Desigualdades entre cubos A ordenação de dois números racionais positivos mantém-se para os seus cubos. Para q e r, se q r então ex.

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1 Números e operações Raízes cúbicas racionais Qualquer número não negativo q igual ao cubo de um número inteiro não negativo r, ou seja q r, designa-se por cubo perfeito, sendo r a raiz cúbica de q. Desigualdades entre cubos A ordenação de dois números racionais positivos mantém-se para os seus cubos. Para q e r, se q r então porque q r. porque Cubos perfeitos Designa-se por cubo perfeito qualquer número inteiro não negativo q que é igual ao cubo de um número inteiro não negativo r, 8 é um cubo perfeito porque 00 é um cubo perfeito porque q r Os cubos perfeitos podem representar-se numa tabela que se designa por tabela de cubos r q r Raízes cúbicas de cubos perfeitos ou seus simétricos Para qualquer cubo perfeito q ou seu simétrico q, existe um número inteiro r cujo cubo é igual a q. Este número r designa-se por raiz cúbica de q e representa-se por 8 r q. Por definição temos então que é um cubo perfeito e 8 a sua raiz cúbica: 8. 8 Por definição temos então que -8 é a raiz cúbica de-: 8. Escola virtual /

2 Por definição temos então que é um cubo perfeito igual à sua raiz cúbica:. O zero é o único número racional cujo cubo é igual a e tem-se que: 0 0. Raízes de razões de cubos perfeitos e seus simétricos A raiz cúbica do simétrico de uma razão de cubos perfeitos cúbica da razão q. Como 8, temos que. 8 q é igual ao simétrico da raiz Por outro lado, como então 8 8. Assim,. 8 8 Operações com razões de cubos perfeitos O produto e o quociente de razões de cubos perfeitos são, ainda, razões de cubos Produto de razões de cubos perfeitos Se q e r são razões de cubos perfeitos também o produto q r é uma razão de cubos Quociente de razões de cubos perfeitos Se q e r são razões de cubos perfeitos também o quociente q r é uma razão de cubos Sejam q e r 8. Como q e r são razões de cubos perfeitos, 6 8 r 8, também q r e q r são razões de cubos Vejamos: q r q r 8 q 6 e Escola virtual /

3 Propriedades das operações com raízes cúbicas As raízes cúbicas do produto e do quociente de razões de cubos perfeitos são, respetivamente, iguais ao produto e quociente das raízes cúbicas dos fatores. Produto de raízes cúbicas Se q e r são razões de cubos perfeitos temos que Sejam O produto é q e r 8. 6 q r. q r q r. Por definição temos que Por outro lado, q r. q, r 8 e q r q r. 6 Quociente de raízes cúbicas Se a e b são razões de cubos perfeitos temos que Sejam O quociente é q e r 8. 6 Por definição temos que Por outro lado, q r. 8 8 q r. 8 8 q r q r. q, r 8 e q r q r. 6 8 Casos particulares de raízes cúbicas Raízes cúbicas de quocientes de cubos perfeitos Por inspeção de tabelas de cubos perfeitos determina-se a raiz cúbica de quocientes de cubos perfeitos, achando as raízes cúbicas do numerador e denominador. r r Escola virtual /

4 ,8 0, 6 Raízes cúbicas de razões com denominador 00 Como o número 00 é um cubo perfeito, 00, a raiz cúbica de qualquer fração com denominador 00 e numerador cubo perfeito ou, equivalentemente, de qualquer dízima tal que deslocando a vírgula três casas para a direita se obtém um cubo perfeito, obtém-se recorrendo a uma tabela de cubos Para a, a a a a. 00 0, ,79 9 0, 0,9 Potências de base e expoente múltiplo de Qualquer potência de base e expoente múltiplo de três é um cubo perfeito cuja raiz n cúbica é a potência de base com um terço do expoente: n, com n. r q r Nota que o número q tem o triplo do número de zeros do r correspondente. Uma razão cujo numerador é um cubo perfeito e o denominador uma potência de base e expoente múltiplo de três é representável por uma dízima tal que deslocando a vírgula para a direita o mesmo número de vezes que o indicado no expoente da potência do denominador (e eventualmente acrescentando zeros) é um cubo perfeito. Raízes cúbicas de razões cujo numerador é um cubo perfeito e o denominador uma potência de base e o expoente múltiplo de três A raiz cúbica de uma razão cujo numerador é um cubo perfeito e o denominador uma potência de base e expoente múltiplo de três (ou, equivalentemente, de uma dízima tal que deslocando a vírgula para a direita o número de vezes indicado no expoente do denominador, e eventualmente acrescentando zeros, se obtém um cubo perfeito) pode obter-se recorrendo a uma tabela de cubos Para a, a a a n a. n n n Escola virtual /

5 7 7 0, ,07 Escola virtual /