Matrizes. a inversa da matriz , onde cada elemento aij

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1 Matrizes. (Ufpe 03) Seja a c b d a inversa da matriz 3. 4 Indique a b c d.. (Espm 03) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é 4 x 5 dada pela matriz 3 y, onde cada elemento aij representa a quantidade de 6 y x moradores do apartamento j do andar i. Sabe-se que, no º andar, moram 3 pessoas a mais que no º e que os apartamentos de número 3 comportam pessoas ao todo. O valor de n é: a) 30 b) 3 c) 3 d) 33 e) (Fgv 03) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A, 5 e que a matriz X é solução da equação matricial X A B, B 8 3, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é a) 7 b) 8 c) 9 d) 0 e) em que 4. (Fgv 03) Um determinado produto deve ser distribuído a partir de 3 fábricas para 4 lojas consumidoras. Seja C (c ij) 3 4 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica i para a loja j, com c (i 3j). Seja B (b ij) 3 4 a matriz que representa a quantidade de produtos ij transportados da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com bij i j. a) Determine as matrizes C (c ij) 3 4 e b) Sendo D 4 que X B D e y. ij e 3 t B sendo que t B é a transposta da matriz B (b ij) 34. E 0 0, determine as matrizes X (x ij) 3 e Y (y ij) 3 tais t Y E (C B ). Em seguida, determine o significado econômico de x ij e de Página de 5

2 5. (Fuvest 03) Sejam α e β números reais com π α π e 0 β π. Se o sistema de equações, dado em notação matricial, 3 6 tg α 0, 6 8 cos β 3 for satisfeito, então α β é igual a a) b) π 3 π c) 0 d) 6 π e) 3 π 6 6. (Insper 03) Considere as matrizes são as soluções não nulas da equação a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) A, 0 03 B, 80 0 A Y B X, 0 x X y e então x y é igual a x Y. y Se x e y 7. (Udesc 0) Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que: a ij = i + j b ij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão geométrica de razão. Analise as proposições abaixo: ( ) A = A T ( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética. ( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em progressão aritmética. ( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A B. O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0 b) 3 c) d) e) 4 Página de 5

3 a a 8. (Fuvest 0) Considere a matriz A a a em que a é um número real. Sabendo que A admite a inversa A cuja primeira coluna é, a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. (Uftm 0) Considere as matrizes tal que a i j, e A a ij, ij ij tal que ij B b, b i j. Determine: a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B. b) a matriz M de ordem que é solução da equação matricial A M B 0, em que 0 representa a matriz nula de ordem. 0. (Fgvrj 0) Seja X a matriz que satisfaz a equação matricial X.A = B, em que: A 5 3 e B 8 5. Ao multiplicar os elementos da matriz X, obteremos o número: a) - b) - c) d) e) 0. (Udesc 0) Considere as matrizes C. y b 0 c a equação matricial A 6B C é: a) 6 b) 4 c) 4 d) 34 e) 6 x 9 a 0 A, y 4 6 x 3 b B y 4 A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem. (G - ifal 0) Sejam as matrizes A 3x, B x3 e C 3x3. É verdade que: a) A + B t é uma matriz x3. b) A. B é uma matriz 3x3. c) A. B é uma matriz x. d) B. C é uma matriz 3x3. e) C. A é uma matriz 3x3. e Página 3 de 5

4 (Uern 0) Sejam as matrizes M, N e P MN NM. 0 5 elemento da matriz P é a) 7. b). c) 5. d). O menor 4. (Ufg 0) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareado e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com 000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano. TABELA Parafusos/caixa Pequena Grande Soft Escareado Sextavado TABELA Caixas/mês JAN FEV MAR Pequena Grande Associando as matrizes A e B às tabelas e, respectivamente, o produto AxB fornece a) o número de caixas fabricadas no trimestre. b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna. c) a produção mensal de cada tipo de parafuso. d) a produção total de parafusos por caixa. e) a produção média de parafusos por caixa. 5. (Enem 0) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. º bimestre º bimestre 3º bimestre 4º bimestre Matemática 5,9 6, 4,5 5,5 Português 6,6 7, 6,5 8,4 Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0 História 6, 5,6 5,9 7,7 Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por a) b) c) d) e) Página 4 de 5

5 a 6. (Fgv 0) A matriz b é a solução da equação matricial AX M em que: c 5 8 A 0 4 e M 5. Então a b c vale: a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 7 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 7. (Pucrs 0) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que os alunos resolvessem a seguinte questão: Se A, 3 4 então 3 a) 4 4 b) c) 5 5 d) e) 5 5 A é igual a a b 8. (Uftm 0) É dada a matriz A, onde a e b são números reais. Se b a 0 a., então o determinante de A é igual a 3 5 b a) 3b 4a. b) b² a². c) b² 5. d) 5a. e) 5a. Página 5 de 5

6 9. (Ufsm 0) O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta. Atribuindo valor quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela: A matriz a a) ij A (a ij) 4x4 0, se i j, se i j Urso Esquilo Inseto Planta Urso 0 Esquilo 0 0 Inseto Planta , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação: a b) ij 0, se i j, se i j a c) ij 0, se i j, se i j a d) ij 0, se i j, se i j a e) ij 0, se i j, se i j 0. (G - ifsc 0) Sobre as propriedades da matriz transposta, considere as sentenças abaixo: I. t t t A B A B II. t t ka ka III. t t t AB A B Assinale a alternativa correta. a) Apenas a sentença II é verdadeira. b) Apenas a sentença III é verdadeira. c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras. e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras. Página 6 de 5

7 Gabarito: Resposta da questão : a b Se a matriz é a inversa de c d 3, então: 4 3a b a b 3 0 a 4b 0 c d 4 0 3c d 0 c 4d Portanto, a 4 b. c d 3 a b c d Resposta da questão : [C] Sabendo que os apartamentos de número 3 comportam pessoas ao todo, temos: 5 y x x y 6. Portanto, o valor de n é dado por: 4 6 x 3 y Resposta da questão 3: [A] Sabendo que A A I, com I sendo a matriz identidade de ordem, temos X A B X A A B A X I B A 3 X X X 9. Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 ( ) 7. Resposta da questão 4: a) Temos Página 7 de 5

8 ( 3) ( 6) ( 9) ( ) C (4 3) (4 6) (4 9) (4 ) (6 3) (6 6) (6 9) (6 ) e B Daí, 3 4 t B b) A matriz X é tal que X Cada x ij indica o número total, em milhares de unidades, de produtos transportados da fábrica i para todas as quatro lojas. A matriz Y é dada por Página 8 de 5

9 Y y indica o custo total com transporte, da fábrica, para as quatro lojas; e y k, com k 3, indica o custo total que a fábrica teria para transportar a produção das fábricas e 3 para as quatro lojas. Resposta da questão 5: [B] Efetuando o produto matricial, vem 3 6 tg 0 3 tg 6cos cos 3 6 tg 8 cos 3 3 tg 6cos 0 3 tg 4cos 3 Desse modo, cos 3 3 cos rad. 6 3 tg 6cos 0 tg 3 6 rad 3 e, portanto, rad Página 9 de 5

10 Resposta da questão 6: [C] Sabendo que x 0 e y 0, vem x 0 3 x 0 A Y B X 0 0 y 8 0 y 0 3x 3y 0 y 8x 0 3x 3y 0 y 8x 0 3x 3y 0 y 8x 0 y x 3 x(x 8) 0 x. y 4 Portanto, x y ( ) ( 4) 8. Resposta da questão 7: [B] Temos que 3 4 A e 3 B Como A é simétrica, segue que t A A. Os elementos da primeira linha da matriz B estão em progressão aritmética de razão ; os da segunda linha estão em progressão aritmética de razão e os da terceira linha estão em progressão aritmética de razão Calculando a matriz AB, obtemos AB Logo, os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética. O determinante da matriz C não admite inversa. C A B é dado por detc Portanto, Página 0 de 5

11 Resposta da questão 8: [A] A.A - = I a a a x 0 a a y 0 Temos o sistema a.(a ) (a ) (a ).(a ) (a ) Resolvendo o sistema temos a =, A e A 3 Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + = 5. Resposta da questão 9: a) A lei de formação da matriz C é tal que cij aij bij i j (i j) [(i j) i j]. Portanto, c c C c c [( ) ] [( ) ] [( ) ] [( ) ] b) Pela lei de lei formação da matriz A, obtemos A. 5 8 det A Assim, podemos obter a inversa de A, que é dada por Daí, o determinante de A é A Portanto, como 4 9 B, segue que Página de 5

12 A M B 0 A M B A A M A B M A B M M Resposta da questão 0: [B] Logo, a b a 3b 8 5 Resolvendo o sistema, temos: a 5b 8 a 3b 5 a e b X Portanto, o produto dos elementos de X é. Página de 5

13 Resposta da questão : [A] Como x 6 3 6b 6 6B, y vem x x 9 a b y y y b 0 c x x a 6b y y y b 0 c Igualando os termos correspondentes, segue que b, c 4 e a 6b 3 a. Além disso, x x x x (3 ) e x (3 3) 36 x x y y y y y ( ) 0 Portanto, a soma pedida é y 8 4 y 9 y. x y a b c ( ) ( 4) 6. Resposta da questão : [B] [A] Falsa, pois A + B T é uma matriz 3x. [B] Verdadeira, pois A.B é 3x3, pois a matriz produto A.B tem número de linhas de A e número de colunas de B. [C] Falsa, pois A.B é uma matriz 3x3. [D] Falsa, pois B.C é uma matriz x3. [E] Falsa, pois C.A é uma matriz 3x. Página 3 de 5

14 Resposta da questão 3: [A] A matriz P é tal que P Resposta da questão 4: [C] Portanto, o menor elemento da matriz P é 7. Se cada linha da matriz A representa o tipo de parafuso e cada coluna da matriz B o mês de produção, o produto das matrizes nos revelará a produção mensal de cada tipo de parafusos. Resposta da questão 5: [E] A média de cada matéria é a soma das notas dividido por 4, e a única matriz que possibilita esta condição é a da alternativa [E]. 4 5,9 6, 4,5 5,5 6,6 7, 6,5 8, ,6 6,8 7,8 9,0 = 6, 5,6 6,9 7, ,9 6, 4,5 5,5 4 6,6 7, 6,5 8,4 4 8,6 6,8 7, , 5,6 5,9 7,7 4 Página 4 de 5

15 Resposta da questão 6: [A] 5 a b c 9 a b 5c 8 Temos então o sistema b 4c 5 3c = 9 Logo, a = 7, b = 3 e c = 3. Portanto, a + b + c = = 67. Resposta da questão 7: [C] Como A A A, segue que A Resposta da questão 8: [E] Fazendo o produto de matrizes, temos: b b e a = 4 3a 5b Considerando a 4 e b, calculamos o determinante de A: det A a b a Resposta da questão 9: [C] A expressão a dada. ij 0, se i j, se i j representa a matriz 0 0 0, que representa a tabela Resposta da questão 0: [C] I. (V) - Propriedade das matrizes; II. (V) - Propriedade das matrizes; III. (F) - A propriedade correta é t t t AB B A. Página 5 de 5