1. Operações Numéricas e suas Hierarquias

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1 Operações Matemáticas e Frações Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - Semestre 20. Operações Numéricas e suas Hierarquias As quatro operações básicas conhecidas são: soma, subtração, divisão e multiplicação. Quando se quer calcular uma expressão numérica que possui estas operações, a seguinte ordem deve ser seguida: Primeiramente a multiplicação ou divisão e por último soma ou subtração. Os parênteses, colchetes e chaves são sinais de agrupamento sendo esta a sequência a ser seguida na resolução de um problema. Ex.: Qual o valor correto da solução da expressão : 2? Solução: Seguindo a sequência da teoria temos: ; 8 : 2 4; Assim, : Ex.: Qual o valor correto da solução da expressão x { + (2 ) + [0 ( + 4)]} +? Solução: Seguindo a sequência da teoria temos: x { + (2 ) + [0 ( + 4)]} + { + ( ) + [0 ()]} + { + [0 ]} + { + } + { } + 0 OBS.: O ideal é sempre separar as operações que serão realizadas com algum sinal de agrupamento para evitar confusões. Assim, evitamos deixar duas operações juntas. Ex.: A expressão 2 é muito confusa. Devemos separar como (2) ( ). Ex.: Se a 2, b e c, então monte a equação b 2 4.a.c. Solução: ( ) 2 4 ( 2) () 9 4 ( 2) Note que foi necessária a utilização de uma regra sinais regra de sinais, a qual veremos a seguir... Regra de Sinais. Quando somamos duas quantidades positivas o resultado final terá o sinal positivo. Ex.: Quando somamos duas quantidades negativas o resultado final terá o sinal negativo. Ex.: + ( 4) Quando subtraimos uma quantidade positiva com uma outra negativa teremos duas situações: (a) Se a quantidade positiva for maior que a negativa, então o resultado final terá o sinal positivo. Ex.: 7 4 (b) Se a quantidade positiva for menor que a negativa, então o resultado final terá o sinal negativo. Ex.: Quando multiplicamos ou dividimos duas quantidades de mesmo sinal, o resultado final terá o sinal positivo. Ex.: 2 0; Ex.: ( ) ( ) ; Ex.: 0 0 Ex.:. Quando multiplicamos ou dividimos duas quantidades de sinais contrários, ou seja, uma quantidade positiva e outra negativa, o resultado final terá o sinal negativo.

2 Ex.: 7 ( 4) 28 Ex.: ( 0) 0 Ex.: Ex.: ( ) 0 ATENÇÃO: 2 ( ) 9 enquanto ( ) 2 ( ) ( ) 9 2. Frações A fração é a representação das partes iguais de um todo. A origem da palavra Fração vem do latim fractus que significa partido. 2.. Propriedades. Primeiro Mandamento da Matemática: Nunca dividirás por zero; 2. Frações Equivalentes: São aquelas que mantêm a mesma proporção da outra fração. Ex: Frações irredutíveis: São aquelas cujo o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação cujo resultado venha a ser um número inteiro. Ex: Soma e Subtração com denominadores iguais O valor do denominador deve ser mantido e os numeradores devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais das operações. onde a, c R e b R. Ex: Ex: a b ± c b a ± c, b 2.. Soma e Subtração com denominadores diferentes Devemos transformar as frações em outras equivalentes que possuam os denominadores iguais. Para isso, pode ser utilizado o cálculo do mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores fornecidos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores antigos e multiplicado pelo numerador correspondente. Assim, as novas frações serão proporcionais as anteriores possuindo agora denominadores iguais. Agora, basta proceder como no caso anterior. onde a e c R, b e d R e m mmc(b, d). Ex: Qual o valor da soma 20 +? a b + c d ( m ) ( m ) a + c b d, m Assim, mmc(20, ) ( ) + 20 ( ) () + (20) resultado final

3 Ex: Qual o valor da expressão 2 2? Temos que Segue que mmc(2, ) 2, assim, ( ) ( ) 2 2 Assim, Técnica Alternativa para Soma e Subtração de Frações Uma outra técnica muito eficiente para calcular a soma (subtração) de frações com denominadores distintos é multiplicar e dividir por um número x (diferente de zero) um dos termos da expressão de forma que os denominadores dos termos se tornem iguais. Isto não irá alterar a sua expressão inicial pois terá x, ou seja, estará x multiplicando os termos da sua expressão por. Ex: Qual o valor da expressão 7 4? Temos que ( ) resultado final Ex: Qual o valor da expressão 2 + 7? Temos que Multiplicação ( ) + 7 ( ) resultado final Basta multiplicar respectivamente numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. onde a e c R, b e d R. a b c d a c b d, Ex: Divisão A regra prática para a divisão de frações é: repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. onde a R, b, c e d R. ( ) ( a b ) ( c d ) a b d c, Ex: Ex: ( ) ( ) 8 (8) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 Ex: (7) ( )

4 2.6. Dicas para Simplificação de Expressões Para evitar cálculos com valores muito altos, é muito comum simplificarmos as expressões antes de realizar uma outra operação. Devemos tomar muito cuidado ao fazer uma simplificação, pois esta só é possível quando estão envolvidas duas parcelas multiplicadas (ou divididas). Ex: 4 /(: ) 4 /(: ) Outra forma: / / Ex: 7 //(: ) 6 7 6/(: ) Outra forma: // 7 (: ) 6/ (: ) Ex: //(: ) 9/(: ) /(: ) /(: ) Outra forma: / / CUIDADO: Quando temos uma soma (ou subtração), não podemos simplificar como procedemos acima. Correto: Errado: , Note que de fato, + 4, , 8 2, mmc + 4 /(: ) + 4 /(: ) + 4 mmc + 2 4,, o qual não é o resultado correto.

5 EXERCÍCIOS - Operações Matemáticas e Frações Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - Semestre 20 Nome : Ra : P rojetos Manhã P rojetos Noite. Determine o valor das incógnitas: (a) Se p ( ), então determine p. (b) Se a ( 2) ( ) ( ), então determine a. (c) Se x (2 ) + 2( ) + ( 4) ( 7) + 2 (d) Se z ( 7 ) ( : 4), então determine z. ( 0 (e) Se m 2 { + (2 ) + [2 ( 4)]}, então determine m. 2. Dada a expressão :, determine: ), então determine x. (a) A expressão separando as operações com sinais de agrupamento. (b) O resultado desta expressão.. Se x e y 2, então x y y x. 4. Se k 2, então calcule x x (x x ). Determine o valor de b 2 4 a c, se: (a) a 2, b e c. (b) a, b e c 2. (c) a, b e c. 6. Diga se as frações abaixo são irredutíveis. Se não for, mostre a sua fração equivalente irredutível: (a) 2 (b) 8 9 (c) 0 (d) 00 (e) Resolver: (a) 2 2 (b) + (c) (d) (e) 0 0 (f) π + e (g) Resolver: (a) (b) 4 (c) (d) (e) (f) (g) (h) π 2 e 9. Resolver: (a) 2 0 (b) Resolver: (c) 2 (d) (e) 7 ( 7 2 ) (f)

6 (a) ( ) 2 7 ( ) 4 (b) 7 ( ) 9 (c) ( ) 9 (d) 8 : 4. Desafios: (a) (b) ( a + ) b, onde a 2 e b. a b 2. (VUNESP 2006 Modificada) Seja T C a temperatura em graus Celsius e T F a mesma temperatura em graus Fahrenheit. Estas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação T F 9T C +. Considere agora T K a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela equação T K T C Se T K 7 Kelvin, qual o valor desta temperatura em graus Fahrenheit? 2. Considere os resistores R 2 [kω] e R 2 [kω]. Sabendo que dado dois resistores em paralelo a resistência 8 equivalente é dada por +, determine R eq. R eq R R 2 (a) p (b) a 0 (c) x 84 (d) 0 (e) ções (2a) + (4 2) (2 : ) (2b) 9 () (4) 6 (a) 2 (b) 6 (c) 9 (6a) irredutível (6b) 9 (6c) 2 (6d) irredutível (6e) 7 (7a) (7b) 4 (8a) 7 2 (8b) 20 (9a) 20 9 (9b) 22 0 (0a) 4 (a) 06 (2) 49 0 [ F ] () 6 2 [kω] ou 240 [Ω] (7c) (7d) 2 (8c) 9 8 (0b) 9 (8d) 6 7 (b) (9c) 2 (9d) 2 (0c) 27 (7e) (7f) π + e (8e) 9 27 (8f) 9 4 (0d) 6 (9e) 2 (9f) 4 (7g) (8g) 4 42 (8h) π 2e 6 (0e) 9

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