Aula 1. e o conjunto dos inteiros é :

Transcrição

1 Aula 1 1. Números reais O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x, y, s, t, u, etc. R é munido de quatro operações aritméticas básicas: adição (+ ), subtração ( - ), multiplicação ( x ou ) e divisão ( / ). Lembramos a importancia de dois números com papel relevante com respeito à adição e multiplicação. Primeiro, o elemento 0 ("zero") é tal que x + 0 = 0 + x = x, x 0 = 0 x = 0 para todo x. Um real x diferente de zero será às vezes chamado de não - nulo. Por outro lado, o elemento 1 (um) é tal que x 1 = 1 x = x para todo x R. É importante lembrar que a divisão por zero não é definida. Portanto, símbolos do tipo x/0 ou 0/x ou 0/0 não fazem sentido. No entanto, 0/x = 0 para todo x 0. Os subconjuntos de R serão em geral denotados usando letras maiúsculas. Por exemplo, A = 0,1,2 é o conjunto que contém os três números reais 0, 1 e 2, e B = (0,2) é o intervalo aberto que contém os três números reais 1 e 2 ( ver abaixo). O conjunto dos números naturais é : N = [1, 2, 3,...], e o conjunto dos inteiros é : Z = [..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...] 1

2 As operações entre conjuntos são: interseção ( ), união ( ), diferença ( ). O conjunto vazio será denotado por {} ou Equações do primeiro e segundo grau Considere a equação do primeiro grau : 1 + 4x = 7 (1) Resolver essa equação significa achar o(s) valor(es) da variável x para os quais a igualdade em (1) é verdadeira. Esse conjunto de valores será denotado por S e chamado conjunto de soluções. A resolução é bem conhecida: isolando x obtemos uma única solução x = - 2. Portanto, o conjunto das soluções de (1) é S= {- 2}. Considere em seguida a equação do segundo grau: x 2 = 9 (2) Aqui, sabemos que existem duas soluções, x = ± 9 = ±3. Logo S = {+3, - 3}. Agora, já que um número negativo não possui rais quadrada, a equação não possui nenhuma solução: S = {+3, -3}. Finalmente, x 2 = 0 possui uma única solução : S = {0}. Um outro jeito de entender (2) é de escrevê-la x 2 9 = 0 e de fatorar o polinômio x 2 9, obtendo um produto de dois fatores: (x 3)(x + 3) = 0 Para o produto de dois fatores (aqui, x - 3 e x + 3) ser zero, é necessário que pelo menos um deles seja nulo. Se for o primeiro, x - 3 = 0, então x = 3. Se for o segundo, x + 3 = 0, logo x = -3. De modo geral, para x ser solução de uma equação da forma: (x α)(x β) (3) pelo menos um dos fatores, (x α) ou (x β), deve ser igual a zero, o que implica x = α ou x = β. Portanto, o conjunto das soluções de (3) é dado por S = { α,β }. Olhemos agora para a equação do 2

3 segundo grau da forma geral : ax 2 + bx + c = 0 (4) Se a = 0, essa equação é do primeiro grau, bx + c = 0, e a sua única solução é dada por x= c b (supondo b 0).Isto é, S={ c b }. Por outro lado, se a 0, então dividindo (4) por a, e completando o quadrado obtemos: Portanto, 0 = x 2 + b a x + c a = (x + b 2a )2 ( b 2a )2 + c a (x + b 2a )2 = ( b 2a c a ) = b2 4ac 4a 2 Defina = b 2 4ac. Se < 0, não tem soluções: S =. Se 0, podemos tormar a raiz quadrada em ambos lados dessa última expressão, e obter x + b 2a = ± 2a Isto é, x = b 2a (5) Resumindo: quando a 0, o conjunto das soluções de (4) é dado por: *{ }, se < 0 (zero soluções) *{ b 2a *{ b± 2a }, se = 0 (uma solução) }, se > 0 ( duas soluções) Exercício Resolva as seguintes equações: x = 1 2. x 2 = x = x (x + 1)(x - 7) = 0 5. x = x 6. x = x 2 3

4 7. 1 = x 3 1 = 3x(1 + 2x 2 ) Exercício Existe um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12? 1.2. Ordem e intervalos Existe em R uma relação de ordem: dois reais x, y podem ser comparados usando os seguintes símbolos: * x = y : "x é igual a y ", * x y : "x é diferente de y", *x y : "x é maior ou igual a y", * x > y : "x é maior que y " *x y : "x é menor ou igual a y", *x < y : "x é estritamente menor que y". A ordem permite definir subconjuntos elementares de R. Por exemplo, os reais não- negativos R+ são definidos por : R+ = {x R : x 0} (leia-se: "o conjunto dos números reais x R tais que x seja 0) e os reais positivos por: R + Podem também ser defindos conjuntos particulares chamados intervalos. Começaremos com os intervalos limitados. Se a < b são dois números reais, o intervalo fechado é definido como Lê -se: "[a,b] é definido como o conjunto dos números reais x tais que x seja maior ou igual a a, e menor ou igual a b". O intervalo aberto é definido como: (a, b) = {x R : a < x < b} Graficamente, representaremos esses intervalos da seguinte maneira: Introduziremos também intervalos não- limitados: os semi- infinitos fechados : (, a] = {x R : x a}, [c, + ) = {x R : x c}, 4

5 e os semi- infinitos abertos : Por exemplo, (, a) = {x R : x < a}, (c, + ) = {x R : x > c} Observe que "+ "e " "não são números reais propriamente ditos; + (respectivamente ) é somente um símbolo usado para representar a ideia( meio abstrata) de um número maior (respectivamente menor) do que qualquer real x. Exercício Simplifique as expressões, usando as notações introduzidas acima. 1. A = { x R : x 2 4} 2. B = {x : x 0} {x: x < 1} 3. C = {x : x 1} {x: x < 0} 4. D = {x : x 1} {x : x -1} 5. E = {x: x x 2} [0, + ) 6. F = [1, 2] ( ; 1] 7. G = [0, 1] [0, 1 2 ] [0, 1 3 ] H = [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] Inequação e sinal Considere a inequação do primeiro grau: 2 2x 1 (6) Como antes, "resolver"essa inequação significa achar todos os valores de x para os quais a expressão em (6) se torne verdadeira. Por exemplo, x = 0 é solução, pois o lado esquerdo vale = 2, que é 1. Mas em geral uma inequação pode possuir mais de uma solução, às vezes possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções, também denotado por S, pode ser calculado da seguinte maneira. Primeiro, o conjunto S das soluções não é modificado ao adicionarmos (ou subtrairmos) expressões iguais em ambos lados de uma inequação. Assim, adicionando 2x em cada lado de (6), obtemos: x 5

6 Podemos em seguida subtrair 1 em ambos lados: 1 2x Agora, o conjunto S das soluções não é modificado ao multiplicarmos (ou dividirmos) ambos lodaos de uma inequação por um número positivo. Assim, dividindo ambos lados da inequação 1 2x por 2 obtemos 1 2 x, isto é 1 2. Assim, qualquer real x menor ou igual a 1 2 torna a desigualdade em (6) verdadeira. Logo, S = (-, 1 2 ]. Observe que (6) pode também ser resolvida subtraindo 2 em ambos lados, 2x 1 (7) Passando -2x para o lado direito e -1 para o lado esquerdo obtemos 1 2x, o que equivale a: 2x 1 (8) Vemos que (8) é obtida a partir de (7) trocando os sinais (i.é. multiplicando ambos lados por -1), e trocando o sentido da desigualdade. Exemplo Resolvamos agora uma inequação do segundo grau: x 2 3x + 2 > 0 (9) Primeiro, o polinômio do lado esquerdo da desigualdade em (1.9) pode ser fatorado: x 2 3x + 2 = (x 1)(x 1). Assim, (1.9) é equivalente a: (x 1)(x 2) > 0 (10) Observe agora que para o produto de dois números ser > 0, eles têm que ser ambos não-nulos e ter o mesmo sinal. Portanto, a resolução de (10) passa pelo estudo do sinal de x - 1 e x - 2. Isso pode ser feito como em (6). Por um lado, x - 1 < 0 se x < 1, x - 1 = 0 se x = 1, e x = 1 > 0 se x > 1. Por outro lado, x - 2 < 0 se x < 2, x - 2 = 0 se x =, e x - 2 > 0 se x > 2. Isso pode ser resumido nas duas 6

7 primeiras linhas da seguinte tabela: A terceira linha foi obtida multiplicando os sinais de x -1 e x - 2: (x 1)(x 2) > 0 se x < 1,(x 1)(x 2) = 0 se x = 1, (x 1)(x 2) < 0 se 1 < x < 2, (x 1)(x 2) = 0 se x = 2, e (x 1)(x 2) > 0 se x> 2. Assim, S = (, 1) (2, + ) dá todas as soluções de (9). Exercício Resolva as seguintes inequações. 1. x > x x x < 3-4x > 10 x 5. x x 2 > 1 + 2x 7.x > x 8.x x 9.x x x x 12 < 0 11.x 2 (x + 7) 0 12.x 3 2x 2 x + 2 > 0 13.x 2 x(x + 3) 0 14.x x+3 x 1 Exercício Quantos números inteiros n existem tais que 3n 1 5n 2 < 4? Exercício Quantos números primos p existem tais que0 2p 3 p + 8? 7