MATEMÁTICA. Aula 14 Matrizes. Prof. Anderson

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Rafaela Castelo Madeira
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1 MATEMÁTICA Aula Matrizes Prof. Anderson

2 Assuntos Conceito Matrizes com Nomes Especiais Igualdade de Matrizes Operações com Matrizes Matriz Inversa

3 Conceito As matrizes são quantidades de dados passíveis de serem adicionadas e multiplicadas dispostas na forma de uma tacela retangular. Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

4 Notação Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes. Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula. Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da ª coluna na ª linha da matriz A será a. Assim, na matriz de linhas e colunas, temos:

5 Ordem de uma Matriz Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê se "m por n". A matriz é uma matriz de ordem com elementos naturais. Nesse exemplo, o elemento a é, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro. As entradas (símcolos) de uma matriz tamcém podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij i j, para i de a e j de a, define a matriz x

6 Exercício Resolvido. Escreva a matriz c (c ij ) x tal que c ij i j. Solução: A matriz c tem linhas e duas colunas. Portanto do tipo: B b b b b b b Como a regra indicada para encontrarmos os elementos é c ij i j, temos que: c. c. c. c. c. 5 c. Logo, a matriz procurada é: B 5

7 Exercícios de Fixação. Escreva as matrizes: a. A (c ij ) x, tal que c ij i j b. B (e ij ) x, tal que e ij (-) i j

8 Exercícios de Fixação a. A (c ij ) x, tal que c ij i j Solução: A matriz A tem linhas e colunas. Como a regra indicada para encontrarmos os elementos é c ij i j, temos que: c. c. c. c. 5 c. 6 c. 7 c. 8 c. 9 5 Logo, a matriz procurada é: A

9 Exercícios de Fixação b. B (e ij ) x, tal que e ij (-) i j Solução: A matriz A tem linhas e colunas. Como a regra indicada é e ij (-) i j, temos que: e (-) e (-) - e (-) e (-) - e (-) e (-) - e (-) e (-) - e (-) Logo, a matriz procurada é: B

10 Matrizes com Nomes Especiais A MATRIZ COLUNA É a matriz que tem apenas uma coluna. Exemplo: A B MATRIZ LINHA É a matriz que tem apenas uma linha. Exemplo: A ( 5 7)

11 Matrizes com Nomes Especiais C MATRIZ QUADRADA É a matriz que tem o número de linha e colunas iguais. Exemplo: AULA Matrizes A Observação: A matriz quadrada é designada simplesmente matriz de ordem n, onde n é o número de linhas. A matriz A no exemplo é uma matriz de ordem. D MATRIZ NULA 5 7 É a matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Exemplo: A

12 Matrizes com Nomes Especiais E MATRIZ DIAGONAL Antes de definirmos matriz diagonal, vamos conhecer as diagonais de uma matriz quadrada. a A a a a a a a a a diagonal secundária diagonal principal Chamamos de matriz diagonal toda a matriz em que apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero. Exemplo: A 5

13 Matrizes com Nomes Especiais F MATRIZ INDENTIDADE É a matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a e os demais são iguais a. Representa-se por I n, onde n é a ordem da matriz quadrada. Exemplo: I G MATRIZ TRANSPOSTA A transposta de uma matriz A m n éa matriza t n m em que, ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-seão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:

14 Matrizes com Nomes Especiais F MATRIZ OPOSTA Chama-se matriz oposta de A (indicada por A) a matriz que se obtém trocando-se os sinais de todos os elementos da matriz A. Exemplo: A A

15 Exercício Resolvido. Sabendo que a matriz A é nula, determine os valores de x e y: A y Solução: x x x - x - y y

16 . Sendo as matrizes e, calcule x e y de modo que.. Sejam as matrizes e Se, determine x, y, z e t. 5 A 5 y y x y x B t B Exercícios de Fixação A 6 t z y x z y x A 6 5 B t t B A

17 Exercícios de Fixação. Determine os valores de a e b, de modo que a matriz abaixo seja nula:. Determine os valores de a e b de modo que a matriz abaixo seja matriz diagonal: 8 a b B 5 8 a b A

18 Exercícios de Fixação 5 x y x y. Sendo as matrizes A e B, calcule x y 5 t e y de modo que A B. Solução: Primeiro achamos B t que é B t Agora podemos fazer as contas: x x y y y 5 x y x y x x 7 7 y y 7 5

19 . Sejam as matrizes e Se, determine x, y, z e t. Solução: Primeiro Fazemos a transposição das matrizes Exercícios de Fixação AULA Matrizes 6 t z y x z y x A 6 5 B t t B A 6 5 t B 6 y x t z z y x A t

20 Exercícios de Fixação Agora podemos fazer as contas: x y 5 x y - x x y 5 y 5 z z z t - t - t Portanto a solução é: t x y z

21 Exercícios de Fixação. Determine os valores de a e b, de modo que a matriz abaixo seja nula: b B a 8 Solução: A matriz nula é aquela em que todos os elementos são iguais a zero. Neste caso basta igualarmos as expressões a zero: b b - b -6 a 8 a 8 a

22 Exercícios de Fixação. Determine os valores de a e b de modo que a matriz abaixo seja matriz diagonal: b 8 A a 5 Solução: A matriz diagonal é aquela em que apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero. Neste caso basta igualarmos as expressões a zero: b - 8 b 8 b a a -

23 Igualdade de Matrizes Dadas as matrizes A (a ij ) mxn e B (b ij ) pxq, podemos afirmar que A e B são iguais se e somente se:. m p e n q (ou seja, se elas têm a mesma ordem);. a ij b ij para todo i m e _ j _ n.

24 Exercício Resolvido 5 7. Sejam as matrizes: A Determine a, b e c, de modo que A B. a 5 b B c Solução: Neste caso basta igualarmos as expressões de B aos valores de A: a a -b 7 b -7 c c

25 Exercício de Fixação. Sendo as matrizes e, achar os valores de x, y, m e n para que se tenha AB. n m y x n m y x A 6 8 B

26 Exercício de Fixação x y m n 8 6. Sendo as matrizes A e B, achar os x y m n valores de x, y, m e n para que se tenha AB. Solução: Devemos resolver sistemas, sendo o primeiro: x y 8 x y - Multiplicamos a primeira equação por para podermos anular y: x y 6 x y - x 5 x 5.5 y 6 y 6 6 y 6/

27 Exercício de Fixação Agora resolvemos o º sistema: m n m n 6 m 6 m. n n - Portanto a solução é x 5 y m n -

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