NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA 1

2 Sumário Aula Números primos... 5 Fatoração de um número... 5 Método da tabela... 6 Mínimo múltiplo comum... 6 Máximo divisor comum... 7 Lista de exercícios... 8 Aula Adição/Subtração com frações pelo método do MMC... 9 Adição/Subtração com frações pelo método da multiplicação cruzada...10 Multiplicação de frações...10 Divisão de frações Lista de exercícios Aula Medidas de comprimento...13 Medidas de volume Perímetro ou metro linear Áreas de figuras planas...15 Área de um paralelogramo...15 Área de uma região triangular...15 Área de uma região triangular sendo conhecido os três lados...16 Área de uma região limitada por um triângulo equilátero

3 Área da região limitada por um trapézio...17 Lista de exercícios...18 Aula Produtos Notáveis...19 Quadrado da soma...19 Quadrado da diferença Produto da soma pela diferença...20 Equação do 2 Grau...20 Lista de exercícios Aula Porcentagem Método direto para resolver problemas de porcentagem Lista de exercícios...26 Respostas...27 Bibliografia

4 Introdução Esta apostila serve como uma revisão dos conteúdos de matemática do ensino fundamental que são de extrema importância para o bom desenvolvimento dos conteúdos matemáticos do ensino médio, nela estão conteúdos revisados de maneira objetiva para o bom desenvolvimento pedagógico. Este material tem por objetivo oferecer os conhecimentos básicos aos alunos que dele precisem, buscando com isso melhorar o índice de aproveitamento nas disciplinas que envolve matemática para isso conta com definições matemáticas, exercícios resolvidos e ao fim de cada módulo tem uma pequena lista de exercícios para fixação. 4

5 Números primos Definição: Um número é dito primo quando só admite os divisores triviais. (O número 1 e ele mesmo). Nota: Por definição o número 1 não é considerado um número primo. Aula 1 Atividade exemplo: Entre os números 5,4,7,15 quais são primos? Solução: Os divisores de 5 são: 1 e 5 Os divisores de 4 são: 1, 2 e 4 Os divisores de 7 são: 1 e 7 Os divisores de 15 são: 1, 3, 5, 15 Sendo assim os números primos são o 5 e o 7. Fatoração de um número Fatorar um número é escrever esse número como sendo o produto de números primos. Atividade exemplo: Fatore o número 28. Solução: Observe que 28=2.2.7 Note que tanto 2 quanto o 7 são números primos, dizemos então que a forma fatorada do número 28 é Veremos agora um método mais prático para chegar a forma fatorada de um número. 5

6 Método da tabela: Este método consiste em criar uma tabela com duas colunas onde na primeira coluna será posto os dividendos e na segunda os divisores primos. Observe o exemplo abaixo: O Processo consiste no seguinte, colocamos o número que desejamos fatorar e vamos efetuando divisões pelos menores números primos até não ser mais possível a divisão. A forma fatorada será o produto dos números que aparecerem na segunda coluna. Neste nosso exemplo temos que a forma fatorada de 36 é ou Mínimo múltiplo comum: Definição: Em matemática o MMC de dois números inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo de a e b simultaneamente. Atividade exemplo: Qual o MMC de 12 e 5? Solução: Os múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, Os múltiplos de 6 são: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, Observe que de acordo com a definição o MMC de 6 e 5 é o 60. Usando o método para fatorar os números é possível entrar o MMC de dois números de forma mais fácil, para tal fatoramos os dois números simultaneamente. 6

7 Atividade exemplo: Encontre o MMC de 18 e 20 18, , , 5 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 O processo consiste em ir fatorando os dois números simultaneamente, caso não seja possível dividir os dois números pelo fator primo repetimos na linha abaixo o número que não foi possível dividir e continuamos fazendo as divisões até chegarmos ao número que só é possível dividir por um. O MMC dos números fatorados será o produto de todos os números primos que estão há direita da linha = 180. Máximo divisor comum: Definição: Dados dois números inteiros a e b chamamos de Máximo Divisor Comum de a e b o maior número que divide simultaneamente os dois números. Para calcular o MDC de dois números o processo é análogo ao usado para o cálculo do MMC, com a diferença que o MDC será o produto dos fatores primos que dividem simultaneamente os dois números. (Não pode dividir apenas um dos números). Se MDC=1, dizemos que os números são primos entre si. Atividade exemplo: Calcule o MDC de 20 e , , , , 7 7 1, 1 7

8 Observe que há asterisco nos números pois são os números que dividem simultaneamente os dois números. O MDC será então o produto 2 5 ou seja, mdc=10. Lista de exercícios 1. Quais dos números 30, 43, 103, 24, 105 são primos? 2. Fatore os números: a) 45 b) 81 c) 1000 d) 512 e) 1024 f) Calcule o MMC e o MDC dos números a) 45 e 81 b) 45 e 1000 c) 512 e 81 d) 80 e 1024 e) 1024 e 45 f) 30 e 15 8

9 Aula 2 Adição/Subtração com frações pelo método do MMC No que se refere a adição ou subtração entre frações devemos tomar cuidado e observar o denominador (número de baixo da fração). Quando estamos somando ou subtraindo duas frações temos dois casos a serem observados são eles: Caso 1: As frações possuem o mesmo denominador Neste caso basta somar ou subtrair os numeradores (número de cima) e manter o denominador. Atividade exemplo: Calcule Solução: = 2 2 De modo análogo faríamos em caso de subtração. = 12 2 = 6 Caso 2: As frações possuem denominadores diferentes Neste caso primeiro calculamos o MMC dos denominadores e em seguida procedemos de acordo com o exemplo abaixo: Observe que primeiro calculamos o MMC (que será o denominador da nova fração) em seguida procedemos de acordo com a imagem acima. 9

10 Adição/Subtração com frações pelo método da multiplicação cruzada: Temos um método mais rápido para somar ou subtrair frações. Observe o exemplo abaixo: = = = Isto é, para somar ou subtrair duas frações com denominadores diferentes fazemos de acordo com a fórmula abaixo: Nota: Em alguns casos você terá que simplificar a fração obtida pela fórmula acima para chegar ao mesmo valor da fração obtida pelo método do MMC, entretanto os dois resultados estarão corretos. (Mesmo que você não simplifique a fração). Multiplicação de frações: Para multiplicar duas frações quaisquer basta multiplicarmos os numeradores e em seguida os numeradores. Atividade exemplo: = =

11 Divisão de frações: Vamos aprender a dividir duas frações por meio do exemplo abaixo. Atividade exemplo: = = 15 8 Em linguagem informal, Mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. Pensando um pouco... Considere que queremos dividir 4 por, 3 como devemos proceder? 2 Quando estamos dividindo um número que não é uma fração por uma fração primeiro devemos escrever o número como sendo uma fração, mas como fazemos isso? Muito simples, basta colocar o número 1 como denominador. Atividade exemplo: Divida 4 por 3 2. Primeiro escrevemos 4 como sendo uma fração, isto é 4= 4 feito isso procedemos como explicado 1 anteriormente. 11

12 Lista de exercícios 1. Calcule: a) b) c) d) Divida 4 por cinto sétimos. 3. Divida dois terços por cinco oitavos. 4. Divida 4 por cinco quartos e em seguida some o resultado com dois. 12

13 Aula 3 Medidas de comprimento De acordo com o S.I (Sistema internacional de unidades) a unidade padrão para medir comprimentos é o metro (m), mas temos outras unidades. Observe a tabela abaixo: Nome Unidade Quilometro Km Hectômetro Hm Decâmetro Dam Metro M Decímetro Dm Centímetro Cm Milímetro Mm A relação entre elas (conversão) é dada do seguinte modo, multiplicamos (dividimos) por 10 para cada linha descida (subida). Atividade exemplo: Converta 2,6 hectômetros para metros. Solução: Para chegarmos partindo de Hectômetro para Metro descemos duas casas, sendo assim multiplicamos por 10.10, portanto 2,6hm= ,6=260 m. 13

14 Medidas de volume: Nome Unidade Quilometro cúbico Km 3 Hectômetro cúbico Hm 3 Decâmetro cúbico Dam 3 Metro cúbico M 3 Decímetro cúbico Dm 3 Centímetro cúbico Cm 3 Milímetro cúbico Mm 3 Para efetuarmos as conversões a ideia é a mesma, a única diferença é que agora ao invés de multiplicarmos (dividirmos) por 10 fazemos por Nota: Uma unidade de medida muito popular é o litro (L) e o Mililitro, para converter essas unidades basta sabermos que: 1m 3 =1000L 1ml=1cm 3 Atividade exemplo: Converte 5 dam 3 para litros. Solução: Como 1m 3 = 1000L vamos converter primeiro 5dam 3 para m 3. 5dam 3 =5000m 3 Como 1m 3 =1000 L então 5000m 3 = L= L 14

15 Perímetro ou metro linear Definição: Definimos como perímetro de uma figura plana a soma das medidas de todos os seus lados. Áreas de figuras planas Área de um paralelogramo Definição: Paralelogramo é todo quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos. Área de uma região triangular 15

16 Área de uma região triangular sendo conhecido os três lados Conhecido os três lados de um triângulo qualquer, a área da região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron. Sendo o semiperímetro p = a+b+c 2 A = p(p a)(p b)(p c) 16

17 Área de uma região limitada por um triângulo equilátero Área da região limitada por um trapézio Definição: Um trapézio é todo quadrilátero plano convexo em que possui dois lados paralelos. Em outras palavras: A = (base maior + base menor) altura 2 17

18 Lista de exercícios 1. Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m? 2. Calcule a área e o perímetro da figura a baixo: 3. Calcule o perímetro da figura plana a seguir: 4. Uma escola pretende ladrilhar o seu pátio retangular, que possui as seguintes dimensões: 4 m e 5,5 m. Os ladrilhos utilizados são quadrados com 16 cm de lado. Calcule o número de ladrilhos necessários. 5. Bartolomeu é dono de um terreno no assentamento Taboca deseja construir canteiros de mesmas medidas em seu terreno conforme modelo abaixo onde estão indicadas as dimensões do projeto. (Os canteiros estão representados pela letra C) Qual a área ocupada pelos canteiros? 18

19 Aula 4 Produtos Notáveis: Quadrado da soma O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1 termo mais o dobro do produto do 1 termo pelo 2 termo mais o quadrado do 2 termo. Ou seja, (a + b ) 2 = a a b + b 2 Atividade: Desenvolva o produto (2x + 5) 2 Solução: (2x + 5) 2 = (2x) x 5 + (5) 2 = 4x x + 25 Quadrado da diferença O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1 termo mais o dobro do produto do 1 termo pelo 2 termo menos o quadrado do 2 termo. Ou seja, (c d) 2 = c 2 2 c d + d 2 Atividade: Desenvolva o produto (3x 2) 2 Solução: (3x 2) 2 = (3x) 2 2 3x 2 + (2) 2 = 9x 2 12x

20 Produto da soma pela diferença O produto da soma pela difernça dos mesmos termos é igual ao quadrado do 1 termo menos o quadrado do 2 termo. Ou seja, (a + b) (a b) = a 2 b 2 Atividade: calcule (2x + 3y) (2x 3y). Solução: (2x + 3y) (2x 3y) = (2x) 2 (3y) 2 = 4x 2 9y 2 Equação do 2 grau Toda equação do 2 grau é escrita da seguinte forma: ax 2 + bx + c = 0, com a 0 Obs: a é o coeficiente do termo em x 2 b é o coeficiente do termo em x c é o termo independente de x ( ou seja, que não tem x) Resolução de equações do 2 grau Em geral, indicamos os valores para x em uma só fórmula: x = b ± 2a, em que = b 2 4ac. : lê se "delta" As raízes ou soluções reais da equação depende do sinal de Para > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes. 20

21 Para = 0, a equação tem duas raízes iguais( ou uma única raiz real). Para < 0, a equação não possui raiz real. Atividade: Resolva a equação do 2 grau x 2 + 5x + 6. Solução: Primeiro identificamos os coeficientes a, b e c. a = 1 b = 5 c = 6 Agora substituimos os valores na fórmula = b 2 4ac = = = 1, como delta é > 0 teremos duas raízes diferentes. Substituimos o valor de delta e os coeficientes na fórmula x = b ± 2a x = x = Logo segue 5 ± 1, observe que substituimos os valores de a = 1, b = 5 e = ±1, iremos separar em duas soluções um com sinal de + e outra com sinal de x = 2 x = 4 2 x" = x" = x = 2 x" = 3 Logo as raízes da equação são x = 2 ou x = 3 21

22 Lista de exercícios 1. Calcule os produtos: a) (x + 9) 2 b) (4y 7) 2 c) ( 6z + 5k) (6z 5k) 2. Resolva as equações: a) 6x 2 7x 20 = 0 b) 5x 2 x + 6 = 0 c) 4x x 49 = 0 22

23 Porcentagem Aula 5 Uma porcentagem é uma fração cujo denominador é 100. Um modo bastante comum de calcular porcentagem é usando a regra de três, para melhor entendimento vamos considerar o exemplo abaixo: Atividade exemplo: Em um evento têm 68 pessoas das quais 17 são mulheres, qual a porcentagem de mulheres presente neste evento? Solução: Se o evento conta com 68 pessoas então essas 68 pessoas equivale a 100% das pessoas presentes, sendo assim queremos saber qual a porcentagem equivalente a 17 pessoas. Primeiramente colocamos essas informações em uma tabela, tal como na regra de três % 17 X% Agora basta resolver e chegaremos a x=25, portanto a quantidade de mulheres presentes equivale a 25%. Atividade exemplo: Uma loja vende uma televisão por R$ 1800, mas oferece um desconto de 15% para quem resolver pagar à vista. Qual é o preço da televisão a vista? Solução: Mostraremos dois modos de resolver o problema, escolha aquele que melhor se agradar. Modo 1: 1800 equivale a 100% e temos um desconto de 15% então primeiro calculamos quantos reais equivale 15% e em seguida descontamos o valor dos

24 x 15 Resolvendo encontramos x=270, portando o desconto é de R$ 270,00. Como o produto custa R$ 1800, pagando à vista o preço será: Preço = Preço = 1530 Modo 2: Como o produto custa 1800 e teremos um desconto de 15% então o produto ficara custando (100-15) % do preço de antes, ou seja 85% x 85 Resolvendo encontramos x= 1530, logo o preço final será R$ Método direto para resolver problemas de porcentagem Como uma porcentagem é uma fração cujo denominador é 100 podemos resolver problemas de porcentagem com uma ideia mais direta. Basta transformar a porcentagem em uma fração e em seguida procedermos do seguinte modo. i ii i) Se for um aumento somando 1+fração ii) Se for um desconto diminuímos 1 fração Agora basta multiplicar o valor do produto pelo valor encontrado em i) ou ii). Atividade exemplo: Uma loja vende uma televisão por R$ 1800, mas oferece um desconto de 15% para quem resolver pagar à vista. 24

25 Solução: 15% = = 0,15 Como foi um desconto então fazemos (1 0,15) resultando em 0,85. Agora basta multiplicar o valor encontrado pelo preço do produto. Preço final=1800 0,85 Preço final= 1530 OBS: Se fosse um aumento de 15% ficaria 1+0,15=1,15 e agora multiplicaríamos por 1800 resultando no valor final. 25

26 Lista de exercícios 1. A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 2. Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 3. Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? 4. Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 5. Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou? 6. Carlos estava sempre chegando muito cansado no trabalho. O chefe dele percebeu isso e falou que ele deveria passar pelo menos um terço do dia dormindo. Levando isso em consideração, quantas horas Carlos deveria dormir? 7. Fernanda ganha 10% a mais que Paulo. Se Fernanda ganhar um aumento de 20%, quantos porcento ela ganhará a mais que Paulo? 26

27 Respostas dos exercícios Aula , a) 45=32 5 b) 34 c) d) 29 e) 210 f) 24 5 Aula 2 a) MMC=405; MDC=9 b) MMC=9000; MDC=5 c) MMC=41472; MDC=1 d) MMC=5120; MDC=16 e) MMC=46080; MDC= 1 f) MMC=30; MDC=15 g) MMC=405; MDC= Aula Aproximadamente 859 ladrilhos 5. 20m 2 Aula 4 1. a) x x + 81 b) 16y 2 56y + 49 c) 36z 2 25k a) a) x = 5 2 e x = 4 3 b) não possui raiz real c) x = 7 2 b) 15 3 Aula c) d) % m 3. 6 professores reais reais 6. 8 horas 7. 32% 27

28 Referências bibliográficas 1. DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1.ed. São Paulo: Ática, Mundo educação, Exercícios sobre área e perímetro. Disponível em: < Acesso em: 17 de janeiro de Racha Cuca, Exercícios de Porcentagem. Disponível em: < Acesso em: 17 de janeiro de