Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos

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1 Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos 1. (Fgv 013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4 b) 4 3 c) 6 d) 4 5 e) ( ). (Uepb 013) A área de um triângulo equilátero cujo apótema mede é igual a: a) 3 b) c) d) e) (G1 - ifba 01) Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 10. O comprimento dessa circunferência é: a) 10π b) 5π c) 6π d) 8π e) 7π Página 1 de 7

2 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 7dm. Traçando-se uma reta t, paralela à base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm. 4. (G1 - ifal 01) Assinale a alternativa verdadeira. a) O triângulo ABC é equilátero, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência. b) O triângulo ABC é um polígono regular, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência. c) O triângulo ABC é escaleno, mesmo assim ele pode ser inscrito em uma circunferência. d) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 9 3 dm. e) O apótema da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 4,5 3 dm. 5. (G1 - ifsc 011) Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do lado do quadrado é 90. Nessas condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de... a) 90. b) 180. c) 10. d) 100. e) (Eewb 011) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu? a) 9 b) 90 c) 900 d) (Unifesp 008) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede a) 3 b) 3 c) 4 d) 3 e) (G1 - cps 008) Considere um quadrado com 3 de lado, inscrito em um círculo como mostra a figura. O raio desse círculo mede, em centímetros 3 3 a). b) 3. c). d) 3. e) 3. Página de 7

3 9. (G1 - utfpr 007) Dados um quadrado e um hexágono regular cujas áreas são, respectivamente, 196 e 16 3 e a equação x -19x+84=0, pode-se afirmar que as raízes dessa equação representam, respectivamente, em, as medidas do: a) apótema do quadrado e do apótema do hexágono. b) lado do quadrado e do lado do hexágono. c) lado do hexágono e do perímetro do quadrado. d) lado do quadrado e perímetro do hexágono. e) apótema do quadrado e do lado do hexágono. 10. (Ufscar 007) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe perfeitamente em um parafuso de cabeça hexagonal regular, como indica a figura. a) Calcule as medidas de x e y, admitindo a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a. b) Considere ë como um arco de circunferência cujo centro é o ponto médio do segmento de comprimento y, indicado no projeto da ferramenta. Sendo L a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso, e R a medida do raio de ë, determine R em função de L. 11. (G1 - cftmg 006) Uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 0, possui comprimento, em, igual a 1. (Pucrs 005) Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas de um cubo conforme a figura a seguir. Se a aresta do cubo é dada por a, a área do hexágono é a) b) c) d) e) (3a ) 3a (3a ) 4 (3a 3) 4 (3a 3) Página 3 de 7

4 13. (Unicamp 004) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 14. (G1 - cftmg 004) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a. O lado do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência, em, é 15. (Pucrj 001) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? a). b) 3. c). d) 3a. e) 3a. 16. (Uel 1999) Se um círculo de 5 de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) 0 3 b) 18 3 c) 15 d) 1 3 e) (G1 1996) O apótema de um triângulo equilátero mede 3. Determine o lado do triângulo. 18. (G1 1996) O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 8. Determine o apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência. 19. (G1 1996) (Escola Técnica Federal - RJ) O perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de 5ð de área é igual a a) 150 b) 75 c) 5 d) 15 e) 30 Página 4 de 7

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Como EF FA AQ QC 1dm, basta calcularmos CE. Sabendo que CDE 10 e CD DE 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos CE CD DE CD DE coscde Portanto, CE 3 dm e o resultado pedido é EF FA AQ QC CE (4 3)dm. Resposta da questão : ANULADA (Questão anulada, conforme gabarito) Sabendo que o lado de um triângulo equilátero é dado por a 3, com a sendo o seu apótema, podemos concluir que a área desse triângulo é igual a 3 ( 3) Portanto, não há alternativa correta. Resposta da questão 3: a 10 a 10 r 10 5 Portanto, o comprimento da circunferência será dado por: C π r π 5 10π. Página 5 de 7

6 Resposta da questão 4: [C] O triângulo ABC é escaleno, pois seus lados possuem medidas diferentes e qualquer triângulo pode ser inscrito numa circunferência. O centro dessa circunferência é o circuncentro do triângulo, ou seja, o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Resposta da questão 5: [C] Seja a medida do lado do triângulo equilátero, portanto 3.a = 4.90 A = 10 Resposta da questão 6: Perímetro do hexágono = 6.15 = 90m. Distância percorrida em 100 voltas na pista = = 9000m = 9km. Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [D] Sejam o lado do quadrado e r o raio do círculo circunscrito. r r 3 3. Resposta da questão 9: [E] Resposta da questão 10: a) x = 3 e y = 3 b) R = L 3 Resposta da questão 11: [C] Resposta da questão 1: [D] Resposta da questão 13: a) 3 b) 3/ Resposta da questão 14: Página 6 de 7

7 Resposta da questão 15: Resposta da questão 16: Resposta da questão 17: 6 3 Resposta da questão 18: a = 4 6 Resposta da questão 19: [E] Página 7 de 7