Matemática Básica: Revisão Prof.: Luiz Gonzaga Damasceno

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1 Aula 1. Introdução Hoje e dia teos a educação presencial, sei-presencial e educação a distância. A presencial é a dos cursos regulares, onde professores e alunos se encontra sepre nu local, chaado sala de aula. É o ensino convencional. A sei-presencial acontece e parte na sala de aula e outra parte a distância, através de tecnologias. A educação a distância é a odalidade onde as atividades de ensino são desenvolvidas se que alunos e professores esteja presentes no eso lugar à esa hora. Neste curso vaos trabalhar co a odalidade sei-presencial, onde as atividades teóricas fundaentais do curso e as dúvidas ais iportantes serão discutidas e sala de aula. Objetivos: Conceituar núeros naturais, inteiros e fracionários. Enuerar as propriedades operacionais dos núeros. Representar núeros graficaente. Aplicar as propriedades operacionais dos núeros no desenvolviento de expressões nuéricas. 1. Núeros Núeros naturais, inteiros, racionais e irracionais Conheceos os núeros pela contage, que surge, de aneira natural. São os núeros 1, 2, 3, 4, 5,..., etc. Quando estudaos o sistea de nueração, aparece o 0 (zero). Ele é usado para indicar a ausência de eleentos e u deterinado conjunto de objetos. Chaaos de núeros naturais aos núeros 0, 1, 2, 3, 4... N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } Considerando as operações eleentares de adição, subtração, ultiplicação e divisão quais dessas perguntas são verdadeiras? A soa de dois núeros naturais é sepre u núero natural? A diferença de dois núeros naturais é sepre u núero natural? O produto de dois núeros naturais é sepre u núero natural? O quociente de dois núeros naturais é sepre u núero natural? É de fácil verificação os seguintes resultados: A soa de dois núeros naturais é u núero natural. Exeplo: = = = 20 O produto de dois núeros naturais é u núero natural. Exeplo: 2 x 3 = 6 0 x 5 = 0 7 x 13 = 91

2 A diferença de dois núeros naturais só é u núero natural quando o prieiro é aior ou igual ao segundo. Exeplo: 7 3 = = = 6 3 e 6 não são núeros naturais. Chaaos de núeros inteiros aos núeros, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, N = {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, } Tanto os núeros naturais coo os núeros inteiros pode ser representados nua reta nuérica da seguinte aneira: Observações: 1) Todo núero negativo está à esquerda do zero, portanto todo núero negativo x é enor que zero, isto é, x < 0; 2) Todo núero positivo está à direita do zero, portanto todo núero positivo x é aior que zero, isto é, x > 0; 3) u núero é sepre enor que o núero que está à sua direita e sepre aior que o núero que está à sua esquerda. Exeplos: - 4 < 0 (- 4 é enor que zero) - 2 < 3 (- 2 é enor que 3) - 5 < - 3 (- 5 é enor que - 3) 3 > - 5 ( 3 é aior que - 5) 0 > - 4 ( zero é aior que - 4) O quociente de dois núeros naturais ne sepre é u núero natural. Exeplo: 2 4 = 0,5 1 5 = 0,2 Da esa fora, o quociente de dois núeros inteiros ne sepre é u núero inteiro. Exeplo: (- 2) 4 = - 0,5 1 (- 5) = - 0,2 Chaaos de núeros racionais aos núeros da fora diferente de zero). p q onde p e q são inteiros e q 0 (q é Exeplo: 2 4 = 0,5 = 1 2

3 1 (- 5) = - 0,2 = 1 5 Qualquer núero racional pode ser representado por u ponto na reta nuérica. Chaaos de núeros irracionais aos núeros que não são racionais. Exeplo: 2, 3, Considere os conjuntos: N = conjunto dos núeros naturais = { x / x é u núero natural } Z = conjunto dos núeros inteiros = { x / x é u núero inteiro } Q = conjunto dos núeros racionais p = { p, q são inteiros e q 0 } q I = conjunto dos núeros irracionais = { x / x é u núero irracional } Podeos representar estes conjuntos por diagraas: O conjunto dos núeros reais é a reunião do conjunto dos núeros racionais co o conjunto dos núeros irracionais. Exeplo: 0, 2, 7, 13, (naturais) -2, -1, 12, 23, (inteiros) 17 6, 5 2, 17 6, 4 3, 2, 1,0,2,7,13, 1 6, 1 2 (racionais) 2, 3, (irracionais) onde 2=1,4142 3=1,7321 = 3,1416

4 1.2. Operações co núeros. Propriedades. As operações fundaentais co núeros são a adição, a subtração, a ultiplicação e a divisão. A prieira operação é a adição. Exeplo: = 90 A adição possui duas propriedades: Prieira propriedade: A orde das parcelas não altera a soa. Exeplo: = = 58 Segunda propriedade: Podeos associar duas ou ais parcelas de ua adição, se que o resultado seja alterado. Exeplo: = ( ) + 32 = = = 18 + ( ) = = 90 A ultiplicação tabé possui as propriedades acia, onde a prieira é chaada de coutativa e a segunda de associativa. Prieira propriedade: A orde dos fatores não altera o produto. Exeplo: 18 x 40 = 40 x 18 = 720 Segunda propriedade: Podeos associar dois ou ais fatores de ua ultiplicação, se que o resultado seja alterado. Exeplo: 18 x 40 x 32 = (18 x 40) x 32 = 720 x 32 = x 40 x 32 = 18 x (40 x 32) = 18 x 1280 = As outras operações são a subtração e a divisão. Ua terceira propriedade é a distributiva da ultiplicação e relação à adição. Esta propriedade tabé vale para a subtração. Exeplo: 4 x ( ) = 4 x x 25 4 x (25 15) = 4 x 25 4 x Expressões nuéricas. Quando trabalhaos co expressões nuércas, as operações a sere efetuadas são priorizadas obedecendo a orde: (1) Multiplicação e divisão, na orde e que aparece (2) Soa e subtração, tabé na orde e que ocorre

5 Quando a expressão apresentar ( ), [ ] e { } a orde de execução dos cálculos obedece a (1) os parêntesis (2) os colchetes (3) as chaves Efetua-se as operações entre parênteses. A seguir, efetua-se as operações entre colchetes, de acordo co a orde estabelecida. Se existir chaves, efetua-se as operações entre chaves, tabé de acordo co a orde estabelecida. Por fi, calcula-se as operações finais. Exeplo: = = = 5 Exeplo: = ( 3 7 ) = ( 10 ) = = 5 Exeplo: 5 + (12 + 3) : 3 = = : 3 = = = 10 Exeplo: [( ). 3-9] : 15 = = [ ] : 15 = = [69-9] : 15 = = 60 : 15 = = 4 Exeplo: {15 - [2. (9-12 : 4)]} : 3 = = {15 - [ 2. (9-3)]} : 3 = = {15 - [2. 6]} : 3 = = { 15-12} : 3 = = 3 : 3 = = Regra de sinais Adição e Subtração Sinais iguais: Adicionaos os algarisos e anteos o sinal. Sinais diferentes: Subtraíos os algarisos e aplicaos o sinal do aior. Exeplos: Multiplicação e Divisão Sinais iguais: Operaos e aplicaos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operaos e aplicaos o sinal negativo. Exeplos:

6 Exercícios: 1.5 Potenciação. Potenciação é o tipo de ultiplicação, e que os fatores são todos iguais. Exeplo: = 10² Exeplo: = 10³ Base da potência é o núero que é ultiplicado várias vezes por ele eso (no exeplo acia, é o núero 10). Expoente é o núero que indica quantas vezes a base está sendo ultiplicada (nos exeplos acia, são os núeros 2 e 3). O resultado da potenciação é chaado de potência. Exeplo: 4³ = = 64 Exeplo: 5² = 5 5 = 25 que se lê: 4 elevado à 3ª potência ou 4 à terceira ou ainda 4 ao cubo Exeplo: 2 5 = = Observações iportantes: 1. Se a base é igual a 1 e o expoente é qualquer núero, então a potência é sepre igual a 1. Exeplo: 1 5 = = 1 2. Se o expoente é igual a 1 e a base é qualquer núero, então a potência é sepre igual à base. Exeplo: 3 1 = 3 3. Se a base é zero e o expoente é qualquer núero diferente de zero, então a potência é sepre igual a zero. Exeplo: 0³ = = 0 4. Se a base é 10 e o expoente é qualquer núero diferente de zero, então a potência é u núero que coeça co 1 e te u núero de zeros igual ao expoente. Exeplo: 10² = = 100

7 10 5 = = Se a base é u núero qualquer diferente de zero e o expoente é zero, então a potência, é sepre igual a 1. Exeplo: 3 0 = Regras da potenciação. Observe o seguinte: 3 4 = = = = = 1 Prieira propriedade: Produto de potências de esa base = (5 5 5) ( ) = = 5 (3+4) = 5 7 Para ultiplicar potências de esa base, repetios a base e soaos os expoentes. a a n = a +n Segunda propriedade: Divisão de potências de esa base 5 7 / 5 4 = ( ) / ( ) = = 5 (7 4) = 5 3 Para dividir potências de esa base, repetios a base e subtraíos os expoentes. a a n a n Terceira Propriedade: Potenciação de potência (3 2 ) 3 = = = = 3 6 Para elevar ua potência a u outro expoente, repetios a base e ultiplicaos os expoentes. n n ( a ) a Quarta propriedade: Distributividade e relação à ultiplicação e à divisão

8 Para elevar u produto ou u quociente a u expoente, elevaos cada fator a esse expoente ou, no caso do quociente, elevaos o dividendo e o divisor ao eso expoente. ( a b) a ( ) b a b a b Referências Bibliográficas: Silva, Sebastião Medeiros da. Mateática para os cursos de econoia, adinistração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Copacto de Mateática: Teoria e Prática. 2.ed. São Paulo: Editora Rideel, Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Mateática copleta: ensino édio. vol. Único, São Paulo : Editora FTD, Leos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridan, Saloão, Mateática, São Paulo: Editora Moderna, Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Mateática, São Paulo: Editora Nacional, 1976.