Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano
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- João Batista Alcântara Sales
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1 Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano 1
2 Conjuntos numéricos IN 1 4 IN - Conjunto dos números Naturais IN = {1;;3;4;5;6 } Z - Conjunto dos números Inteiros relativos Z= { -3;-;-1;0;1;;3; } IN 0 0 Q- Conjunto dos números racionais Q Z ,(3) 14 3 Q = z U { números fracionários} Completa com os símbolos ; ; ; -1.. IN 1,4.. Z -3 Z - 0 IN 3 IN 4 Z - IN Z,3 Q
3 Raiz quadrada A rea 49cm 49 7cm lado A raiz quadrada permite calcular o lado de um quadrado sabendo a sua área. Raiz cúbica aresta cm Volume 343cm 3 A raiz cúbica permite calcular a aresta de um cubo sabendo o seu volume. 3
4 Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 1º processo M 1 = {0;1;4;36;48;60 } M 30 = {0;30;60 } m.m.c = {60} Determina o m.m.c (1;30) º processo = x 3 30 = x 3 x 5 m.m.c = x 3 x5 = 60 Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente 4
5 Máximo divisor comum (m.d.c) 1º processo D 1 = {1;;3;4;6;1} D 30 = {1;;3;5;6;10;15;30} M.d.c (1;30)= {6} Determina o m.d.c (1;30) º processo = x 3 30 = x 3 x 5 M.d.c (1;30) = x 3 = 6 Produto dos factores primos comuns com menor expoente 5
6 mmc e mdc Texto «de tanto em tanto» «dividir/repartir/agrupar» mmc mdc 6
7 Sequências Numéricas Na sequência: , 5, 9, 13, 17, 4, 8, 1, 16 Termo de ordem? 1 Termo de ordem 5? 17 O termo geral da sequência é 4n-3. Termo de ordem 14? A ordem do termo 37? Ordem n n 37 3 n n
8 Qual é a expressão geradora de todos os termos de cada uma das sequências? 5, 10, 15, 0, 5, 30, Regra: somar cinco ao número anterior 6, 11, 16, 1, 6, 31, 5n 5n+1 Regra: somar cinco ao número anterior 5, 8, 11, 14, 17, 0, 3, 3n+ Regra: somar três ao número anterior 8
9 Proporcionalidade direta Definição: Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante. Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero. A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade direta é uma recta que passa pela origem. A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade direta é onde k é a constante de proporcionalidade direta. y kx 9
10 I II Quando uma das grandezas é zero a outra também é zero ; ; e Existe proporcionalidade direta, porque a razão entre as grandezas é constante. A constante de proporcionalidade direta é.,50 3, 00,50 e 1,50 1 Não existe proporcionalidade direta, porque a razão entre as grandezas não é constante. y x Expressão Analítica 10
11 Representação gráfica de cada situação I II Unindo os pontos obtém-se uma reta que passa pela origem. Unindo os pontos obtém-se uma reta que não passa pela origem. Existe proporcionalidade direta, porque a representação gráfica é uma reta que passa pela origem. y 4 y x x Expressão Analítica Não existe proporcionalidade direta, porque a representação gráfica não é uma reta que passa pela origem. 11
12 Percentagens 5 % de 10 chocolates são 5 x 10 = chocolates em 50 são % % x = 6 x 100 =1% x 50 1
13 Resolução de problemas envolvendo Percentagens 1- O preço de um sofá é de 300, sem IVA. Sabendo que o IVA é 0%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá? 0% de 300 = 300 x 0 = 60 euros = 360 O preço final do sofá é 360 euros. - Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 4 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % x x = 4 x 100 = 75% % = 5% O desconto foi de 5%. 13
14 Semelhança de Figuras Figuras Semelhantes Geometricamente iguais Redução Ampliação - mesma forma - mesma dimensão - mesma forma - menor dimensão - mesma forma - maior dimensão Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais. 14
15 Semelhança de Figuras Razão de Semelhança medida do lado da figura final medida do lado da figura inicial Se a razão de semelhança for: maior que 1, obtemos uma ampliação; menor que 1, obtemos uma redução; igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original. 15
16 Triângulos Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se: Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aa) Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais (lll) Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. 16
17 Semelhança de triângulos Semelhança de triângulos Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos 1. Determina a altura da árvore. Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB. Determinação da altura da árvore. sombra altura 5, = h 1,6 0,8 3,6 + 1,6 = 5, m h = 5, x 0,8 1,6 h =,6 m A altura da árvore é de,6 metros. 17
18 Semelhança de triângulos Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: A razão entre os perímetros de A e B é r. A Razão entre as áreas de A e B é r. P B = r x P A A B = r x A A 18
19 Classificação de Quadriláteros 19
20 Ângulos Verticalmente Opostos Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então chamam-se ângulos verticalmente opostos. AOB ˆ COˆ D 60º 60º Ângulos opostos formados por duas rectas que se cruzam. Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos. Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos. 0
21 Ângulos de Lados Paralelos Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que 180º). 110º x=180º-110º=70º 110º Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais. 1
22 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES simplificação de expressões com parênteses: Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro x 3x 5 x 3x 5 Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que 5x 1 3x 5x estão dentro. 3x 1 Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade 1 6x 6 x distributiva. 3x 3 x
23 Como resolver uma equação com parênteses. x 1 35 x 6 x 8 x 115x 6 6 x 8 x 15x x x 3 x x C.S = 1 4 Eliminar parênteses. Agrupar os termos com incógnita. Efectuar as operações Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita Determinar a solução, de forma simplificada. 3
24 EQUAÇÕES COM DENOMINADORES 1 x 3 x x 1 4x Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador. x x x 6x 4x 61 x Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais. 4
25 3x 5x 3 Esta fração pode ser apresentada da seguinte forma Sinal menos antes de uma fração O sinal menos que se encontra antes da fração afeta todos os termos do numerador. 3x 5x 3 1 x 1 x x 1 x 8 3 () 4x 1 3x (6) (3) (3) 4x x x 43 x x 7 Começamos por desdobrar a fração que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores
26 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES Devemos começar por eliminar os parênteses e denominadores depois os 3 x 1 x x 3 1 3x 3 x x (3) (3) (3) () () 9x 93x 4x 9x 3x 4x 9 x 11 x 11 x 11 C.S.= 11 6
27 Potências Regras operatórias das potências Multiplicação Com a mesma base - x 7 = 5 Com o mesmo expoente (-) 3 x (-7) 3 = 14 3 Divisão Com a mesma base - : 7 = -9 Com o mesmo expoente (-4) 3 : 6 3 = (-4) 3 Potencia de potência ( 3 ) 5 = 15 Potencia de expoente inteiro negativo Potencia de expoente nulo (-8) 0 = 1 7
28 Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10 p, com 1 a<10 e p um número inteiro Escreve os seguintes números em notação cientifica = 6,7698 x , = 8 x ,053 x 10-3 =,53 x 10 - x 10-3 =,53 x ,9 x 10 5 = 7,69 x 10 1 x 10 5 = 7,69 x
29 Funções Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada. Formas de definir uma função: Por um diagrama Por uma tabela Por uma expressão analítica Por um gráfico 9
30 Funções definidas por um diagrama Ex. Funções A f 1 3 B Ex. Não são funções D f = {1;,3} A Conjunto de Partida D f = {-1;-,-3} B Conjunto de chegada 1-1 Objetos: 1;,3 Imagens: -1;-;-3 f ( ) = - f ( x ) = -x 30
31 Noção de Função. Teste da reta vertical y y x x Representa o gráfico de uma função. Não representa um gráfico de uma função 31
32 Funções definidas por uma Tabela Seja a função g definida pela tabela seguinte Lado de um quadrado (L) Perímetro do quadrado (P) D g = {1;,3;4} D g = {4;8;1;16} Objectos: 1;,3;4 Imagens: 4;8;1;16 Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado g ( ) = 8 g (x) = 4x 3
33 Funções definidas por uma expressão analítica Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica h(x) = x -1 Calcular a imagem sendo dado o objecto h(3) = x3-1 h(3) = 5 Calcular o objecto sendo dada a imagem (3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h. h(x) = 15 x 1 = 15 x = x = 16 x = 8 33
34 Funções definidas por um gráfico Variável independente: Peso Variável dependente: Custo j( ) = 1 j(1) =.. Tipo de função: Linear Expressão analítica: j(x) = 6x 34
35 Uma Função Afim é uma função do tipo y ax b O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical. A a chamamos o declive da reta e b é a ordenada na origem. a yb ya 5 3 x x 10 B A0,3 B1,5 A A 0,3 y x b 3 0 b 3 b yx3 35
36 Exemplos: Estatística Recolha de dados qualitativos Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificada. Tipo de dados quantitativos Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua. -Cor dos olhos dos alunos de uma turma. Podem ser castanhos, azuis ou verdes. Exemplo Notas de Matemática, do 7ºF, no final do º período. Exemplo Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP. 36
37 Estatística - Tabelas de frequências X 100% Número do sapato Total Frequência absoluta (f) Frequência relativa (f r ) 1 : 18 = 0,06 : 18 = 0,11 : 18 = 0,11 7 : 18 = 0,39 3 : 18 = 0,16 F r em percentagem 6 % 11 % 11 % 39 % 16 % : 18 = 0,11 11 % 1 : 18 = 0,06 6 % 1, % 37
38 Estatística - Gráficos de barras Número do sapato dos alunos de uma turma frequencia absoluta nº do sapato 38
39 Pictograma = 1 aluno Estatística - Pictograma 39
40 Estatística - Gráficos circulares Total Frequência absoluta (f) Graus 0º 40º 40º 140º 60º 40º 0º 360º x x x x x 360 x x 0º x 18 x x 40º 360x7 x x 140º 18 x 360x x 18 x x 60º 40
41 Estatística Medidas de tendência central A média (ou média aritmética) de um conjunto de valores é o quociente entre a soma de todos os valores e o número total de elementos. A média representa-se por. X Frequência absoluta (f) Total 18 X X X 39,1 18 X A média do número do sapato dos alunos é 39,1 41
42 Estatística Medidas de tendência central Frequência absoluta (f) Total 18 Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos. Neste caso a moda é 39. Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. ( ) : = 39 36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;4 4
43 Para organizar estes dados vamos agrupá-los. em classes. Tendo em conta o menor e o maior valor da tabela e que cada classe tem que ter a mesma amplitude, ou seja, a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior da classe Tabela de frequências Classes (Altura dos alunos) N.º de alunos [145,151[ 5 [151,157[ 3 [157,163[ 3 [163,169[ 4 [169,175[ 8 Total 3 Na 1.ª classe estão incluídas as alturas maiores ou iguais a 145 e menores do que
44 Histograma Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste caso chamam-se histogramas. Histograma é um gráfico de barras formado por um conjunto de rectângulos adjacentes (colados), tendo cada um deles por base um intervalo de classe e por altura a respectiva frequência. 44
45 Se num histograma unires por segmentos de recta os pontos médios dos lados superiores de cada rectângulo do histograma, como se fez em baixo, obténs uma outra forma de apresentar a distribuição, que se chama polígono de frequências. Polígono de frequências Nota: Para obtermos os pontos nos extremos da linha poligonal, devemos imaginar que existe uma classe com a mesma amplitude das restantes e frequência zero, determinar o ponto médio desta classe e uni-lo aos restantes. 45
46 35, 78, 50, 63, 86, 73, 57, 8, 59, 75, 66, 79, 83, 71, 94, 59 Pode-se organizar este conjunto de dados utilizando uma representação gráfica do tipo seguinte: Esta representação chama-se diagrama de caule-e-folhas. O caule é a coluna com os números 3, 5, 6, 7, 8 e 9 que representam o algarismo das dezenas e as folhas que representam o algarismo das unidades de cada um dos dados. 46
47 Diagrama de Extremos e Quartis Os quartis são valores da variável que dividem a distribuição em 4 partes iguais, cada uma delas com 5% dos dados totais ordenados. 1.º Quartil.º Quartil 3.º Quartil 47
48 Amplitude e Amplitude Interquartis A amplitude e a amplitude interquartis são medidas indicadas para estudar a dispersão dos dados. A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo conjunto de dados (os extremos). do Amplitude = máximo mínimo A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quartil. Amplitude interquartis= Q 3 Q 1 48
49 Propriedades das isometrias: uma isometria conserva as medidas dos lados e as amplitudes dos ângulos. Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante 49
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