Técnicas de Integração

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1 Técnicas de Integração INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni UNESP, FEG, Depto de Matemática Guaratinguetá, agosto de 2017 Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

2 Integral de Função Racional - Teorema Teorema: a integral (primitiva ou antiderivada) de uma função racional pode ser escrita como a combinação linear de uma função racional, de logaritmos e de funções arcotangente. p(x) q( x) Lembrando: uma função racional pode ser escrita como o quociente de dois polinômios. dx JRRZ 2

3 Integral de Função Racional Alguns Exemplos do Teorema 1 x a dx = ln( x a) + c 1 (x a) 2 dx = 1 x a + c m x + k a 2 + x 2 dx = m/2 ln(a 2 +x 2 ) + k/ a arctan(x/a) + c 6 x2 9 x + 9 x 3 3 x 2 dx = 3 x + 2 ln(x) + 4 ln(x 3) + c JRRZ 3

4 Expansão em Frações Parciais Considere que o grau do denominador, q(x), é maior que o grau do numerador, p(x). Neste caso, o quociente p(x)/q(x) pode ser expandido na soma de frações parciais sendo que a integral de cada fração parcial pode ser resolvida facilmente. A expansão de p(x)/q(x) em Frações Parciais depende do tipo (real ou complexa) de raízes do denominador e da multiplicidade de cada raiz. JRRZ 4

5 Expansão em Frações Parciais Contribuição de uma Raiz Real Frações Parciais Associadas com uma raiz real r do denominador q(x). se r é raiz simples (m = 1) se r é raiz dupla (m = 2) se r é raiz tripla (m = 3) A x r A x r + A x r + e assim por diante. A, B e C são constantes. B (x r) 2 B (x r) 2 + C (x r) 3 JRRZ 5

6 Expansão em Frações Parciais Raízes Reais - Observações Cada raiz real de multiplicidade m do denominador q(x) contribui com m Frações Parciais para a expansão de p(x)/q(x). A soma das multiplicidades de todas as raízes de um polinômio é igual ao seu grau. O número de Frações Parciais na expansão de p(x)/q(x) é igual ao grau do denominador (incluindo na conta, as frações parciais cujos coeficientes são igual a zero). Nos exemplos do slide 3, as raízes do denominador são reais, exceto o terceiro exemplo que é um caso de raízes complexas. JRRZ 6

7 Expansão em Frações Parciais Exemplo grau do denominador igual a 2 2 Raízes reais e distintas, r 1 e r 2 (raízes simples) p(x) q(x) = mx + k (x r 1 ). (x r 2 ) A e B constantes a determinar em função dos coeficiente do numerador, m e k, e das raízes do denominador r 1 e r 2. Escrevendo o lado direito sobre o mesmo denominador, obtemos a seguinte igualdade entre polinômios = A + x r 1 mx + k = A.( x r 2 ) + B.(x r 1 ) B x r 2 JRRZ 7

8 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 2 Raízes reais 1) Simmons, exercício 4. 2) Simmons, exercício 3. Dicas: 10 2 x x x dx Fatore o denominador, Expanda o integrando em frações parciais, Calcule os coeficientes da expansão (A e B), Integre as frações parciais. 14 x 12 2 x 2 2x 12 dx JRRZ 8

9 Expansão em Frações Parciais Denominador de grau 3 Raízes reais 3 raízes reais e distintas, r 1, r 2 e r 3 (cada raiz simples contribue com uma fração parcial) p (x) q (x) = n x 2 + mx + k (x r 1 ). (x r 2 ).(x r 3 ) = A x r 1 + B x r 2 + C x r 3 1 raiz real simples, r 1, e 1 raiz real dupla, r 2 (a raiz dupla contribue com duas frações parciais) p (x) q (x) = n x2 + mx + k (x r 1 ). (x r 2 ) 2 = A x r 1 + B x r 2 + C (x r 2 ) 2 JRRZ 9

10 Integração de Funções Racionais Denominador de Grau 3 Raízes Reais 1) Simmons, exercício 8. 2) Simmons, exercício x2 + 3 x 7 x 3 x dx 6 x2 9 x + 9 x 3 3 x 2 dx 3) Thomas, exemplo 7. 4) Simmons, exercício 11. x + 4 x x 2 10 x dx 4 x2 5 x 3 x x 2 + x dx JRRZ 10

11 Expansão em Frações Parciais Denominador de grau 4 Raízes Reais 1) Escreva a expansão em Frações Parciais para p(x)/q(x) considerando os seguintes casos para as raízes do denominador (grau p < grau q = 4, todas as raízes de q(x) são reais) i) 4 raízes simples, ii) 2 raízes simples e 1 raiz dupla, iii) 2 raízes duplas, iv) 1 raiz simples e 1 raiz tripla. JRRZ 11

12 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 4 Raízes Reais Calcule as integrais abaixo 2) 3) Simmons, exemplo 3. 4 x2 + 2 x x 4 5 x dx 3 x3 4 x 2 3 x + 2 x 4 x 2 dx 4) Thomas, exercício (x 2 1) 2 dx JRRZ 12

13 Integração de Funções Racionais Raízes reais iguais - Observação Se as raízes do denominador são todas reais e iguais, isto é, o denominador é da forma q(x) = (x r) n, então o quociente p(x)/q(x) pode ser integrado por substituição. Fazendo u = x r, segue que p( x) (x r) n dx = p (u+r) u n O integrando em u pode ser escrito como soma de potências de u, simples de integrar (não é necessário expandir em frações parciais). du JRRZ 13

14 Integração de Funções Racionais Raízes reais iguais - Exercícios 1) Thomas, exemplo 2. 2) 6 x + 7 (x + 2) 2 dx 2x 5 x x + 9 dx 3) 4) x x 3 3 x x 1 dx x3 x (x 2) 4 dx JRRZ 14

15 Expansão em Frações Parciais Denominador com pelo menos uma raiz complexa Considere polinômios com coeficientes reais (funções reais). As raízes complexas de um polinômio aparecem aos pares de complexas conjugadas. Na fatoração de um polinômio, um par de raízes complexas está associado a um fator quadrático x^2 + bx + c do polinômio do qual elas são raízes (observe que Δ = b 2 4c < 0). A multiplicidade de uma raiz complexa é o expoente do fator quadrático na fatoração do polinômio. Cada par de raiz complexa conjugada contribui para a expansão em frações parciais de acordo com sua multiplicidade. JRRZ 15

16 Expansão em Frações Parciais Contribuição de raízes complexas Frações Parciais associadas com um par de raízes complexas conjugadas, associadas ao fator quadrático x² + bx + c de q(x). Raízes complexas simples Raízes complexas dupla Ax + B x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c + Cx + D (x 2 + bx + c) 2 E assim por diante, conforme a multiplicidade da raiz (uma raiz tripla contribuiria com 3 frações parciais). Observe que o numerador é, em geral, uma função linear de x, distintamente das frações parciais associadas a uma raiz real cujo numerador é constante. JRRZ 16

17 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 2 - raízes complexas p (x ) q( x) dx = mx + k x 2 + bx + c dx (b² 4 c < 0) Neste caso, o quociente p(x)/q(x) é a própria fração parcial. A integração é feita completando o quadrado em q(x), isto é, escrevendo q(x) como a soma de dois quadrados x² + bx + c = (x + b/2)² + (c b²/4) = u² + a² Substituindo u = x + b/2 e definindo a² = c b²/4 segue mx + k x 2 + bx + c dx = mu + k ' u 2 + a 2 du (k ' = k mb/2) continua no próximo slide JRRZ 17

18 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 2 - raízes complexas Separando as frações (numerador) obtemos duas integrais básicas para o caso de raízes complexas m u u 2 + a 2 du = m 2 ln(u2 + a 2 ) k ' u 2 + a 2 du = k' a arctan(u /a) Deve-se retornar a variável x e também as constantes do problema original (m, k, b e c), lembrando das definições de u, a e k' afim de obter a solução para p (x) q( x) dx = mx + k x 2 + bx + c dx JRRZ 18

19 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 2 - raízes complexas Exemplos 1) 2) Thomas, exercício 38 (seção 1) 2 x+1 x 2 +9 dx 2 x 2 dx 6 x ) 4) Simmons, exemplo 2 (seção 5) 3 x 7 x x + 5 dx dx x x + 10 JRRZ 19

20 Expansão em Frações Parciais Denominador de grau 3 - raízes complexas Existe apenas um caso: além do par de raízes complexas conjugadas, associadas ao fator quadrático x² + bx + c, o denominador tem uma raiz real simples, r. Neste caso, a expansão em frações parciais é p (x) q(x) = n x 2 + mx + k (x r).(x 2 + b x + c) = A x r + B x + C x 2 + b x + c A, B e C são constantes a determinar em função dos coeficientes n, m e k (do numerador), b e c (do fator quadrático) e da raiz r, resolvendo a seguinte igualdade entre polinômios n x 2 + mx + k = A.( x 2 + b x + c) + (B x + C).(x r) JRRZ 20

21 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 3 - raízes complexas Exemplos 1) P3, ) Thomas, exercício x 3 + x dx 3) Simmons, exercício 12. 4) P3, dx x 3 + x 2 + x x2 + 2 x + 4 x x dx 3 x 2 x x 2 + 2x dx JRRZ 21

22 Integração de Funções Racionais Denominador de grau 4 Raízes Complexas 1) Escreva a expansão em Frações Parciais para p(x)/q(x) considerando os seguintes casos para as raízes do denominador i) 2 raízes reais simples e 2 raízes complexas conjugadas, ii) 1 raiz real dupla e 2 raízes complexas conjugadas, iii) 2 pares de raízes complexas conjugadas (distintas), iv) 2 raízes complexas conjugadas dupla. Resolva os exercícios abaixo 2) Thomas, exemplo 4 3) Simmons, exemplo 4 2 x + 4 (x 2 + 1).(x 1) 2 dx x3 + x x 1 x 4 1 JRRZ 22 dx

23 Referências Bibliográficas Thomas, cap 8, seções 3 e 1. Simmons, cap 10, seções 6 e 5. JRRZ 23