POLIGONOS REGULARES. 1. (Pucrj) A medida da área, em raio igual a 5 cm é? a) 20 b) 25 2 c) 25 d) 50 2 e) 50

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1 1. (Pucrj) A medida da área, em raio igual a 5 cm é? a) 0 b) 5 c) 5 d) 50 e) 50 cm, de um quadrado que pode ser inscrito em um círculo de. (Insper) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octógonos. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono. Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale a) S( + 1). b) S( + ). c) S( + 1). d) S( + ). e) 4S( + 1). 3. (Insper) Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P 1 e P, congruentes entre si. O número de lados do polígono P 1 é igual a a) n. + b) n 1. + c) n. d) n 1. e) n. Página 1 de 9

2 4. (Ucs) Dois pontos A e E estão situados na margem esquerda de um rio, a uma distância de 40 m um do outro. Um ponto C, no qual está ancorado um bote, está situado na margem direita, de tal modo que os ângulos CAE e CEA medem 60. Considerando as margens praticamente retas e paralelas, qual e, em metros, a largura aproximada do rio no local em que está o bote? Para efeitos de cálculo utilize: 3 1, 7. a) 17 b) 34 c) 45 d) 68 e) (Enem) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11, 5m e 14m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é a) 4. b) 8. c) 9. d) 1. e) (Fgv) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4+ b) 4+ 3 c) 6 d) 4+ 5 e) ( + ) 7. (Mackenzie) A área de um triângulo regular inscrito em uma circunferência de raio r, em função do apótema a de um hexágono regular inscrito na mesma circunferência é a) a b) a c) a d) e) 1 3a 3a Página de 9

3 8. (Insper) O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida cm, como mostra a figura. Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado CD e os vertesses G e H pertencem à circunferência. Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, é igual a a) 0,8. b) 0,9. c) 1,0. d) 1,1. e) 1,. 9. (Ufsj) O uniforme da escola circense Só alegria tem o logotipo abaixo bordado no seu agasalho. Desse desenho, borda-se o contorno de cada um dos seis triângulos equiláteros da figura. Com 1m de linha são bordados 10 cm do contorno e, para cada agasalho bordado, cobramse R$0,05 por 10 cm de linha gasta acrescidos do valor de R$,50. Sabendo disso, em uma encomenda de 50 agasalhos, serão gastos a) R$15,00. b) R$131,75. c) R$161,5. d) R$19, (Uepb) A área de um triângulo equilátero cujo apótema mede cm é igual a: a) 3 cm Página 3 de 9

4 b) c) d) e) 9 3 cm 4 3 cm 16 3 cm 4 cm 11. (Enem) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: Utilize 1,7 como aproximação para 3. O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto a seguir para responder à(s) questão(ões) a seguir. As áreas de coberturas a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas por estações-radiobase localizadas no centro das células. As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não interfira na outra. Porém, é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, desde que a segunda não interfira na primeira. Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma configuração muito utilizada está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado da cobertura de rádio para cada estação-base. O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e sem sobreposições. A figura ilustra o conceito de reutilização de frequência por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a mesma frequência. Página 4 de 9

5 1. (Fatec) Na figura, os hexágonos são congruentes, regulares, têm lado de medida R e cobrem uma superfície plana. Para determinar a distância D, distância mínima entre o centro de duas células que permitem o uso da mesma frequência, pode-se traçar um triângulo cujos vértices são os centros de células convenientemente escolhidas, conforme a figura 3. Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é igual a a) R 1 b) 5R c) 3R 3 d) R 30 e) 6R 13. (Uff) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, justapostos e inscritos em círculos, como na figura a seguir. Página 5 de 9

6 Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a 1km, é correto afirmar que a distância d 3,8 (entre as torres 3 e 8 ), a distância d 3,5 (entre as torres 3 e 5 ) e a distância d 5,8 (entre as torres 5 e 8 ) são, respectivamente, em km, iguais à a) d3,8 = 3, d3,5 = 3, d5,8 = b) d3,8 = 4, d3,5 = 3, d5,8 = 5. c) d3,8 = 4, d ,5 =, d5,8 = 4 +. d) d3,8 = 3, d3,5 = 3, d5,8 = 1. e) d3,8 = 4, d ,5 =, d 5,8 =. 14. (Enem) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estatua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) R L/ b) R L/π c) R L/ π d) R L/ e) R L/ ( ) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 15. (Pucrs) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. Página 6 de 9

7 O lado desse hexágono mede cm. a) 1 3 b) 3 c) 3 5 d) 5 e) (Upe) Em um polígono convexo regular de n lados, chamamos de corda qualquer segmento de reta entre dois vértices distintos. Um lado é, portanto, uma corda ligando vértices adjacentes. Se o polígono regular tem número par de vértices, chamamos de diâmetro uma corda ligando o vértice m ao vértice m+n/ onde consideramos que os vértices do polígono estão numerados no sentido anti-horário, a partir de um vértice qualquer, de zero (inclusive) a n-1. Nessas condições, a probabilidade de que uma corda não seja nem um diâmetro nem um lado do polígono é igual a a) 1/ b) (n-6)/(n-1) c) (n-5)/(n-1) d) (n-4)/(n-1) e) (Espm) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 0 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a: a) b) 1+ c) 1 d) + 1 e) 18. (Eewb) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu? a) 9 b) 90 c) 900 d) (Ufpr) Com base nos estudos de geometria, identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. ( ) A razão entre dois ângulos suplementares é igual a. O complemento do menor vale graus. Página 7 de 9

8 ( ) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles que gira em torno de um dos catetos, π 3 gerando um sólido cujo volume é cm, é cm., é cm. 3 ( ) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então, por qualquer ponto de uma das retas, passa uma reta que se apoia nas outras duas. ( ) Se um polígono regular possui, a partir de um dos seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono, então esse polígono é um dodecágono. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo. a) V F V F V. b) F V F V F. c) F V V F V. d) V V V V V. e) V F F F F. 0. (Uece) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é a) 144 graus. b) 150 graus. c) 156 graus. d) 16 graus. 1. (Pucrj) Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? a) 4 b) 30 c) 36 d) 40 e) 45. (Ufrgs) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é a) 6. b) 1. c) 18. d) 4. e) (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede a) 3 b) 3 c) 4 Página 8 de 9

9 d) 3 e) (Ita) Seja P n um polígono regular de n lados, com n >. Denote por a n o apótema e por b n o comprimento de um lado de P n. O valor de n para o qual valem as desigualdades b n a n e b n-1 > a n-1, pertence ao intervalo a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9. c) 8 < n < 11. d) 10 < n < 13. e) 1 < n < (Ufla) As aranhas são notáveis geômetras, já que suas teias revelam variadas relações geométricas. No desenho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por hexágonos regulares igualmente espaçados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para alcançar o infeliz inseto? a) 8 cm b) 10 cm c) 8 cm d) 10 3 cm 6. (Ufla) Uma questão interessante é obter círculos que tangenciam um círculo central e que sejam consecutivamente tangentes. Considerando o problema de se tentar envolver um círculo central com 7 círculos, com os oito círculos de mesmo raio, um esboço da solução seria da forma: Nesse caso, pode-se afirmar que Página 9 de 9

10 a) o desenho está correto e vale para qualquer valor de raio. b) o desenho está correto; porém, tal fato é válido apenas para um valor específico do raio. c) tal situação não pode ocorrer e o desenho não representa a solução do problema. d) o desenho está correto, mas o raio tem que ser suficientemente pequeno. e) o desenho é falso, pois um círculo não pode tangenciar simultaneamente outros três círculos. 7. (Ufpb) A figura a seguir representa um barril totalmente fechado, que foi construído unindose 1 tábuas encurvadas e iguais, encaixadas e presas a outras tábuas circulares e iguais, de raio 10 cm. Com base nessas informações, pode-se concluir que a medida, em cm, do segmento de reta AB é igual a: a) 10 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 8. (Uel) Uma das propriedades dos Fractais é a autosimilaridade, isto é, a repetição do todo em cada parte. "Floco de neve", (curva c n ) de Helge Von Koch , é uma curva matemática que é um fractal primitivo, podendo ser construído sem o auxílio de um computador. Para a construção desse fractal devem ser seguidos os seguintes passos: 1. Tome um triângulo equilátero cujo lado tem uma unidade de comprimento e chame-o de curva c 1.. Divida cada lado desse triângulo em três partes iguais e, tomando como base o terço médio de cada lado, construa um novo triângulo equilátero apontando para fora, (apague as partes comuns aos triângulos antigos), a nova curva é chamada c. 3. Repita o processo em c, para obter c Repetindo o processo n vezes, obtemos a curva c n. Página 10 de 9

11 Sejam p 1, p, p 3,..., p n os perímetros das curvas c 1, c, c 3,.., c n, respectivamente. Com base nas imagens e nos conhecimentos sobre o tema, é correto afirmar: a) p 1 > p > p 3 b) O perímetro p n é inversamente proporcional a n. c) As curvas são simétricas em relação ao eixo vertical central de cada uma delas. d) ( 1 ). p 1 = ( 1 ). p 3 e) A curva c 5 é constituída por 344 lados. 9. (Uff) A Escola Pitagórica desenvolvia estudos em Matemática, Filosofia e Astronomia. O símbolo dessa Escola era a estrela de cinco pontas, que pode ser construída ligando-se os vértices de um pentágono regular, conforme a figura. Sejam S 1 e S as áreas dos pentágonos regulares MNPQR e STUVX, respectivamente. Sabendo que MU/MT = (1 + 5 ) S1, assinale a opção que contém a razão S. a) [( 5) + 1] [( 5 ) 1] Página 11 de 9

12 b) c) d) e) [( 5 ) + 1] 4 [( 5) + 1] [( 5 ) 1] (1 5 ) (1+ 5 ) [1 + ( 5 )] (Pucrs) Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas de um cubo conforme a figura a seguir. Se a aresta do cubo é dada por a, a área do hexágono é a) b) c) d) e) (3a ) 3a (3a ) 4 (3a 3) 4 (3a 3) 31. (Fuvest) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é a) 5 3 b) 6 3 c) 7 3 d) 8 3 e) (Ufrgs) Na figura a seguir, o pentágono ABCDE, inscrito no círculo, é regular. Página 1 de 9

13 A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e, indicados na figura, é a) 150. b) 180. c) 70. d) 360. e) (Fatec) No centro de uma praça deve ser pintada uma linha com o formato de um polígono regular, não convexo, como mostra o projeto a seguir. Se os vértices pertencem a circunferências de raios 4 m e m, respectivamente, o comprimento total da linha a ser pintada, em metros, é igual a a) 5 - b) 8. [ ( 5 - ) ] c) 16. [ ( 5 - )] d) 4. [ ( 5 - )] e) 16. [ ( 5 - )] 34. (Pucsp) Para formar uma estrela regular de seis pontas foram superpostos dois triângulos equiláteros, cada qual com 1 cm de área, como mostra a figura a seguir. Página 13 de 9

14 Nessas condições, a área da superfície da estrela, em centímetros quadrados, é a) 16 b) 18 c) 1 d) 4 e) (Pucpr) Quatro triângulos congruentes são recortados de um retângulo de 11x13. O octógono resultante tem oito lados iguais. O comprimento do lado deste octógono é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) (Mackenzie) Na figura, á = 30, O é o centro da circunferência e AB é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da circunferência é 4ð, a área desse polígono é: Página 14 de 9

15 a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 1 3 e) (Unifesp) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo è mede a) 108. b) 7. c) 54. d) 36. e) (Ita) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) (Ufes) Página 15 de 9

16 O polígono ABCDEFGH, representado acima, é um octógono regular. Dentre os triângulos listados a seguir, o de maior área é o triângulo a) BCE b) DEG c) GHB d) HAE e) CFH 40. (Enem) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome Triângulo Quadrado Pentágono Figura Ângulo interno Nome Hexágono Octágono Eneágono Figura Ângulo interno Página 16 de 9

17 Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono. 41. (Ufes) Os pontos P=(a,b), Q=(a,-b) e R=(b,a) são vértices de um dodecágono regular (polígono regular de 1 lados); P e Q são vértices consecutivos. A soma das coordenadas de um vértice qualquer desse polígono poderá tomar quantos valores distintos? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) (Pucrj) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? a). b) 3. c). d) 3a. e) 3a. 43. (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 1 lados. e) 0 lados. 44. (Uel) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) 0 3 b) 18 3 c) 15 d) 1 3 e) (Pucpr) Unindo-se três a três os vértices de um polígono regular obteve-se 10 triângulos. Qual era o polígono? a) hexágono. b) pentágono. c) icoságono. d) decágono. e) octógono. 46. (Fatec) Dada a figura: Página 17 de 9

18 Sobre as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) são todas falsas. e) são todas verdadeiras. 47. (Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3 cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser: a) 7 e) 77/3 48. (Ita) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será: 3 a) R b) + 1 R c) R d) 1 R e) 3 1 R Página 18 de 9

19 49. (Mackenzie) Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular de n lados. Então, qualquer que seja n, r/r vale: a) sen (ð/n) b) tg (ð/n) c) cos (ð/n) d) sen (ð/n) e) cos (ð/n) 50. (Ita) O comprimento da diagonal de um pentágono regular de lado medindo 1 unidade é igual à raiz positiva de: a) x + x - = 0 b) x - x - = 0 c) x - x + 1 = 0 d) x + x - 1 = 0 e) x - x - 1 = (Unesp) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é: b). c),5. d) 3. e) 4. Página 19 de 9

20 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC x + x = 10 x = 50 Portanto, a área do quadrado é Resposta da questão : [C] 50cm. = 10cm, daí temos: Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135, segue-se que os quatro triângulos, resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a. Logo, como a área do quadrado destacado no centro do octógono é tem-se que o resultado pedido é 1 a a a 4 + a + S = a + a + S = S + S = S( + 1). S = a, Resposta da questão 3: Os polígonos P 1 e P possuem dois vértices em comum (vértices do polígono de n lados), e n n = 1 vértices distintos. Logo, o número de vértices de P 1 é n 1 + = n + 1, isto é, n 1 + lados. Resposta da questão 4: Dado que CAE CEA = 60, é imediato que o triângulo ACE é equilátero. Logo, queremos calcular a altura do triângulo ACE relativa ao lado AE. Página 0 de 9

21 Portanto, sendo 40 metros a medida do lado do triângulo, o resultado é igual a ,7 = 34 m. Resposta da questão 5: [C] Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 3m e as mudas correspondem aos pontos vermelhos. Portanto, segue que o resultado pedido é 9. Resposta da questão 6: Como EF = FA = AQ = QC = 1dm, basta calcularmos CE. Sabendo que CDE = 10 e CD = DE = 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos CE = CD + DE CD DE coscde 1 = = 3. Portanto, CE = 3 dm e o resultado pedido é EF + FA + AQ + QC + CE = (4 + 3)dm. Resposta da questão 7: [E] Página 1 de 9

22 r 3 a a = r = (no hexágono regular) 3 A área S do triângulo será dada por: 1 1 a 3 S = 3 r sen10 = 3 = a 3. 3 Resposta da questão 8: [A] Considere a figura. Sejam e x, respectivamente, os lados dos quadrados ABCD e EFGH. Sabendo que OC = OG = cm, vem = OC = = 4cm. 4 Além disso, temos que MO = = = cm e MN = FG = NG. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo GON, encontramos x NG + ON = OG + (x + ) = ( ) 5x + 16x 16 = 0 x = 0,8. Resposta da questão 9: [D] Soma dos perímetros de todos os triângulos: ( ).3 = 7 cm. Total de linha em cm: 7/10 =,7m = 70 cm. Valor total: (0,05.70/10+,50).50 = R$19,50. Resposta da questão 10: Página de 9

23 ANULADA (Questão anulada, conforme gabarito) Sabendo que o lado de um triângulo equilátero é dado por = a 3, com a sendo o seu apótema, podemos concluir que a área desse triângulo é igual a 3 ( 3) 3 = 4 4 = 1 3 cm. Portanto, não há alternativa correta. Resposta da questão 11: [C] Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro em C. Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que 60 3 OC = 34 cm. 3 Portanto, R = OC + CD + DE = = 74cm. Resposta da questão 1: [A] Apótema do hexágono regular: R 3 a = Página 3 de 9

24 No triângulo assinalado da figura, temos: 5R 3 3R D = + D = 1 R D = R 1. Resposta da questão 13: [D] d3,8 = 4.a = = 3 d3,5 = = d5,8 = + = = 1 4 Página 4 de 9

25 Resposta da questão 14: [A] Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever: R + R = L L R = R = L Portanto: L R. Resposta da questão 15: Como o raio r do círculo inscrito no hexágono é a metade da distância entre os lados 1 paralelos, segue que r = cm. Logo, o lado do hexágono regular é dado por = cm. 3 3 Resposta da questão 16: [D] Página 5 de 9

26 Número de cordas = n.( n 1) n n P = n.( n 1) C n, n! = =!.( n )! n 4 = n 1 n.( n 1) Resposta da questão 17: Sabendo que o número de diagonais (d) de um polígono regular em função do número de n (n 3) n (n 3) lados (n) é dado por d =, temos que 0 = n 3n 40 = 0 n = 8. Logo, A, B, C e D são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede 180 (n ) 180 (8 ) = = 135. n 8 De posse desses dados, considere a figura abaixo. Como os triângulos AB'B e CC'D são congruentes, basta calcularmos AB ', pois BB'C'C é retângulo. AB 1 Assim, AB' = = =. Por conseguinte, AD = AB' + B'C' = + 1 = + 1. Resposta da questão 18: [A] Perímetro do hexágono = 6.15 = 90m. Distância percorrida em 100 voltas na pista = = 9000m = 9km. Resposta da questão 19: [A] (verdadeiro) definição de ângulos opostos pelo vértice. Página 6 de 9

27 (falsa) x + 7x = 180 x = 0 o e x = 40 o. O complemento de 40 o (menor) é 50 O (Verdadeiro) V = π π = (falso) definição de retas reversas. 6.(6 3) = 9 (verdadeiro) d = n 3 = 9 n = 1 Resposta da questão 0: 6.(6 3) Diagonais de P: = 9 Lados de Q: n 3 = 9 n = 1 Ângulo interno de Q: 180(1 ) 1 = 150 graus Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão : [E] O número de diagonais do hexágono é dado por: n( n 3) d = = 6 3 = 9. Destas, três medem e seis medem 3. Logo, = 30 = 30 1 = 30. Resposta da questão 3: Resposta da questão 4: Resposta da questão 5: Resposta da questão 6: [C] Página 7 de 9

28 Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: [C] Resposta da questão 9: [A] Resposta da questão 30: [D] Resposta da questão 31: Resposta da questão 3: Resposta da questão 33: [E] Resposta da questão 34: [A] Resposta da questão 35: [C] Resposta da questão 36: Resposta da questão 37: [D] Resposta da questão 38: [D] Resposta da questão 39: [E] Resposta da questão 40: Cada ângulo interno do octógono regular mede 135 e cada ângulo interno do quadrado mede 90. Somando = 360. Portanto, o polígono pedido é o quadrado. Página 8 de 9

29 Resposta da questão 41: Resposta da questão 4: [A] Resposta da questão 43: [C] Resposta da questão 44: [A] Resposta da questão 45: [D] Resposta da questão 46: [E] Resposta da questão 47: Resposta da questão 48: [A] Resposta da questão 49: [C] Resposta da questão 50: [E] Resposta da questão 51: Página 9 de 9