NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA Curso: Nivelamento de matemática para novos alunos da EAGRO Escola Agrotécnica da Universidade Federal de Roraima

2 Sumário Aula Números primos... 5 Fatoração de um número... 5 Método da tabela... 6 Mínimo múltiplo comum... 6 Máximo divisor comum... 7 Lista de exercícios... 8 Aula Adição/Subtração com frações pelo método do MMC... 9 Adição/Subtração com frações pelo método da multiplicação cruzada Multiplicação de frações Divisão de frações Lista de exercícios Aula Medidas de comprimento Medidas de volume Perímetro ou metro linear Áreas de figuras planas Área de um paralelogramo Área de uma região triangular Área de uma região triangular sendo conhecido os três lados Área de uma região limitada por um triângulo equilátero Área da região limitada por um trapézio Lista de exercícios Aula Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regra de três simples Regra de três composta Curso: Nivelamento de matemática para novos alunos da EAGRO Escola Agrotécnica da Universidade Federal de Roraima

3 Lista de exercícios Aula Porcentagem Método direto para resolver problemas de porcentagem Lista de exercícios Respostas Bibliografia Curso: Nivelamento de matemática para novos alunos da EAGRO Escola Agrotécnica da Universidade Federal de Roraima

4 Introdução Esta apostila serve como uma revisão dos conteúdos de matemática do ensino fundamental que são de extrema importância para o bom desenvolvimento dos conteúdos matemáticos do ensino médio, nela estão conteúdos revisados de maneira objetiva para o bom desenvolvimento pedagógico. Este material tem por objetivo oferecer os conhecimentos básicos aos alunos que dele precisem, buscando com isso melhorar o índice de aproveitamento nas disciplinas que envolve matemática para isso conta com definições matemáticas, exercícios resolvidos e ao fim de cada módulo tem uma pequena lista de exercícios para fixação. Curso: Nivelamento de matemática para novos alunos da EAGRO Escola Agrotécnica da Universidade Federal de Roraima

5 Números primos Aula 1 Definição: Um número é dito primo quando só admite os divisores triviais. (O número 1 e ele mesmo). Nota: Por definição o número 1 não é considerado um número primo. Atividade exemplo: Entre os números 5,4,7,15 quais são primos? Solução: Os divisores de 5 são: 1 e 5 Os divisores de 4 são: 1, 2 e 4 Os divisores de 7 são: 1 e 7 Os divisores de 15 são: 1, 3, 5, 15 Sendo assim os números primos são o 5 e o 7. Fatoração de um número Fatorar um número é escrever esse número como sendo o produto de números primos. Atividade exemplo: Fatore o número 28. Solução: Observe que 28 = Note que tanto 2 quanto o 7 são números primos, dizemos então que a forma fatorada do número 28 é Veremos agora um método mais prático para chegar a forma fatorada de um número. 5

6 Método da tabela: Este método consiste em criar uma tabela com duas colunas onde na primeira coluna será posto os dividendos e na segunda os divisores primos. Observe o exemplo abaixo: O Processo consiste no seguinte, colocamos o número que desejamos fatorar e vamos efetuando divisões pelos menores números primos até não ser mais possível a divisão. A forma fatorada será o produto dos números que aparecerem na segunda coluna. Neste nosso exemplo temos que a forma fatorada de 36 é ou Mínimo múltiplo comum Definição: Em matemática o MMC de dois números inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo de a e b simultaneamente. Atividade exemplo: Qual o MMC de 12 e 5? Solução: Os múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, Os múltiplos de 6 são: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, Observe que de acordo com a definição o MMC de 6 e 5 é o 60. Usando o método para fatorar os números é possível entrar o MMC de dois números de forma mais fácil, para tal fatoramos os dois números simultaneamente. 6

7 Atividade exemplo: Encontre o MMC de 12 e O processo consiste em ir fatorando os dois números simultaneamente, caso não seja possível dividir os dois números pelo fator primo repetimos na linha abaixo o número que não foi possível dividir e continuamos fazendo as divisões até chegarmos ao número que só é possível dividir por um. O MMC dos números fatorados será o produto de todos os números na terceira coluna. Máximo divisor comum Definição: Dados dois números inteiros a e b chamamos de Máximo Divisor Comum de a e b o maior número que divide simultaneamente os dois números. Para calcular o MDC de dois números o processo é análogo ao usado para o cálculo do MMC, com a diferença que o MDC será o produto dos fatores primos que dividem simultaneamente os dois números. (Não pode dividir apenas um dos números). Se MDC = 1, dizemos que os números são primos entre si. Atividade exemplo: Calcule o MDC de 20 e * * Observe que há o asterisco nos números pois são os números que dividem simultaneamente os dois números. O MDC será então o produto 2.5 ou seja, mdc = 10 7

8 Lista de exercícios 1. Quais dos números 30, 43, 103, 24, 105 são primos? 2. Fatore os números: a) 45 b) 81 c) 1000 d) 512 e) 1024 f) Calcule o MMC e o MDC dos números a) 45 e 81 b) 45 e 1000 c) 512 e 81 d) 80 e 1024 e) 1024 e 45 f) 30 e 15 8

9 Aula 2 Adição/Subtração com frações pelo método do MMC No que se refere a adição ou subtração entre frações devemos tomar cuidado e observar o denominador (número de baixo da fração). Quando estamos somando ou subtraindo duas frações temos dois casos a serem observados são eles: Caso 1: As frações possuem o mesmo denominador Neste caso basta somar ou subtrair os numeradores (número de cima) e manter o denominador. Atividade exemplo: Calcule Solução: = = = 6 De modo análogo faríamos em caso de subtração. Caso 2: As frações possuem denominadores diferentes Neste caso primeiro calculamos o MMC dos denominadores e em seguida procedemos de acordo com o exemplo abaixo: 9

10 Observe que primeiro calculamos o MMC (que será o denominador da nova fração) em seguida procedemos de acordo com a imagem acima. Adição/Subtração com frações pelo método da multiplicação cruzada Temos um método mais rápido para somar ou subtrair frações. Observe o exemplo abaixo: Isto é, para somar ou subtrair duas frações com denominadores diferentes fazemos de acordo com a fórmula abaixo: Nota: Em alguns casos você terá que simplificar a fração obtida pela fórmula acima para chegar ao mesmo valor da fração obtida pelo método do MMC, entretanto os dois resultados estarão corretos. (Mesmo que você não simplifique a fração). Multiplicação de frações Para multiplicar duas frações quaisquer basta multiplicarmos os numeradores e em seguida os numeradores. Atividade exemplo: = =

11 Divisão de frações Vamos aprender a dividir duas frações por meio do exemplo abaixo. Atividade exemplo: = 2 3 x 6 5 = Em linguagem informal, Mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. Pensando um pouco... Considere que queremos dividir 4 por 2, como devemos proceder? 3 Quando estamos dividindo um número que não é uma fração por uma fração primeiro devemos escrever o número como sendo uma fração, mas como fazemos isso? Muito simples, basta colocar o número 1 como denominador. Atividade exemplo: Divida 4 por 2 3. Primeiro escrevemos 4 como sendo uma fração, isto é 4 = 4 1 procedemos como explicado anteriormente. feito isso 11

12 Lista de exercícios 1. Calcule: a) b) c) d) Divida 4 por cinto sétimos. 3. Divida dois terços por cinco oitavos. 4. Divida 4 por cinco quartos e em seguida some o resultado com dois. 12

13 Aula 3 Medidas de comprimento De acordo com o S.I (Sistema internacional de unidades) a unidade padrão para medir comprimentos é o metro (m), mas temos outras unidades. Observe a tabela abaixo: Nome Unidade Quilometro km Hectômetro hm Decâmetro dam Metro m Decímetro dm Centímetro cm Milímetro mm A relação entre elas (conversão) é dada do seguinte modo, multiplicamos (dividimos) por 10 para cada linha descida (subida). Atividade exemplo: Converta 2,6 hectômetros para metros. Solução: Para chegarmos partindo de Hectômetro para Metro descemos duas casas, sendo assim multiplicamos por , portanto 2, 6hm = , 6 = 260 m. 13

14 Medidas de volume Nome Unidade Quilometro cúbico km 3 Hectômetro cúbico hm 3 Decâmetro cúbico dam 3 Metro cúbico m 3 Decímetro cúbico dm 3 Centímetro cúbico cm 3 Milímetro cúbico mm 3 Para efetuarmos as conversões a ideia é a mesma, a única diferença é que agora ao invés de multiplicarmos (dividirmos) por 10 fazemos por Nota: Uma unidade de medida muito popular é o litro (L) e o Mililitro, para converter essas unidades basta sabermos que: 1m 3 = 1000L 1ml = 1cm 3 Atividade exemplo: Converte 5 dam 3 para litros. Solução: Como 1m 3 = 1000L vamos converter primeiro 5dam 3 para m 3. 5dam 3 = 5000m 3 Como 1m 3 = 1000 L então 5000m 3 = L = L 14

15 Perímetro ou metro linear Definição: Definimos como perímetro de uma figura plana a soma das medidas de todos os seus lados. Área de um paralelogramo Áreas de figuras planas Definição: Paralelogramo é todo quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos. Área de uma região triangular 15

16 Área de uma região triangular sendo conhecido os três lados Conhecido os três lados de um triângulo qualquer, a área da região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron. Sendo o semiperímetro p = a+b+c 2 A = p(p a)(p b)(p c) 16

17 Área de uma região limitada por um triângulo equilátero Área da região limitada por um trapézio Definição: Um trapézio é todo quadrilátero plano convexo em que possui dois lados paralelos. Em outras palavras: A = (base maior + base menor). altura 2 17

18 Lista de exercícios 1. Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m? 2. Calcule a área e o perímetro da figura a baixo: 3. Calcule o perímetro da figura plana a seguir: 4. Uma escola pretende ladrilhar o seu pátio retangular, que possui as seguintes dimensões: 4 m e 5,5 m. Os ladrilhos utilizados são quadrados com 16 cm de lado. Calcule o número de ladrilhos necessários. 5. Bartolomeu é dono de um terreno no assentamento Taboca deseja construir canteiros de mesmas medidas em seu terreno conforme modelo abaixo onde estão indicadas as dimensões do projeto. (Os canteiros estão representados pela letra C) Qual a área ocupada pelos canteiros? 18

19 Grandezas diretamente proporcionais Aula 4 Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando se aumenta (diminui) uma delas um certo número de vezes a outra também aumenta (diminui) o mesmo número de vezes. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando se aumenta (diminui) uma delas um certo número de vezes a outra diminui (aumenta) o mesmo número de vezes. Atividade exemplo: Considere que o preço da gasolina é dado pela tabela abaixo: Preço do litro Total a pagar 1 3,79 2 7, , , , , ,53 Qual a relação entre as duas grandezas? (Preço e total a pagar). Para responder a esta questão devemos nos fazer a seguinte pergunta Se eu aumentar a quantidade de litros eu vou pagar mais ou menos? É claro que o preço também aumenta, sendo assim as grandezas são diretamente proporcionais. 19

20 Atividade exemplo: Considere que se quer encher um balde e que o progresso pode ser observado na tabela abaixo: Qual a relação entre essas grandezas? Se aumentarmos a quantidade de torneiras o tempo para encher o balde diminui, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Regra de três simples Regra de três simples é o processo usado para encontrar um quarto valor sendo conhecido a priori somente 3 valores. Veja os passos para montar o problema e resolver facilmente: i) Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesma espécie na mesma coluna. ii) Identificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais, analisaremos isso no próximo passo. iii) Montar a equação assim: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em forma de X. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos os valores para ficarem diretamente proporcional. iv) Resolva a equação. 20

21 Atividade exemplo: Para se construir um muro de 17m 2 são necessários 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51m 2? Solução: Inicialmente, coloquemos uma seta para cima na coluna do X e colocaremos na outra coluna uma seta de mesmo sentido, caso as grandezas sejam diretamente proporcionais, ou uma seta de sentido contrário, se as grandezas forem inversamente proporcionais. Perceba que a outra seta terá o mesmo sentido, já que as grandezas são diretamente proporcionais Como se trata de uma regra de três simples direta, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em X, assim: Logo, montando a equação: 21

22 Atividade exemplo: Um automóvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em certo percurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo percurso? Solução: Inicialmente, vamos colocar uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima. Fazemos a pergunta, Se aumentarmos a velocidade o que acontece com o tempo?, claro que o tempo diminui, sendo assim seta terá sentido contrário. Como se trata de uma regra de três simples inversa, devemos inverter os valores no sentido da seta, assim transformamos em uma regra de três simples direta e então podemos multiplicar em cruz (em X): Logo, montando a equação: 22

23 Regra de três composta Regra de três composta, na matemática, é a forma de encontrar um valor desconhecido quando conhecemos três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Vamos aprender a resolver problemas de regra de três composta mediante um exemplo: Atividade exemplo: Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? Solução: Para solucionar primeiro colocamos as informações em uma tabela. Impressoras Panfletos Tempo x Agora colocamos uma seta para cima na coluna que tem o valor desconhecido Feito isso vamos comparar as colunas restante com a coluna do X, mas como fazemos isso? Do seguinte modo, vamos comparar a coluna da impressora com a do tempo. 23

24 Fazemos a pergunta: Se aumentarmos a quantidade de impressoras irá gastar mais ou menos tempo para imprimir? Claro que a resposta é que será mais rápido, então as grandezas são inversamente proporcionais, sendo assim colocamos a seta para baixo na coluna das impressoras. Fazemos o mesmo com a coluna dos panfletos. Agora para resolver o problema devemos deixar todas as setas em uma única direção (ou para cima ou para baixo), sendo assim precisamos inverter a primeira coluna ficando a nova tabela do seguinte modo: Impressoras Panfletos Tempo x 24

25 Agora finalmente vamos resolver 40 x = Portando, são 160 minutos. x = = x 25

26 Lista de exercícios 1. Três caminhões transportam 200m 3 de areia. Para transportar 1600m 3 de areia, quantos caminhões iguais a esse seriam necessários? 2. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos? 3. Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 4. Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar telhas em 4 dias? 5. Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 6. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 7. Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco? 26

27 Porcentagem Aula 5 Uma porcentagem é uma fração cujo denominador é 100. Um modo bastante comum de calcular porcentagem é usando a regra de três, para melhor entendimento vamos considerar o exemplo abaixo: Atividade exemplo: Em um evento têm 68 pessoas das quais 17 são mulheres, qual a porcentagem de mulheres presente neste evento? Solução: Se o evento conta com 68 pessoas então essas 68 pessoas equivale a 100% das pessoas presentes, sendo assim queremos saber qual a porcentagem equivalente a 17 pessoas. Primeiramente colocamos essas informações em uma tabela, tal como na regra de três % 17 X% Agora basta resolver e chegaremos a x = 25, portanto a quantidade de mulheres presentes equivale a 25% Atividade exemplo: Uma loja vende uma televisão por R$ 1800, mas oferece um desconto de 15% para quem resolver pagar à vista. Qual é o preço da televisão a vista? Solução: Mostraremos dois modos de resolver o problema, escolha aquele que melhor se agradar. Modo 1: 1800 equivale a 100% e temos um desconto de 15% então primeiro calculamos quantos reais equivale 15% e em seguida descontamos o valor dos

28 x 15 Resolvendo encontramos x = 270, portando o desconto é de R$ 270,00. Como o produto custa R$ 1800, pagando à vista o preço será: Modo 2: Preço = Preço = 1530 Como o produto custa 1800 e teremos um desconto de 15% então o produto ficara custando (100-15)% do preço de antes, ou seja 85% x 85 Resolvendo encontramos x = 1530, logo o preço final será R$ Método direto para resolver problemas de porcentagem Como uma porcentagem é uma fração cujo denominador é 100 podemos resolver problemas de porcentagem com uma ideia mais direta. Basta transformar a porcentagem em uma fração e em seguida procedermos do seguinte modo. i) Se for um aumento somando 1 + fração ii) Se for um desconto diminuímos 1 fração Agora basta multiplicar o valor do produto pelo valor encontrado em i) ou ii). 28

29 Atividade exemplo: Uma loja vende uma televisão por R$ 1800, mas oferece um desconto de 15% para quem resolver pagar à vista. Solução: 15% = = 0,15 Como foi um desconto então fazemos (1 0,15) resultando em 0,85. Agora basta multiplicar o valor encontrado pelo preço do produto. Preço final = ,85 Preço final = 1530 OBS: Se fosse um aumento de 15% ficaria 1 + 0,15 = 1,15 e agora multiplicaríamos por 1800 resultando no valor final. 29

30 Lista de exercícios 1. A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 2. Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 3. Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? 4. Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 5. Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou? 6. Carlos estava sempre chegando muito cansado no trabalho. O chefe dele percebeu isso e falou que ele deveria passar pelo menos um terço do dia dormindo. Levando isso em consideração, quantas horas Carlos deveria dormir? 7. Fernanda ganha 10% a mais que Paulo. Se Fernanda ganhar um aumento de 20%, quantos porcento ela ganhará a mais que Paulo? 30

31 Respostas dos exercícios Aula , Aula 2 1. a) 45 = b) 3 4 c) d) 2 9 e) 2 10 f) a) MMC = 405; MDC = 9 b) MMC = 9000; MDC = 5 c) MMC = 41472; MDC = 1 d) MMC = 5120; MDC = 16 e) MMC = 46080; MDC = 1 f) MMC = 30; MDC = 15 g) MMC = 405; MDC = 9 a) b) 15 3 c) d) Aula Aproximadamente 859 ladrilhos 5. 20m 2 Aula caminhões dias ligações horas caixas 6. 60km/h latas Aula % m 3. 6 professores reais reais 6. 8 horas 7. 32% 31

32 Referências bibliográficas 1. DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1.ed. São Paulo: Ática, Mundo educação, Exercícios sobre área e perímetro. Disponível em: < Acesso em: 09 de janeiro de Regra de três, Regra de Três Simples. Disponível em: < Acesso em: 09 de janeiro de Brasil escola, Exercícios sobre regra de três composta. Disponível em: Acesso em: 10 de janeiro de Regra de três, Regra de Três Composta. Disponível em: < Acesso em: 10 de janeiro de Só Matemática, Exercícios de Porcentagem. Disponível em: < Acesso em: 11 de janeiro de Só Matemática, Exercícios de Regra de Três. Disponível em: < Acesso em: 11 de janeiro de Racha Cuca, Exercícios de Porcentagem. Disponível em: < Acesso em: 12 de janeiro de