: No conjunto das fórmulas de integração, não aparecem fórmulas para integrar, por exemplo, as funções logarítmicas e as trigonométricas inversas, o motivo é que das fórmulas básicas de derivação não se tem diretamente o integrando; mais precisamente, não há na relação de fórmulas dadas nos tópicos 1 da aula 05 e nos tópicos das aulas 07 e 08, por exemplo, uma fórmula do tipo onde f (x) seja conhecida, a fim de que se tenha

10 O seguinte procedimento, conhecido como INTEGRAÇÃOPORPARTES, permite calcular as integrais das funções logarítmicas e trigonométricas inversas, além de vários outros exemplos. Sejam u e v funções de x e deriváveis, então (da fórmula para derivar o produto) e daí Integrando os dois lados da última equação, obtém-se a FÓRMULADE INTEGRAÇÃOPORPARTES, dada por Observe que esta fórmula não resolve de imediato o problema de calcular a tal integral passa a depender da que em certos casos, para uma escolha conveniente de u e dv, é mais fácil de calcular do que a integral proposta. O método é ilustrado nos exemplos seguintes. EXEMPLO RESOLVIDO 6 Calcular Tem-se Logo, usando a fórmula de integração por partes, obtém-se EXERCÍCIO PROPOSTO 6 Mostrar que No exemplo resolvido 6, a primeira constante de integração (resultante da integral, não aparece no resultado final da integral; em geral, isto sempre ocorre. A fim de provar tal afirmação, observe que

11 Portanto, é desnecessário colocar a constante de integração no momento em que for encontrada a função v a partir de dv Isto será posto em prática a partir do exemplo seguinte. EXEMPLO RESOLVIDO 7 Calcular as integrais: (a) Tem-se Logo, usando a fórmula de integração por partes, obtém-se (b) Tem-se assim Considere agora daí Substituindo, tem-se onde (c) Tem-se então Considere agora

12 então Como à direita da equação aparece a integral proposta, somando esta integral nos dois lados da equação, tem-se ou seja, EXERCÍCIO PROPOSTO 7 Mostrar que: LEITURA COMPLEMENTAR No texto "Demonstrações das Fórmulas de Integração", serão encontradas as demonstrações de algumas das fórmulas ou comentadas. ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 2 e 4 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 1; 10 e 12 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 2; 26 e 34 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 3; 40 e 59 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. A questão 5 do trabalho, será indicada no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc, docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado. Responsável: Professor Antonio Falcão Neto Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual