1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios

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1 Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a multiplicação de polinômios são feitas algebricamente como com qualquer outra expressão numérica. A divisão de polinômios é um dos métodos mais eficientes para o estudo detalhado e a determinação de raízes de polinômios em geral. É interessante, portanto, estudar alguns métodos e teoremas acerca deste assunto. 2 SOMA Polinômios são agrupados em coeficientes de potências de variável independente, portanto devemos sempre agrupar termos que acompanham a mesma potência dessa variável. Sendo assim, dados dois polinômios: Chama-se soma de com o polinômio: Exemplos: Tomemos os polinômios e 2.1 Diferença de polinômios Assim como quando trabalhamos com números reais, a diferença entre dois polinômios é a soma de um polinômio com o oposto do outro. Dessa forma, dados os polinômios: Chama-se diferença entre e o polinômio: Exemplos: Tomemos os polinômios e 3 PRODUTO Dados dois polinômios: Chama-se produto o polinômio Essa definição não é muito prática, nem fácil de entender, em geral, para realizar produtos de polinômios, fazemos uso da propriedade distributiva e, em sequência, realizamos as operações de soma, vejamos o exemplo: e Por fim: OBSERVAÇÃO: Note que o grau da soma de dois polinômios é o mesmo 2 grau MÉTODO do polinômio DAS de maior CHAVES grau entre os dois. Na multiplicação, o grau é a soma dos graus O dos método dois polinômios. das chaves Simbolicamente: para encontrar e é muito parecido Se com e o método, com da divisão. Temos de números. que: Suponhamos que queiramos dividir o polinômio ( ) pelo polinômio. Veja o procedimento abaixo: 4 DIVISÃO 4.1 Divisão Euclidiana Para entender a divisão de polinômios, é interessante fazer uma analogia com a divisão de números. Suponhamos que queiramos dividir o número 134 pelo número 14. Obteremos um quociente igual a 9 e um resto igual a 8. É correto então dizer que: De uma maneira geral, dados dois números naturais D e d, com d 0, dividir D por d é obter números naturais q e r cumprindo: D = d.q + r e 0 r < d Esquematicamente: 16 Algebra CASD Vestibulares

2 Assim como com os números, em polinômios a divisão euclidiana também é válida, ou seja, dividir um polinômio D(x) por um polinômio d(x) é obter polinômios Q(x) e r(x) cumprindo: Onde: Ou seja, o grau de r deve ser menor do que o grau de Q, ao menos que r(x) = 0. Simbolicamente: D(x) = d(x).q(x) + r(x) Assim como com números, segue a nomenclatura: D(x) dividendo d(x) divisor Q(x) quociente r(x) resto Exercício Resolvido 1 D(x) = d(x).q(x) + r(x) r Q ou r(x) = 0 Ao dividirmos um polinômio P(x) por D(x), encontramos um quociente Q(x) e um resto R(x). Sabendo que P: é uma função par, que P(-2) = 5 e que 2 é raíz de Q(x), determine o valor numérico de R(x) em x = 2. II. O dividendo não é o polinômio nulo, mas tem grau menor que o divisor. Neste caso, Q(x) = 0 e r(x) = D(x). 4.3 Método das Chaves Mostraremos agora o Método das Chaves para a divisão de polinômios, ou Algoritmo da Divisão Algébrica de polinômios. O método é geral e divide qualquer polinômio por outro de grau menos ou igual ao primeiro, porém exige cuidado com o uso dos sinais de cada termo no processo de execução do algoritmo. O método muito parecido com o método da divisão de números. Suponhamos que queiramos dividir o polinômio pelo polinômio. Veja o procedimento abaixo: Primeiro colocamos os polinômios na mesma forma em que colocamos dois números: Agora vejamos o termo de maior grau do dividendo e do divisor. Ao dividir por, encontramos. Colocamos então no quociente: Da divisão euclidiana para polinômios, temos que: Para, temos: Como P é função par,, então: Além disso, 2 é raíz de Q(x), logo, logo: Finalmente: Já aprendemos como intepretar a divisão de polinômios a partir do algoritmo de Euclides, agora, veremos técnicas para determinar o quociente e o resto em divisões polinomiais. 4.2 Divisões Imediatas I. O dividendo é o polinômio nulo. Neste caso, os polinômios Q(x) = 0 e r(x) = 0 são as soluções da operação. Pois D(x) = d(x).q(x) + r(x) 0 = d(x) = 0 Multiplicamos o divisor por e o colocamos sob o dividendo com sinal trocado. Veja que: Sendo assim, devemos colocar embaixo do dividendo o seu oposto, ou seja, : Somamos: Repetimos o mesmo procedimento, agora com o resto parcial: Dividimos por, encontramos e vamos somar então ao nosso quociente.

3 Multiplicamos por :, e somamos seu oposto: Acompanhe o método das chaves abaixo: Finalmente, ao dividirmos por, encontramos 1. Temos:. Somamos, então, ao dividendo: Veja que o resto agora é, como esse polinômio possui grau menor que o divisor, ele é o resto da divisão. Paramos então e temos nosso quociente e nosso resto: Concluímos então que e OBSERVAÇÃO: Note que o grau do quociente de dois polinômios é menor ou igual a diferença entre os graus do dividendo e do divisor. Simbolicamente: Se e, com. Temos que: Dicas para o Vestibular Alguns problemas clássicos nem mesmo requerem que utilizemos o método das chaves para soluciona-los. Quando possível, é bom evitar utilizar este método, pois ele é relativamente trabalhoso. Muitas vezes podemos usar a Divisão Euclidiana para encontrarmos o que o problema exige. Confira os dois exercícios resolvidos abaixo: Exercício Resolvido 3 Ache o resto da divisão de por Certamente seria muito trabalhoso neste caso utilizar o método das chaves. Não faria sentido, de qualquer forma, pois não nos interessa o quociente da divisão, mas somente o resto. Como o divisor é, que tem grau 2, o resto certamente terá no máximo grau 1. Então: Assim e. Confirme que é válido escrever: Temos então: Uma boa idéia então é substituir valores de que zeram o divisor. As raízes de são e. Para, temos: Exercício Resolvido 2 Para, temos: Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio por ( ) Resolvendo o sistema, temos: e, e como, então

4 Exercício Resolvido 4 Sabendo que, determine e é divisível por Se é divisível por, significa que o resto é igual a zero! Assim: assim: As raízes de são e, Para Para Resolvendo o sistema, encontramos Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (UFC-2007) Os números reais, e são tais que, para todo x real, tem-se: Desse modo, o valor de é: a) -2 b) 0 c) 4 d) 6 e) (PUC-RS-2008) Os polinômios e têm coeficientes em e seu produto é um polinômio de grau 2, igual ao de. O grau de é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) (UFV) O produto (2x 2 + 3x 5) (x 2 2) 5 (x 2 3x) 3 é um polinômio de grau: a) 8 b) 15 c) 6 d) 18 e) (UFG-2007) Considere o polinômio: O grau de é: a) 6 b) 21 c) 36 d) 720 e) (UESPI) O resto da divisão do polinômio P(x) = x por x 2 + 4x + 8 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (UEL-PR) Na divisão de x 5 + 2x 4 3x 3 +x 2 3x+ 2 por x 2 + x + 1 o: a) quociente é x 3 + x 2 5x + 5 b) resto é 8x + 3 c) quociente é x 3 + x 2 + x + 1 d) resto é 3x + 8 e) quociente é x 3 + 5x 2 x (UECE) O resto da divisão do polinômio P(x) = 2(x+1) 2 + x(x 1) + 8 por x 2 + x + 1 é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) (CESGRANRIO) O resto da divisão do polinômio P(x) = (x 2 + 1) 2 pelo polinômio D(x) = (x 1) 2 é igual a: a) 2 b) 4 c) 2x 1 d) 4x 2 e) 8x 4 09.(UFGO) Na divisão do polinômio P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d pelo polinômio D(x) = x 2 + 1, encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x 1 e para resto o polinômio R(x) = x + 1. Então P(x) é o polinômio: a) x 3 x 2 +x+1 b) 2x 3 x 2 +1 c) 2x 3 x 2 x+1 d) 2x 3 x 2 +3x e) x 3 x (UECE) Se o polinômio P(x) = x 3 + 3x 2 + mx + n é divisível por x 2 3x + 2, então o valor de m.n é: a) 192 b) 194 c) 196 d) 198 Nível II 11. (FGV-2008) O quociente da divisão do polinômio por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau: a) 5 b) 10 c) 13 d) 15 e) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade a seguir para todo valor de que não anula nenhum dos denominadores. A soma A + B é: a) b) c) 0 d) e) 13. (UNIFESP-2007) Se É verdadeira para todo real,,, então o valor de é: a) -4 b) -3 c) -2 d) 2 e) (MACK-SP) Se R(x) é o resto da divisão então R(0) vale: a) b) c) d) e) 15. (ITA-2008) Um polinômio é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de é 62, então o de maior grau tem grau igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38

5 Nível III 16. (UFC-CE) Dois polinômios f(x) e g(x), quando divididos por D(x) = x 2 8x + 15, dão restos, respectivamente, iguais a 2x 1 e x + 2. Nestas condições indique a opção na qual consta o valor correto de: M = f(g(3)) + g(f(3)) a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 GABARITO C A D B D A C E D A D D C B B 16 C

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