Probabilidade. Evento (E) é o acontecimento que deve ser analisado.

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1 Probabilidade Definição: Probabilidade é uma razão(divisão) entre a quantidade de eventos e a quantidade de amostras. Amostra ou espaço amostral é o conjunto formado por todos os elementos que estão incluídos no conjunto universo (U).(universo que você está trabalhando). Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é formado por números de 1 a 6, que compõe os números das faces. Nesse caso, dizemos que o número de espaço amostral é U) 6 O espaço amostral pode ser escrito como U, A ou às vezes, como Ω(ômega). Evento (E) é o acontecimento que deve ser analisado. Ex: No lançamento de um dado não viciado, a probabilidade de aparecer um número maior que 5. Nesse caso, o evento é face com numero maior que 5 e a resposta é 6. Logo, a quantidade de eventos E) 1. Probabilidade Definição: P ( E) E) U ) Exemplo1: No lançamento simultâneo de 2 dados não viciados, qual a probabilidade de ambos os número sejam iguais e pares? U { (1;1), (1;2), (1;3),(1;4), (1;5), (1;6),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1),(3,2);(3,3);(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;6), (5;1),(5;2),(5;3)(5;4),(5;5),(5;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)} U) 36 E) 3, pois (2;2),(4;4),(6;6)

2 E) ,33% 3 Ex2: Um famoso jogo do sistema operacional Windows é o Campo Minado, em que o jogador precisa descobrir em que posições (delimitadas pelos quadrados) estão colocadas 10 minas(bombas) As regras do jogo são as seguintes: A área do jogo contém o campo do jogo, um contador de minas no lado esquerdo (são 10 ao todo) e um cronômetro do lado direito. Você pode revelar um quadrado clicando nele com mouse. Se você revelar uma mina, perderá o jogo. O número que aparece no quadrado indica quantas minas existem nos oito quadrados que o cercam. No exemplo abaixo, o número 2 indica que existem 2 minas espalhadas nos 8 quadrados que cercam o número 2. Para marcar um quadrado que você acha que contém uma mina, clique nele com o botão direito do mouse. Ele ficará marcado com uma bandeirinha. Baseado nessas informações, verifique qual das opções abaixo é a mais indicada para dar o próximo clique, considerando que o objetivo é não revelar nenhuma mina. Justifique a sua escolha. Opção 1: Qualquer um dos oito quadrados que cercam o número 2 já revelado. Opção 2: qualquer um dos 8 quadrados que cercam o número 1 já revelado. Opção 3: qualquer um dos quadrados restantes incluídos nas opções anteriores.

3 Resolução: Opção 1: Probabilidade de encontrar uma mina entre oito quadrados é: E) 2/8 25% Opção 2: Probabilidade de encontrar uma mina entre oito quadrados é E) 1/8 12,5% Opção 3: existem 10 bombas espalhadas, mas 3 bombas estão nas proximidades dos quadrados revelados. Restam 7 bombas para 48 quadrados. Logo probabilidade nesses quadradinhos é E) 7/48 14,5% Resposta: Opção 2. - Sempre que possível, faça espaço amostral. Prece trabalhoso mas vale a pena. - para calcular a resposta em porcentagem, divida a o numerador pelo denominador e pule duas casas para a direita. - sempre que estiver com dúvida na resolução use a definição, isto é : P ( E) E) U ) 1.Lançando simultaneamente dois dados não viciados, qual a probabilidade de obter números cujo produto seja ímpar? 2. Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas.qual é a probabilidade de, ao acaso, escolher uma bola vermelha? 3. No lançamento simultâneo de 4 moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas, pelo menos 3 caras?

4 Probabilidade da união de dois eventos (OU) AU A) + - A Ex: No lançamento de um dado perfeito: a)qual é a probabilidade de sair um número par ou múltiplo de 3? Resolução: A conjunção coordenada alternativa ou que aparece dentro da frase indica que é união de dois eventos: número par e múltiplo de 3. Porém o número 6 é par e ao mesmo tempo, é múltiplo de 3, então estamos contando duas vezes o mesmo número. Para não continuar com este erro, subtraímos 1 vez, usando A. Assim: par U múltiplo de 3) par) + múltiplo de 3) par múltiplo de 3) par) múltiplode3) par múltiplo3) + U ) U ) U ) par U múltiplo de 3) b) não sair par ou não sair múltiplo de 3? 66,67% A negação de um evento pode ser escrito da forma E ). No caso do exercício acima, como a probabilidade de sair par ou múltiplo de 3 é 66,7%, então a probabilidade de não sair é AUB ) 100% - 66,67% 33,3%. Existem situações em que vale a pena projetar no diagrama de Venn. Exemplo: (Vunesp-SP) Uma pesquisa sobre o grupo sanguíneo ABO, na qual foram testadas 6000 pessoas de uma mesma raça, revelou que 2527 têm o antígeno A, 2234 o antígeno B e 1846 não tem nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha dois antígenos? Resolução: 2527-x+x+2234-x x X 607 x) 607/6000 ~10,2%

5 Exercícios: 1. (F.M. Triânguo Mineiro) Uma carta é retirada ao acaso, de um baralho de 52 cartas.a probabilidade de que ela seja vermelha ou um rei preto é: 2. Numa classe há16 homens e 20 mulheres, sendo que metade dos homens e metade das mulheres têm cabelos castanhos. Ao escolher ao acaso um aluno, qual é a probabilidade de que seja um homem ou tenha cabelos castanhos? 3. Um economista apresenta proposta de trabalho às empresas X e Y, de modo que a probabilidade de ele ser contratado pela empresa X é 0,61, a de ser contratado pela empresa Y é de 0,53 e a de ser contratado pelas ambas é de 0,27. Determine a probabilidade de o economista não ser contratado por nenhuma das empresas. Respostas: 1) 7/13 2)72,2% 3)0,13 Probabilidade condicional (sabendo-se que) A A/ Lê-se: probabilidade de acontecer eventos A e B, sabendo que o evento B já aconteceu. Pode ser calculado também pela fórmula: probabilidades de A e B, mas conhecendo A) e A A/, se não souber as Exemplo: Numa população de 500 pessoas, 280 são mulheres e exercem a profissão de advogado, sendo 20 do sexo feminino. Tomado ao acaso uma dessas pessoas, qual é a probabilidade de que sendo mulher, seja advogada? Resolução: Dados: U) 500; mulher) 280; advogado mulher) 20 advogado/mulher) advogado mulher) mulher) % 4

6 O denominador é sempre a parte que já conhece. Quando a questão diz que pelo menos 1 seja alguma coisa, é melhor calcular E) 1-não ser alguma coisa). Quando a informação está em forma de porcentagem, use A A/, pois a probabilidade de cada parte já está embutida. Muitas vezes, a parte conhecida não está explícita. Cabe ao aluno interpreta la. Exercícios: 1.Numa cidade, 20% da população são mulheres que não podem votar(< 16). Se 60% da população são mulheres, qual é a probabilidade de que uma mulher selecionada ao acaso não possa votar? 2..Uma urna contém 10 bolas brancas, 6 bolas azuis e 4 pretas. Uma dessas bolas é escolhida ao acaso e verifica-se que ela não é preta. Qual é a probabilidade de ela ser azul? Respostas: 1) 33,3% 2)3/8 Probabilidade de escolher mais de um elemento Suponhamos que, ao invés de escolhermos aleatoriamente um elemento, escolhermos mais de um elemento. Nesse caso devemos calcular de quantas maneiras podemos escolher. Normalmente recaímos em Análise Combinatória. EX: Numa empresa há um grupo de 12 estagiários, dos quais 5 são homens Pretende-se efetivar 5 estagiários. Qual a probabilidade desse grupo de 5 estagiários que serão efetivados serem formado somente por homens? Resolução: Como temos que escolher 5 pessoas entre 12, U) C 12,5 e 5 entre 5 homens, E) C 5,5 E) C C 5,5 12, Exercícios:

7 1.Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de: 2. Oito pessoas, sendo 5 homens e 3 mulheres, serão organizadas numa fila. A probabilidade de as pessoas do mesmo sexo ficarem juntas é: Resposta: 1) 60% 2) 1/28 Probabilidade de eventos independentes (e) P ( A A). lê-se: probabilidade de acontecer evento A e evento B. Seja o exemplo: Uma urna possui 10 bolas, sendo 4 vermelhas, 3 brancas e 3 azuis. Retirando-se 3 bolas sucessivamente e sem reposição, qual a probabilidade de: a) Todas serem vermelhas? b) A primeira ser vermelha e a última ser azul? Resolução: Normalmente usamos o método de ramos e folhas, separando cada acontecimento. a) Todas vermelhas v,v,v) b) v,...a) 1 30 c) % 20

8 Exercícios. 1..Uma urna possui 10 bolas, sendo 4 vermelhas, 3 brancas e 3 azuis. Retirando-se sucessivamente e sem reposição, qual é a probabilidade de ter 3 bolas diferentes? 2. (Mackenzie) Numa urna são colocadas 60 bolas iguais, numeradas de 1 a 60. A probabilidade de sortearmos, sucessivamente, com reposição, 3 bolas com números que são múltiplos de 5 é de: 3. Um casal pretende ter exatamente três filhos. Qual a probabilidade de que pelo menos um seja menino? Respostas: 1) 30% 2) 0,8% 3) 87,5% Probabilidade com experimentos binomiais Quando repetimos uma operação por várias vezes, de modo que o resultado seja aleatório, chamamos de experimentos aleatórios e a probabilidade nesse caso, é calculada pela fórmula: E) n k k n k ( p) ( q). onde: n total de experimentos (ou fatos repetidos); k quantidade daquilo que se deseja saber; p probabilidade daquilo que se deseja saber; q probabilidade de não acontecer. Exemplo: Suponha que a probabilidade de Ronaldinho acertar um pênalti num jogo é de 90%. Se ele bater três pênaltis, a probabilidade de ele acertar dois é? Resolução: n 3; k 2(quer acertar); p( probabilidade de acertar) 90%; q 10%(probabilidade de não acertar). 3 2 E) ( 90% ) 2.( 10 % ) %.10% 24,3%

9 Exercícios: 1 Na espécie humana, a polidactilia (dedo a mais) é devida a um gene dominante. Quando a mulher é polidáctila, de mãe e marido normais, qual é a probabilidade de que o casal venha a ter dois descendentes polidáctilo, se o casal pretende ter 4 filhos? 2..A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 1/5. Qual a probabilidade que ele tem, de em 7 tiros, acertar 3? 3. Um homem de olhos castanhos e de visão normal casa-se com uma mulher de fenótipo igual; nasce um filho de olhos azuis e míope. O casal pretende ter outro filho. Qual a probabilidade de ele apresentar olhos castanhos, visão normal e de sexo masculino? Respostas: 1) 50%; 2) 57,34% 3) 9/32

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