Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução

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1 Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Exercício 6: Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5, g e uma de água, g. Qual das duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra? Para saber qual é a mais pesada, fazemos uma comparação através da relação de ordem: 5, > ñ 5, > 0 Como 5, = , substituindo na subtração obtemos: = e > é maior que , sendo que = 5, Portanto, a molécula de sacarose é mais pesada que a molécula de água. Para saber quantas vezes uma é mais pesada que a outra, basta dividirmos a massa da molécula de sacarose pela massa da molécula de água, obtendo assim um número, N, que será o número de vezes que a molécula de sacarose é mais pesada que a molécula de água. N = é é á ï N =,.. Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base : N =,.(( ï N =,.( ï N =,. ï N= 19 Portanto, a molécula de sacarose é 19 vezes mais pesada que a molécula de água. Exercício 7: Num copo de água com açúcar há 180 g de água e 11,4 g de açúcar. Usando os dados do exercício anterior, calcule: a) Quantas moléculas de água há no copo; b) Quantas moléculas de açúcar; c) Quantas vezes mais moléculas de água há do que de açúcar; d) O total de moléculas de água com açúcar. a) O número de moléculas de água é obtido facilmente através da divisão da massa de todas as moléculas de água no copo pela massa de uma molécula de água. Chamando este número de K, temos : K= é á é á K=. K=.. Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base : 1

2 K=.(( K=. K=. K= moléculas Portanto, o número de moléculas de água no copo é igual a b) Para descobrir o número de moléculas de sacarose, utilizaremos o mesmo raciocínio do item a), chamando este número de S: S = é é S =,,. S =,.,. Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base : S =,.((, S =,., S =.10 moléculas Portanto, o número de moléculas de sacarose no copo é de.10. c) Para saber isto, basta dividir o número de moléculas de água no copo pelo número de moléculas de sacarose no copo, que chamando este número de J: J= ú é á ú é J=. é. é B=.( B= 300 Portanto, o número de moléculas de água no copo é 300 vezes maior que o número de moléculas de sacarose. d) Basta somar o número de moléculas de ambos, chamando este número, por exemplo, de C: C = ú é á+ú é C = Como = = , segue que C = C = C = 6, Portanto, o número de moléculas presentes dentro do copo é igual a 6, Exercício 11: Suponha que um país A tenha uma renda per capta anual de dólares e uma população de 50 milhões de habitantes. Um outro país B tem uma renda per capta de dólares e uma população de 0 milhões. Se os dois países se fundirem para formar um novo país, a renda per capta resultante estará mais próxima de qual valor? Para resolver o exercício primeiramente devemos saber o que é renda per capita. Renda per capita é a média do quanto cada habitante de uma determinada região recebe de salário.

3 Sabendo isto, essa média está diretamente relacionada a quantidade de habitantes de uma região, logo devemos saber quantos habitantes o novo país chamado, por exemplo, C terá. A população do país C será dada pela soma dos habitantes dos países A e B: População do país C = çã +çã População do país C = 50 milhões + 0 milhões População do país C = 70 milhões A população do novo país é de 70 milhões. Quando calculamos a renda per capita, dividimos todo o dinheiro que a população tem, que chamaremos de, por exemplo, renda total, pela população da região. Então para calcular a renda per capita do novo país, devemos saber a renda total dos países A e B, somá-las e, assim obter a renda total do país C, para finalmente podermos calcular a renda per capita do novo país: Calculo da Renda total de A: Renda per capita do País A = çã Renda total de A = í çã Renda total de A = = (4+7). Portanto, Renda total de A = dólares Cálculo da renda total de B: Renda per capita do País B = í çã Renda do País B = Renda per capita do País B População de B Renda do País B = =.10 (4+7). Portanto, Renda do País B = dólares Calculando a renda total do País C: Renda total do País C = í + í Renda total do País C = dólares dólares Sabemos que = , logo: Renda total do País C = Renda total do País C = 1,.10 1 dólares 3

4 Agora que conhecemos a população total do novo País e a população do mesmo, podemos calcular a renda per capita de C: Renda per capita do País C = í çã í Renda per capita do País C =,.,.(. = =,. Renda per capita do País C = 1714,85 dólares A renda per capita do País C está mais próxima da renda do País A ou do País B? Para saber a resposta, calculamos o módulo da diferença da renda do País C com as rendas dos Países A e B, de modo que o menor valor nos indicará a resposta: Calculando a diferença de renda entre os Países A e C, chamando, por exemplo, a diferença de D AC : D AC = í í D AC = ,85 D AC = 857,15 = 857,15. Calculando a diferença de renda entre os Países B e C, chamando, por exemplo, a diferença de D BC : D BC = í í D BC = ,85 D BC = 714,85 = 714,85. Portanto, a renda per capita do novo país está mais próxima da renda per capita do país A. Exercício 16: Efetue e/ou simplifique: a) + Neste item podemos simplesmente somar as frações, pois os seus denominadores são iguais: + = x 1 c) x + 1 x Neste item precisamos utilizar a definição de soma de frações, pois os denominadores são diferentes: x 1 x x 1 1 = = x + 1 x x ( x + 1) x ( x + 1) f) (3 - + ) Neste item basta apenas aplicar a propriedade distributiva da multiplicação: (3 + = 3 + 4

5 Exercício 19: Determine o conjunto solução das equações e inequações abaixo: b) 7 4 <10 Para resolver os exercícios a seguir, devemos sempre utilizar a definição de módulo: <10, 7 ( <10, 7 <0 <10, <10, < A partir da situação acima temos duas possibilidades: A inequação será resolvida para valores de x,ou para valores de x <. Para valores de x,temos : 7 4 <10 7 <14 < Portanto para esse caso, x pode assumir os valores < Para valores de x <, temos: 4 7 <10 ï 7 <6 Quando multiplicamos uma desigualdade por valores negativos, invertemos a desigualdade: < 6 7 Nesse caso, x pode assumir valores < <, logo a solução da inequação é: S = R < < d) +5 Utilizando a definição de módulo temos: +5, +5 0 (+5, +5 <0 +5, 5 (+5, < 5 Assim, a inequação poderá ter soluções em duas regiões: 5 ou < 5. Resolvendo a inequação para 5 : +5 3 Portanto, para 5, x poderá assumir valores tais que 3. Resolvendo a inequação para < 5 : ( Portanto, para < 5, x poderá assumir valores tais que 7. Logo, o conjunto solução da inequação é S = R 7 3 5

6 e) 3+5 = 3+1 Para resolver essa equação, podemos utilizar uma das propriedades do módulo que é a seguinte: = Segundo essa propriedade, podemos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado e assim, retiramos o módulo dos dois lados da equação: 3+5 = 3+1 (3+5 =(3+1 Agora basta resolver a equação de segundo grau: = =0 = ±..(. = = Assim, conjunto solução da equação é S =,. Exercício 4: a) Calcule 100 1, 100 1,5 e 100. b) A média aritmética dos expoentes 1 e é 1,5. A média aritmética das potências e 100 é 100 1,5? Justifique sua resposta. c) Verifique se a média geométrica de e 100 é 100 1,5. a) = 100 e 100 = Para calcularmos 100 1,5 escrevemos 1,5 = e, portanto, 100 1,5 = 100 = 100 =(10 = 10 =10 =1000. b) A média aritmética entre e 100 é dada por: = =5050 Portanto, a média aritmética de e 100 é diferente de 100 1,5. c) A média geométrica entre e 100 é dada por: = =1000 Logo, a média geométrica de e 100 é igual a 100 1,5. Exercício 6: Quanto mede a aresta de um cubo que tem volume igual ao de um bloco retangular de 51 mm 16 mm 15 mm? 6

7 Segundo o enunciado, o volume do cubo,v c, de aresta a, é igual ao volume do paralelepípedo, V p, de dimensões 51 mm, 16 mm e 15 mm, ou seja,v p = V c. O volume do paralelepípedo é dado pelo produto de suas dimensões: V p = (51 mm) ( 16 mm) ( 15 mm) V p = mm 3 ou V p = 13,84 dm 3. O volume do cubo é dado por: V c = a 3 e, por hipótese, V c = 13,84 dm 3. Calculando o valor da aresta do cubo: 13,84 = a 3 a = 13,84 a =,4 dm ou a = 40 mm Exercício 7: A porcentagem de fumantes de uma cidade é 3%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a Calcule: a) O número de fumantes da cidade. b) O número de habitantes da cidade. a) Se param de fumar, então continuam fumando. Logo teremos 1800 =. F, onde F é o número total de fumantes. Resolvendo a equação descobrimos que F = Portanto, o número de fumantes da cidade é igual a b) A porcentagem de fumantes da cidade é 3% e, pelo item a) descobrimos que o número de fumantes é igual a Logo, = 0,3 N, onde N é o número de habitantes da cidade. Portanto, N = N = 55000, Portanto, o número de habitantes da cidade é igual a Exercício 30: Divida (isto é, dê o quociente e o resto): a) 4x 3x + 6 por x b) x + x + x + 15 por x 6x + 4 a) 4x 3x + 6 x + 4x 8x 4x x x Portanto, quociente = 4x 11 e resto = 8. 7

8 b) x x x x x x + 3x x x + x + 5 x x x x + 1x 8x Portanto, quociente = Exercício 31. Fatore: a) x + 4x + 3 d) 8x 3 7 x x x + x x e resto = 4x 5. x x f) x 3 4x + Para fatorar um polinômio inicialmente devemos encontrar suas raízes. Assim: a) 4 ± ± 4 x + 4x + 3 = 0 x = x = x = 1 ou x = 3. Portanto, podemos escrever x + 4x + 3 = (x+1) (x+3) d) 8x 7 = 0 x = x = x =. 8 8 Neste caso o polinômio possui apenas uma raiz real, o que significa que ela pode ter multiplicidade 3 ou que as outras duas são complexas. Para saber qual situação ocorre, devemos dividir o polinômio por (x 3/). Efetuando esta divisão, obtemos: x 7 = x (8x + 1x + 18) = x (4x + 6x + 9) = (x 3)(4x + 6x + 9). Note que o segundo polinômio não possui raízes reais (verifique!). Assim, a forma fatorada do polinômio dado é a expressão encontrada acima, ou seja, esta é a forma de representar o polinômio 8x 3 7 como produto de dois polinômios mais simples (de menor grau) x 4x + = 0 x x + 1 = 0 x x + 1 = 0. f) ( ) É fácil ver que x = 1 é uma raiz do polinômio acima. Portanto, podemos escrever x 3 x + 1 = (x -1) p(x), onde p(x) é encontrado quando fazemos a divisão (x 3 x + 1) / (x-1). Efetuando esta divisão obtemos (x 3 x + 1) = (x-1) (x + x 1). Porém, p(x) = x + x 1 possui duas raízes reais, que são x1 = e x =. Logo, podemos escrever x 4x + = ( x x + 1) = ( x 1) x x que é a forma fatorada do polinômio dado. 8