1 INTRODUÇÃO 3 RELAÇÕES DE GIRARD 2 SOMAS DE GIRARD. Exercício Resolvido 1. Matemática Polinômios CAPÍTULO 04 RELAÇÕES DE GIRARD

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1 Matemática Polinômios CAPÍTULO 04 RELAÇÕES DE GIRARD 1 INTRODUÇÃO Aprendemos, até agora, a resolver equações do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, agora, é encontrar maneiras de resolver equações de graus maiores, ou seja, equações do tipo: Dessa forma, sejam as raízes de um polinômio, definimos as somas de Girard: Estudaremos agora algumas relações inerentes a cada polinômio que auxiliam na busca de novas raízes. Cabe ressaltar que essas relações por si só não permitirão que encontremos as raízes do polinômio. Elas apenas auxiliarão a nossa busca. Estudamos em equação do 2º grau as relações de Girard para equações desse tipo. Vimos que, em um polinômio do segundo grau da forma: Sendo e as raízes da equação, sabemos que elas satifazem as seguintes relações: O que veremos aqui é a expansão dessa idéia para polinômios de grau. 2 SOMAS DE GIRARD Antes de enunciarmos as famosas Relações de Girard, vamos primeiro definir um termo que será mencionado no próprio teorema. Para exemplificar o conceito considere três números:, e. { 3 RELAÇÕES DE GIRARD As Relações de Girard são enunciadas da seguinte forma: Dado um polinômio:, as suas raízes satisfazem: Apesar de, a princípio, parecer algo complicado, sua aplicação na verdade é bem simples. Vejamos alguns exemplos: EXEMPLOS:, suas raízes satisfazem as seguintes relações:, suas raízes satisfazem as seguintes relações: a soma 1 de Girard desses três números é a soma 2 de Girard desses três números é, suas raízes satisfazem as seguintes relações: a soma 3 de Girard desses três números é Vimos como estão definidas as Somas de Girard para três números, observe que o índice numérico associado a cada soma indica o número de termos agrupados em cada parcela da soma. De modo geral, a soma de Girard de números é a soma de todas as combinações possíveis de se fazer escolhendo números dos números de que dispomos. Vejamos a seguir alguns exemplos de exercícios em que utilizar relações de Girard nos ajudará. Exercício Resolvido 1 Sabendo que o polinômio admite raiz tripla, determine e 16 Algebra CASD Vestibulares

2 Resolução Sejam, e suas raízes, como admite raiz tripla, temos: Das relações de Girard, temos: { De onde segue que as 3 raízes são: 2, 5, 8 Exercício Resolvido 4 temos: Da terceira equação:. Encontramos então a raiz do polinômio. Substituindo nas duas primeiras equações, Exercício Resolvido 2 Sabendo que é uma raiz do polinômio abaixo: Fatore a expressão Como o polinômio é de grau 3, ele tem 3 raízes, dentre as quais 3 é uma delas. Podemos encontrar as outras duas utilizando relações de Girard: Soma das raízes: Sabendo que o polinômio raiz dupla, determine todas as suas raízes admite Produto das raízes: Se o polinômio admite raiz dupla, então. Chamemos a sua terceira raiz de. Das relações de Girard, temos: Da primeira equação: Substituindo isso na segunda equação: As soluções são e. Se Se Para decidir qual valor de usar, temos que verificarn a terceira relação de Girard: A equação só é satisfeita para o caso em que e, sendo assim, as raízes do polinômio são (raiz dupla) e. Exercício Resolvido 3 Determine as raízes do polinômio Sabendo que as mesmas se encontram em Progressão Aritmética. Como as raízes estão em progressão aritmética, podemos dizer que são do tipo:, Das relações de Girard para o polinômio, obtemos: Resolvendo o sistema, encontramos e, ou seja, as raízes do polinômio são e, e como (coeficiente líder do polinômio), a forma fatorada de é: Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (UFPE-2004) Sejam, e as raízes da equação. Determine o polinômio que tem raízes, e e indique o valor do produto 2. (UFSCAR-2002) Considerando que é raiz do polinômio, a soma das raízes reais desse polinômio vale: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 3. (UFC-2002) O polinômio, em que e são números reais, possui o número complexo como uma de suas raízes. Então o produto é igual a: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 4. (UFRJ-2002) Considere o polinômio Mostre que é uma de suas raízes e calcule as demais raízes. 20 Algebra CASD Vestibulares

3 5. (PUC-RJ-2006) A diferença entre as raízes do polinômio é 1. Os possíveis valores de são: a) 0 e 2 b) 1 e 2 c) 0 e 3 d) 1 e 0 e) 1 e 3 6. (Fuvest-2002) As raízes do polinômio, onde é um número real, estão em progressão aritmética. Determine: a) O valor de b) As raízes desse polinômio Nível II 7. (UERJ-2002-Adaptada) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir:. Determine a razão entre sua área total e seu volume. 8. (ITA-2001) O valor da soma para que as raízes do polinômio estejam em progressão aritmética de razão é: a) 36 b) 41 c) 26 d) -27 e) (ITA-2004) Considere a equação Em que é uma constante real. Para qual valor de a equação admite uma raiz dupla no intervalo? 10. (PUC-SP-2001) Sabe-se que o polinômio admite três raízes reais tais que uma delas é a soma das outras duas. Nessas condições, se é a parte real do número complexo, então a) É um imaginário puro b) Tem módulo igual a 2 c) É o conjugado de d) É tal que e) Tem argumento principal igual a A soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14. Assim, os três números pensados por João são raízes da equação: a) b) c) d) 14. (UNESP 2014) Sabe-se que, na equação 3 2 x 4x x 6 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é a) S = { 3, 2, 1} b) S = { 3, 2, + 1} c) S = {+ 1, + 2, + 3} d) S = { 1, + 2, + 3} e) S = { 2, + 1, + 3} GABARITO E 3. E 4. e 5. E 6. a) b) B 9. ( ) 10. E 11. a), e b) A 14. B 11. (Unicamp-2003) Seja um número real e seja: a) Para, encontre todas as raízes da equação b) Encontre os valores de para os quais a equação tenha uma única raiz real. 12. (UFF-2002) A equação tem duas de suas raízes iguais a 2. Dadas as funções e definidas, respectivamente, por e, determine o domínio de 13. (UEG-2010) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte: A soma desses números é 7. O produto deles é Algebra CASD Vestibulares

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