Agrupamento de Escolas de Almeirim. Matemática 7.º Ano Raiz Quadrada e Raiz Cúbica de um Número Racional

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1 Agrupamento de Escolas de Almeirim Matemática 7.º Ano Raiz Quadrada e Raiz Cúbica de um Número Racional

2 Raiz Quadrada Existem números naturais que se podem dispor em quadrados. 1 2 =1 2 2 =4 3 2 =9 4 2 =16... Estes números são designados por quadrados perfeitos.

3 O que é, então, um quadrado perfeito? Um quadrado perfeito é um número que é o quadrado de um número natural Assim são quadrados perfeitos: 1(1=1 2 ) 4(4=2 2 ) 9(9=3 2 ) 16(16=4 2 ) 25(25=5 2 ) 36(36=6 2 ),... Escreve todos os quadrados perfeitos que sejam menores que 101.

4 Os números que são quadrados perfeitos têm 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 como algarismo das unidades. Portanto, qualquer natural que não termine num destes algarismos não é um quadrado perfeito. Será 207 um quadrado perfeito? Não, 7 é o algarismo das unidades. Como 14 2 =196 e 15 2 =225, então não existe um número inteiro cujo quadrado seja 207. Logo, 207 não é um quadrado perfeito.

5 Consideremos os números 16 e 25, que já sabemos serem quadrados perfeitos É16+25um quadrado perfeito? E 16 25é quadrado perfeito? Tem-se que 16+25=41 E 41não é quadrado perfeito, porque 6 =36 e 7 =49 e não existe qualquernúmerointeiroentre6e7. Tem-se que 16 25=4 5 = 4 5 =20 Logo, 16 25é um quadrado perfeito.

6 Propriedade Dados e quadrados perfeitos, tem-se que é um quadrado perfeito. Demonstração Seesão quadrados perfeitos, então existem números inteirosetais que = e=. Tem-se, usando as propriedades das potências, que = = Mas, como e são inteiros, também é um número inteiro. Logo, é um quadrado perfeito. Como = conclui-se que é um quadrado perfeito.

7 Problema 1 O pátio quadrado da Maria tem 36 m 2 de área. Que comprimento tem o lado do pátio? A=36 m 2 Sendo a área do quadrado dada por lado lado ou lado 2, temos que encontrar um número que multiplicado por si próprio seja igual a 36. Amedidadoladodopátioéonúmerocujoquadradoé36,istoé,6. O pátio tem 6 m de lado visto que 36=6 2. Diz-se que 6 é a raiz quadradade36eescreve-se=

8 Dados a e b números não negativos tais que = = diz-se queéaraizquadradadeeescreve-se: = Exemplos 366, pois , pois , pois , pois 1 1 Em 36: 36 éoradicando éosímboloderaizquadradaouradicaldeíndicedois

9 Problema 2 Um amigo da Maria tem um pátio quadrado com 256 m 2 de área.qualamedidadoperímetrodopátio? A=256 m 2 Primeiro, há que saber a medida do lado desse pátio vamoscalculararaizquadradade256,ouseja, 256 Como 25616conclui-sequeopátiotem16mdelado. E a medida do perímetro será dada por 4 16=64metros

10 Problema 3 Existe um pátio quadrado com 106 m 2 de área. Que comprimento tem o lado do pátio? A=106 m 2 Utilizando a calculadora, tem-se = 10, Pelo que teremos de usar valores aproximados para a medida do lado.

11 Propriedade 1 Dados pe q números racionais não negativos, tem-se =, ou seja, a raiz quadrada do produto é igual ao produto das raízes quadradas Exemplos Tem-se que 90030, pois Porém, verificando que Logo, Verificando que , pode-se fazer

12 Demonstração Sejam p e qnas condições acima descritas. Para que seja igual à raiz quadrada de, deve-se verificar que = Isto, devido à definição de raiz quadrada. Tem-se que = [pela definição de potência] = [pela comutatividade da multiplicação] = [pela definição de potência] = Logo, = c.q.d.

13 Propriedade 2 Dados pe q números racionais não negativos com 0, tem-se, ou seja, a raiz quadrada do quociente é igual ao quociente das raízes quadradas Exemplos Caso se pretenda calcular o valor de, tem-se que Caso se pretenda calcular o valor de 1,69, tem-se que 1, ,3

14 Demonstração Sejam p e qnas condições acima descritas. Para que seja igual à raiz quadrada de, deve-se verificar que = Isto, devido à definição de raiz quadrada. Tem-se: = [pela definição de potência] = Logo, = c.q.d.

15 Propriedade 3 Sejamequocientes de quadrados perfeitos. Logo, é um quociente de quadrados perfeitos. Exemplo Consideremos os números e. Tratam-se de quocientes de quadrados perfeitos, porque 4, 9, 16 e 25 são quadrados perfeitos. Tem-se que Ou seja, 15 é um quociente de quadrados perfeitos.

16 Demonstração Comoéumquociente dequadradosperfeitos, existem quadrados perfeitose taisque Analogamente para Assim sendo, tem-se =,0 =,0 = = [pela definição de multiplicação] = [na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases] Mas e são quadrados perfeitos. Logo, é um quociente de quadrados perfeitos.

17 Propriedade 4 Sejam e quocientes de quadrados perfeitos, com 0. Logo, é um quociente de quadrados perfeitos. Exemplo Consideremos os números e. Tratam-se de quocientes de quadrados perfeitos, porque 4, 9, 16 e 25 são quadrados perfeitos. Tem-se que Ou seja, 20 é um quociente de quadrados perfeitos.

18 Para demonstrar esta propriedade, basta observar que o quociente entre dois números racionais é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor e aplicar a propriedade 3. Ou seja, considerando e Como e são quadrados perfeitos. Logo, quadrados perfeitos. é um quociente de

19 Resumindo... Quandoumnúmerobéquadradodeumnúmeroanãonegativo: b=a 2 diz-sequeaéraizquadradadeb. Exemplo: 497,porque7 2 =49 elevar a dois 7 49 extrair a raiz quadrada A raiz quadrada permite, por exemplo, determinar a medida do lado de um quadrado conhecida a área

20 Raiz Cúbica Existem números naturais que se podem dispor em cubos =1 2 3 =8 3 3 =27 Estes números são designados por cubos perfeitos.

21 Oqueé,então,umcuboperfeito? Umcuboperfeitoéumnúmeroqueéocubodeumnúmeronatural. Assim são cubos perfeitos: 1(1=1 3 ); 27(27=3 3 ); 8(8=2 3 ); 64(64=4 3 ); 125(125=5 3 )... Será 65 um cubo perfeito? Como 4 3 =64 e 5 3 =125, então não existe um número inteiro cujo cubo seja 65. Logo,65nãoéumcuboperfeito.

22 Consideremos os números 64 e 125, que já sabemos serem cubos perfeitos É um cubo perfeito? E é cubo perfeito? Tem-se que =189 E 189 não é cubo perfeito, porque 5 =125 e 6 =216 e não existe qualquer número inteiro entre 5e6. Tem-se que =4 5 = 4 5 =20 Logo, é um cubo perfeito.

23 Propriedade Dados e cubos perfeitos, tem-se que é um cubo perfeito. Demonstração Seesãocubosperfeitos,entãoexistemnúmerosinteirosetaisque = e =. Tem-se, usando as propriedades das potências, que = = Mas, como e são inteiros, também é um número inteiro. Logo, é um quadrado perfeito. Como = conclui-se que é um quadrado perfeito.

24 Problema Sabendo que um cubo tem 27 cm 3 de volume, qual o comprimento da sua aresta? 27cm 3 É sabido que o volume de um cubo de aresta de medida a é dado por:v=a a aousejav=a 3 Assim, se o cubo tem 27 cm 3 de volume, então a medida da aresta é onúmerocujocuboé27. Vistoque3 3 =27,entãoaarestadocubotem3cmdemedida.

25 Como 27=3 3 diz-se que 3 é a raiz cúbica de 27. Escreve-se3= 27 Assim, a raiz cúbica permitiu determinar a aresta do cubo, conhecido o seu volume Dados a e b números racionais tais que = diz-se queéaraiz cúbicadeeescreve-se: =

26 Propriedade 1 Dados pe q números racionais, tem-se =, ou seja, a raiz cúbica do produto é igual ao produto das raízes cúbicas. Exemplos Tem-se que , pois Porém, verificando que Logo, Verificando que , pode-se fazer

27 Demonstração Sejam p e qnas condições acima descritas. Para que seja igual à raiz cúbica de, deve-se verificar que = Isto, devido à definição de raiz cúbica. Tem-se, usando a definição de potência e a comutatividade da multiplicação, que = = = = Logo, = c.q.d.

28 Propriedade 2 Dados pe q números racionais não negativos com 0, tem-se, ou seja, a raiz cúbica do quociente é igual ao quociente das raízes cúbicas. Exemplos Caso se pretenda calcular o valor de, tem-se que Caso se pretenda calcular o valor de 0,027, tem-se que 0, ,3

29 Demonstração Sejam p e qnas condições acima descritas. Para que seja igual à raiz cúbica de =, deve-se verificar que Isto, devido à definição de raiz cúbica. Tem-se: = [pela definição de potência] = Logo, = c.q.d.

30 Propriedade 3 Sejamequocientesdecubosperfeitos.Logo, éumquocientedecubos perfeitos. Exemplo Consideremos os números e perfeitos,porque8,27,64e125sãocubosperfeitos. Tem-se que Tratam-se de quocientes de cubos Ou seja, 15 é um quociente de cubos perfeitos.

31 Demonstração Como é um quociente de cubos perfeitos, existem cubos perfeitos e tais que Analogamente para Assim sendo, tem-se =,0 =,0 = = [pela definição de multiplicação] = [na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases] Mas e são cubos perfeitos. Logo, é um quociente de cubos perfeitos.

32 Propriedade 4 Sejamequocientes de cubos perfeitos, com0. Logo, de cubos perfeitos. é um quociente Exemplo Consideremos os números e perfeitos,porque8,27,64e125sãocubosperfeitos. Tem-se que Tratam-se de quocientes de cubos Ou seja, 20 é um quociente de cubos perfeitos.

33 Para demonstrar esta propriedade, basta observar que o quociente entre dois números racionais é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor e aplicar a propriedade 3. Ou seja, considerando e Como e são cubos perfeitos, perfeitos. é um quociente de cubos

34 Propriedade 5 Dadoumnúmeroracionalqualquer,tem-se: = Ouseja,araizcúbicadosimétricoéigualaosimétricodaraizcúbica. Exemplo Consideremos=8. Tem-seque 82,pois Poroutrolado, Logo, 8 8

35 Demonstração Sejaumnúmeroracionalqualquer.Quer-semostrarque = Observe-se que basta verificar que cúbica. =. Isto, devido à definição de raiz Tem-se que = 1 = 1 =1 = Logo, observando o que foi supramencionado =

36 Resumindo... Quandoumnúmerobécubodeumnúmeroa: b=a 3 diz-sequeaéraizcúbicadeb. Exemplo: 644porque4 3 =64 elevar a três 4 64 extrair a raiz cúbica A raiz cúbica permite, por exemplo, determinar a medida da aresta de um cubo conhecido o volume.