CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as operações e principais resultados de funções contínuas; Calcular o ite de uma função composta. Nessa aula definiremos função contínua em um intervalo e abordaremos suas principais propriedades 1 Funções Contínuas Definição 1. Seja I um intervalo e a I, dizemos que uma função f : I R é contínua em a se f(x) = f(a) Observação 1. Para que f seja contínua em a, devem ser satisfeitas as seguintes afirmações: (1) f está definida em a; (2) f(x) existe e; (3) f(x) = f(a). Exemplo 1. As funções f, g : R R dada por f(x) = c e g(x) = x são contínuas em todo a R. Solução: Seja a um número real qualquer. Então f(x) = c = c = f(a) E também g(x) = x = a = g(a) Logo, as funções constante e identidade são contínuas Observação 2. Dizemos que uma função é contínua em um intervalo I se ela é contínua em todos os x I. Graficamente, podemos reconhecer o gráfico de uma função contínua como sendo um gráfico sem problemas, em outras palavras, um gráfico em que possamos traçá-lo sem tirar o lápis do papel, ou seja um gráfico que não apresenta furos e saltos. O seguinte gráfico exemplifica tal ideia 1

2 Figura 1: Gráfico de uma função contínua Se f não atende a definição 1 em a é chamada descontínua em a. Graficamente, podemos reconhecer que uma função é descontínua se o seu gráfico apresenta furos e saltos, tais como os gráficos dos seguintes exemplos: Figura 2: Gráfico de uma função descontínua(1) Figura 3: Gráfico de uma função descontínua(2) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Figura 4: Gráfico de uma função descontínua(2) Figura 5: Gráfico de uma função descontínua(3) Como é do nosso interesse efetuarmos certos cálculos com funções contínuas, exibiremos o próximo teorema que lista as principais funções contínuas. Teorema 1. As seguinte funções são contínuas em seus respectivos domínios: (i) Polinomiais; (ii) Racionais; (iii) Exponenciais; (iv) Trigonométricas; (v) Potências; (vi) Logarítmicas. Mostraremos alguns exemplos de utilização desse teorema. Exemplo 2. Calcule: (a) x 2 5x 2 6x + 2; Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 (b) x 3 3x 2 + 2x 5x 10 ; (c) x 1 e x ; (d) x 0 senx; (e) (f) (g) cos x; x 4π 0 Solução: 5 x; ln x. x 25 Utilizando o teorema 1, obtemos que (a) x 2 5x2 6x + 2 = = = 10 (b) Fazendo f(x) = 3x2 + 2x 5x 10, temos que = 5 0. Logo, 3 D f. Dessa forma, 3x 2 + 2x x 3 5x 10 = = 33 5 (c) (d) (e) (f) (g) x 1 e x = e ( 1) = e 1 = e senx = sen 0 = 0 x 0 cos x = cos(4π) = 1 x 4π 0 5 x = 5 10 ln x = ln 25 = ln x = 2 ln 5 2 Operações com Funções Contínuas O resultado dessa seção é de grande importância para efetuarmos cálculos com funções contínuas. Teorema 2. Sejam f, g : I R funções contínuas em a I e considere c uma constante. Então, (i) f + g é contínua em a e (f + g)(x) = f(a) + g(a); (ii) f g é contínua em a e (f g)(x) = f(a) g(a); (iii) cf é contínua em a e (cf)(x) = cf(a); (iv) fg é contínua em a e (fg)(x) = f(a)g(a); Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 (v) Se além disso, g(a) 0 então f g ( ) f é contínua em a e (x) = f(a) g g(a) Os seguintes exemplos ilustram bem a utilização do teorema 2. Exemplo 3. Calcule: (a) x 2 6x + 2 x 2 x 3 4x + 5 ; x 2 + ln x 6sen x (b) x 5 x 2 ; 16x 2x cosx + 1 (c) ; x 0 2x 1 (d) x 2π ex (tgx + cossecx); (e) x 3 (x 2 6x)(3x 5)(x 10). Solução: (a) Escrevendo onde h(x) = x2 6x + 2 x 3 4x + 5 = f(x) g(x) f(x) = x 2 6x + 2 e g(x) = x 3 4x + 5. Podemos entender f(x) e g(x) como soma de funções: dadas por f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) e g(x) = g 1 (x) + g 2 (x) + g 3 (x) f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 6x f 3 (x) = 2 g 1 (x) = x 3 g 2 (x) = 4x g 3 (x) = 5 Note que as funções f 1 (x), f 2 (x),f 3 (x), g 1 (x), g 2 (x) e g 3 (x) são contínuas. Então, pelo teorema 2 (i) temos que f(x) e g(x) são contínuas. Sendo assim, e Como g( 2) 0 então, segue do item (v) que f(x) = x 2 ( 2)2 6.( 2) + 2 = 18 g(x) = x 2 ( 2)3 4.( 2) + 5 = 5 f(x) h(x) = x 2 x 2 g(x) = 18 5 Os próximos ites serão calculados diretamente, sem explicitar todos os passos do cálculo. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 (b) Considere h(x) = x2 + ln x + 6sen x x 2 16x = f(x) g(x) Noter que f(x) e g(x) são funções contínuas, pois são soma e diferença de funções contínuas. Agora, note que g(5) = = = 55 0 Logo, pelo teorema 2 (v), temos que (c) Observe que x 2 + ln x + 6sen x x 5 x 2 = 52 + ln 5 6sen 5 25 ln 5 6sen 5 16x 5 2 = h(x) = 2x cosx + 1 f(x) 2x 1 g(x) em que f(x) = 2x cosx + 1 e g(x) = 2x 1. Note que f(x) e g(x) são contínuas, pois são soma de funções contínuas. Agora, como então, segue do teorema 2 (v) que (d) Consideremos g(0) = = 1 0 2x cosx cos = = 0 x 0 2x = 0 h(x) = e x (tgx + cossecx) = f(x).g(x) onde f(x) = e x e g(x) = (tgx + cossecx). Como f(x) e g(x) são contínuas, então segue do teorema 2 (iv) que x 2π ex (tgx + sec x) = e 2π (tg(2π + sec 2π) = e 2π (0 + 1) = e 2π (e) Note que podemos escrever p(x) = (x 2 6x)(3x 5)(x 10) = f(x)g(x)h(x) em que f(x) = x 2 6x, g(x) = 3x 5 e h(x) = x 10. Note que f(x), g(x) e h(x) são contínuas, pois são soma de funções contínuas. Logo, segue do teorema 2 (iv) que x 3 (x2 6x)(3x 5)(x 10) = ( )(3.3 5)(3 10) = ( 9).4.( 7) = Limite de uma Função Composta Nosso intuito nessa seção é estudar o ite de uma função composta. Apresentaremos dois resultados importantes para o nosso estudo que nos permitirá calcular certos ites que ainda não eram possíveis. Teorema 3. Sejam f, g duas funções tais que Im f D g. Se f(x) = b e g é contínua em b, então, a composta g(f(x)) será contínua em a e ( ) g(f(x)) = g f(x) Exibiremos agora alguns exemplos de utilização do resultado anterior. Exemplo 4. Calcule: (a) cos ( 1 x ) ; Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 x (b) 2 1 x 1 ; (3 x 3 ) 4 16 (c) x 3 ; 1 (d) x 1 Solução: 3 x x + 1 (a) Um primeiro passo a ser dado é identificar na composta g(f(x)) = cos f(x) e g(u). Nesse caso, fica claro que ( ), qual é a função e que f(x) = 1 x g(u) = cos u Agora, devemos verificar se as funções dadas satisfazem as hipóteses do teorema 3. Primeiramente, vamos calcular o seguinte ite f(x). Observe que 1 x = 2 2 = 1 x (1 x)(1 + x) 1 = 1 + x = 1 2 O segundo passo a ser dado é verificar se g(u) é contínua em u = 1 2. g(u) = cos u é contínua em R. Logo, pelo teorema 3, temos que cos ( ) ( = cos 1 ) x = cos ( ) 1 2 De fato, pois a função (b) Note que h(x) = x 2 1 x 1 = g(f(x)), em que f(x) = x2 1 x 1 e g(u) = u Note também que x 2 1 x 1 (x = 1)(x + 1) x 1 = x + 1 = 2 Como a função g(u) = u é contínua em 2, então segue do teorema 3 que x 2 1 x 1 = x 2 1 x 1 = 2 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 (c) Observe que não podemos enxergar nitidamente que a função h(x) = (3 x3 ) 4 16 x 3 1 é a composta de duas outras funções. Para isso, fazemos o seguinte método, chamado mudança de variável no ite. Como o nome diz, devemos mudar a variável x para uma variável u de tal forma que o ite possa ser facilmente resolvido. Dessa forma, façamos Logo, a função h(x) será escrita como u = 3 x 3 q(u) = u u Agora, devemos determinar a nova tendência de u. Por uma substituição simples, podemos fazer: u(1) = = 2 Logo, se x 1 então u 2. E assim, calculamos: (3 x 3 ) 4 16 x 3 1 u 4 16 = u 2 2 u u 4 16 = u 2 (u 2) = (u 2)(u 3 + 2u 2 + 4u + 8) u 2 u 2 = u 3 + 2u 2 + 4u + 8 = 32 u 2 (d) Assim como no exemplo anterior, vamos aplicar a mudança de variável no ite Fazendo temos que se x 1 então u 1. Logo, x 1 3 x x + 1 u = 3 x + 2 x 1 3 x x + 1 u 1 = u 1 u 3 1 u = 1 u 1 (u 1)(u 2 + u + 1) 1 = u 1 u 2 + 2u + 1 = 1 3 O próximo teorema será útil, pois garante quando a composta de duas funções contínuas também é contínua. Teorema 4. Sejam f, g funções tais que Im f D g. Se f for contínua em a e g for contínua em f(a) então a função composta (g f)(x) = g(f(x)) é contínua em a. A utilidade desse último resultado é mostrado nos seguintes exemplos: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Exemplo 5. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = cos(x 2 ) é contínua. Solução: Note que a função h(x) pode ser reescrita como (g f)(x) em que f(x) = x 2 e g(u) = cos u. Note que f é contínua em R e g é contínua em R. Logo, pelo teorema 4, temos que a composta g f é contínua em A = R. Exemplo 6. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = ln(1 + sen x) é contínua. Solução: Note que a função f(x) = 1 + sen x é contínua em R. Mas, a função g(u) = ln u é contínua em seu domínio que é o conjunto [0, + ). Sendo assim, devemos tomar os valores de x D f tais que f(x) > 0, ou seja senx > 1. Desse modo, a composta não está definida para x = ± 3π 2, ±7π,..., sendo 2 a mesma contínua nos outros valores. Portanto, { } 3π A = R 2 + 2kπ, k Z Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9