216 e) 10 1 = 10 f) (-0,4) 0 = 1 g) (-4,3) 1 = - 4,3

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1 1 Prof. Ranildo Lopes U. E. PROFª HELENA CARVALHO Obrigado pela preferência de nossa ESCOLA! Pegue o material no ESTUDANDO A POTENCIAÇÃO E SUAS PROPRIEDADES POTENCIAÇÃO Para indicar multiplicação com fatores iguais, o homem criou a potenciação. Considere: a : um número int eiro b : um número natural maior que 1 O símbolo a n significa o produto de n fatores iguais a a : a n a.a.a.a...a I) n :nº de fatores Temos: 4 = = 64 O fator repetido (no caso, o 4 ) chama-se base. O número de fatores repetidos(no caso, o 3) chama-se expoente. O resultado da operação (no caso, 4 3 ou 64) chama-se potência. Assim por exemplo: a) 3 4 = = 81 b) (- ) 5 = (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) = c) d) (- 1,4) = (- 1,4). (- 1,4) = + 1,96 16 e) 10 1 = 10 f) (-0,4) 0 = 1 g) (-4,3) 1 = - 4,3 1 II) a -n = (a 0) n a a) 5-3 = 3 = b) (-4) -1 = º Exemplo: Representar os números abaixo em potências de base 10. a) 0,01 b) 0,0001 Resolução: a) 0,01 = = 100 = 10 - b) 0,0001 = = = c) 0,01 = 10 - d)0,0001 = Considere a igualdade 5 = Como se chama o número?= Como se chama o número 5?= Como se chama a expressão 5?= - Calcule : a) 8 = c) = e) 7 5 = b) (-4) = d) - (-) 3 = f) = 3 - Determine : 1 a) 4 = c) = b) (-) -3 = d) 4

2 PROPRIEDADES DAS POTÊCIAS COM EXPOENTE INTEIRO 1º O produto de potências de mesma base. Para multiplicar potências de mesma base, deve-se conservar a base e adicionar os expoentes. m n m n a.a a ( a R m e n a) = = 5 18 b) (/3) 4. (/3) 5 = (/3) 4+5 = (/3) 9 º O quociente de potências de mesma base. Para dividir potências de mesma base, deve-se conservar a base e subtrair os expoentes. m n m - n a a a ( a R m e n a) 4 1 : 4 3 = = 4 9 b) (-1/) : (-1/) 6 = (-1/) -6 = (-1/) -4 = 4 3º Potência de potência. Para elevar uma potência a um expoente, deve-se conservar a base e multiplicar os expoentes. m n m n a a ( a R m e n a) ( 5 ) 3 = 5. 3 = 15 b) [(1/) - } 5 = (1/) -10 = 10 4º Potência de um produto. Para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator a esse expoente. n n n a b a b ( a R b R e n a) (. 3) 4 = b) (1/5. 1/3) -7 = (1/5) -7. (1/3) -7 = º Potência de um quociente. Para elevar um quociente a um expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente. x x a a = ( a R b R e n b x b a) = = = b) (3/) = 3 / = 9/4 5 4 Algumas vezes, usamos mais de uma propriedade das potências na simplificação de expressões. Veja os exemplos seguintes º Exemplo: Simplificar e calcular o seu valor Resolução: º Exemplo : Simplificar e calcular o seu valor. 43 1) Transforme em uma só potência: a) a x. a -x = a x+-x = a b) 4 x x = 4 x +1 + x = 4 x + 3 c) = = 10-4 d) 3 8 : 3 8 = = 3 0 = 1 n 7 4 e) 7 n f) a - : a -3 = a - - (-3) = a -+3 = a (a 0) 4 7

3 3 g) (4 ) 3 = 4 6 h) [(3 4 ) ] 5 = = 3 40 i) (3 5 ) x - = 35x - 10 ) Represente: a) 9 5 em uma potência de base = (3 ) 5 = 3 10 b) 16 x - 3 em uma potência de base x - 3 = (4 ) x - 3 = 4 4x - 6 3) Elimine os parênteses. a) ( ) 3 = b) (3 4 : 5 ) 3 = 3 1 : 15 c) ( x - 1 : x ) = x - : 3 - x d) (a. b. c 3 ) 4 = a 8 b 8 c 1 4) Simplifique as expressões abaixo a) (4 ) (3 ).(3 ) b) (3 ) (3 ) 3 a b 5)Qual o valor numérico da expressão quando a = 3 11, b = 16, c = 43 e d = 8 3? c d ( ) (3 ).( ) 3. RAÍZES Uma expressão do tipo x a representa a raiz enésima do número real a, em que o número n é chamado índice e o número real a é chamado radicando. índice x a Radicando Lê-se: raiz enésima de a. 1) 16 índice = ; radicando = 16 Lê-se: raiz quadrada de 16. Observação: No caso da raiz quadrada é costume representá-la omitindo o índice. Assim, escrevemos simplesmente 16. ) 3 7 índice = 3; radicando = 7 Lê-se: raiz cúbica de 7. 3) 5 3 índice = 5; radicando = 3 Lê-se: raíz quinta de 3. Para a determinação da raíz enésima de um número real a, temos dois casos a considerar. 1 o CASO: RAÍZES COM ÍNDICE PAR Sejam a um número real e n um número natural par: se a > 0, temos que x a é igual ao número real não-negativo b, tal que b n = a. se a < 0, a expressão x a não faz sentido no conjunto R. 1) 5 = 5, pois 5 é o número não-negativo cujo quadrado dá 5 (5 = 5). ) 4 81 = 3, pois 3 é o número não-negativo cuja quarta potência dá 81 (3 4 = 81). 3) 6 64 =, pois é o número não-negativo cuja a sexta potência dá 64 ( 6 = 64). 4) 4 R, pois não existe número real cujo quadrado dê -4. 5) 4 16 R, pois não existe número real cujo quarta potência dê -16.

4 4 o CASO: RAÍZES COM ÍNDICE ÍMPAR Se a é um número real n é um número natural ímpar maior que 1, a expressão x a é igual ao único número real b, tal que b n = a. 1) 3 8 =, pois 3 = 8. ) 3 8 = -, pois (-) 3 = -8. 3) 5 43 = 3, pois 3 5 = 43. 4) 5 43 = -3, pois (-3) 5 = -43. Observação: Sendo n um número natural diferente de zero, defini-se: x 0 = 0 1) Dê o índice e o radicando nos casos seguintes. a) 3 0 índice = 3; radicando = 0 b) 11 3 índice = 11; radicando = -3 c) 0 4 índice = 30; radicando = ( 1) ) Calcule o valor da expressão abaixo c 3) Qual o valor numérico da expressão quando a = 1, b = -4 e c = 4? b b 4ac ( 4) ( 4) ) Considere a afirmação 50 > 7. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Verdadeira: 49 7; RADICAL ARITMÉTICO 1 a propriedade Acompanhe os exemplos abaixo: 1) =, pois 4 = 16. Então, = ) = 3, pois 3 5 = 43. Então, = 3 Generalizando, para a R +, n N e n > 1, escrevemos: = 8 a propriedade Considere as expressões e Pela primeira propriedade temos: = e = Então, = Agora, observe que: = = = = Generalizando, para a R e considerando que os índices e os expoentes apresentados representam números naturais maiores que 1: ou

5 5 1) ) = 5:5 3 15:5 = 3 3 = 7 3 a propriedade Considere as expressões e, Calculando, temos: Então, = = Agora, observe que: Generalizando, para a R + e considerando que todos os índices apresentados representam números naturais maiores que 1, escrevemos: Exemplos : 1) ) 5 3 = 5.3. = 30 1) Considerando que as expressões dadas representam radicais aritméticos, aplique a 1 a propriedade. ) Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um fator comum inteiro positivo, simplifique os radicais aritméticos abaixo. 3) Escreva na forma de um único radical. 4) Qual a forma mais simples de escrever o radical? 5) Considere que as expressões são radicais aritméticos e descubra os valores desconhecidos. a) n = 7 b) n = 5 4 a propriedade Consideremos as expressões. Calculando: Temos, então : Generalizando, para a R +, b R +, n N e n > 1, escrevemos: 1) ) (a R + e b R +) 5 a propriedade

6 6 Consideremos as expressões e.calculando: = e = Temos, então : = Generalizando, a R +, b R + *, n N e n > 1, escrevemos: EXTRAÇÃO DE FATORES DO RADICANDO Observe os exemplos a seguir. 1) = transformamos num produto de radicais = aplicamos a 1ª propriedade = ) = transformamos num produto de radicais = aplicamos a 1ª propriedade. 1 1 De acordo com os exemplos dados, temos, em geral: Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radical e escritos como fatores externos (sem o expoente). Nos casos em queo radicando apresenta o expoente de um fator maior que o índice do radical, esse fator pode ser extraído através de sua transformação num conveniente produto de potências. Veja os exemplos. 1) ) Observe: INTRODUÇÃO DE FATORES NO RADICANDO 1) se então Propriedade simétrica das igualdades ) se então De acordo com os exemplos dados, temos, em geral: Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando: basta escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical. 1) ) 3 =. 3 = 4. 3 = 1 1) Retirando fatores do radicando, simplifique:

7 7 c) ) As letras apresentadas em cada item representam números reais positivos. Simpliflique retirando fatores do radicando. a) b) 3) Decomponha o radicando em fatores primos e, retirando fatores do radicando, simplifique as expressões abaixo. 4) Qual a forma mais simples de escrever (a 0 e b 0)? 5) Qual o valor da expressão x 0? x 0 = x 10 x 10 =. x. x = x REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE Algumas situações que envolvem o cálculo com radicais exigem a presença de radicais com o mesmo índice. A transformação de dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais de mesmo índice é feita através da aplicação da a propriedade das potências, tomando-se para índice comum o m.m.c dos índices dados. Veja os exemplos a seguir. 1 o exemplo: Reduzir os radicais e ao mesmo índice. Resolução: m.m.c (3, 4) = 1 novo índice a) = b) = Assim temos: a) radicais com índices diferentes b) radicais equivalentes de mesmo índice o exemplo: Reduzir os radicais (a 0 e b 0) ao mesmo índice. Resolução: m.m.c (5, 4, ) = 0 novo índice c) d) radicais com índices diferentes e) radicais equivalentes de mesmo índice Uma das aplicações mais imediatas da redução de radicais ao mesmo índice está na comparação de radicais.

8 8 A comparação de radicais é feita observando-se dois casos. 1 o caso: Os radicais têm índices iguais. Neste caso, a maior raiz é a que tem o maior radicando. o caso: Os radicais têm índices diferentes. Neste caso, reduzimos os radicais ao mesmo índice e recaímos no caso anterior. Qual é maior: ou? m.m.c (, 3) = 6 novo índice Como 15 > 49, temos que >. 1) Reduza os radicais ao mesmo índice (as letras representam números reais maiores que zero). a) ) Usando o sinal > ou <, compare: a) b) 3) Reduza os radicais ao mesmo índice e, a seguir, usando o sinal >, < ou =, compare: a)

9 9 b) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE RADICAIS Dois ou mais radicais têm o mesmo índice e o mesmo radicando são chamados de radicais semelhantes. São exemplos de radicais semelhantes: b) c) Se uma expressão apresenta radicais semelhantes, estes podem ser simplesmente através da aplicação da propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação. 1 o exemplo: Simplificar a expressão Resolução: o exemplo: Simplificar a expressão:. Resolução: ele representa um número irracional representação decimal completa. Sobre o resultado convém observar que:, o que torna impossível dar a sua ele não pode ser simplificado.logo, é a forma mais conveniente de representar a expressão dada. Consideremos agora outros exemplos. 3º exemplo: Calcular o valor de Resolução:* e Então: * 4º exemplo: Calcular o valor de Resolução: * Então: Exercício 1) Associe V ou F. a) (F) b) (V) c) (V) ) Reduzindo os termos semelhantes, simplifique a expressão abaixo. 3) Calcule o valor da expressão MULTIPLICAÇÃO *Recordando a 4ª propriedade dos radicais aritméticos: ( com a 0 e b 0 )

10 10 *Pela propriedade simétrica das igualdades; ( com a 0 e b 0 ) Então: = O produto de dois ou mais radicais aritméticos de mesmo índice é um radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores x y. 4 xy = 4 x 3 y (como x 0 e y ) 4. x +. x + 5 = (x + ). (x + 5) = x + 7x + 10 Para multiplicar dois ou mais radicais que têm índices diferentes, devemos, primeiro, reduzi-los ao mesmo índice. 1) 3. 3 = = = ) 3 xy. 5 xy 3 = 15 x 5 y x 3 y 9 = 15 x 5. y 5. x 3. y 9 = 15 x 8 y 14 (com x 0 e y 0) Em alguns casos, efetuamos o produto de expressões que envolvem radicais aplicando a propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação. 1) 3 ( + 1) = = ) ( 5 - ) = = 10-4 = 10-1) Determine os produtos abaixo, simplificando o resultado quando possível. a) 5. 7 = 5. 7 = 35 b) 3. 4 = 3. 4 = 7 = 6 c) = = 30 d 18. = 18. = 36 = 6 ) Qual o valor de x que satisfaz a igualdade x =? R: x = 4, pois = = 5 5 = 3) Dados x = e y = - 5, qual o valor numérico da expressão x. y - x? x. y - x = (1 + 5) ( - 5) - (1 + 5) = = = = = -4 4) Qual a forma mais simples de escrever a expressão.? 5 ) Qual o perímetro e a área de um retângulo cujos os lados medem respectivamente cm e cm? cm a) perímetro = + = = [6 + ] cm b) área = ( + ) = + + = ( ) cm DIVISÃO Recordando a 5 a propriedade das potências: (com a 0 e b > 0) E, pela propriedade simétrica das igualdades, temos a expressão que divide radicais de mesmo índice: (com a 0 e b > 0) 1) ) Então: O quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical que tem o mesmo índice dos dois termos e cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos dos termos. 1) Determine: a. b.

11 11. Determine os quocientes abaixo. a. b. 3. Simplifique as expressões seguintes: a) c) d) c) Quanto vale a expressão d) 5. Qual a forma mais simples de escrever a expressão? = POTENCIAÇÃO DE RADICAIS Observe os cálculos com potência de radicais. Pela de definição de potência, temos: Então: ) Pela de definição de potência, temos: Então: Assim, de acordo com os exemplos, se a > 0, n + e m Z, temos: 1) ( ) 5 = 5 = 4 ) ( 3 11) 4 = = ) ( 5 3) 6 = = Vamos considerar, agora, algumas expressões em que aplicaremos as regras dos produtos notáveis. (a + b) = a + ab + b Exemplo: ( 3 + ) = ( 3) ( ) = = = (a - b) = a - ab + b Exemplo: (1-10) = ( 10) = = (a + b) (a - b) = a - b Exemplo: ( 7 + 5) ( 7-5) = ( 7) - ( 5) = 7-5 = 7-5 = 1) Calcule: a) ( 3) 3 = 3 3 = 3. 3 = 3 3 b) ( 7) = 7 c) ( 5) 5 = 5 5 = = 5 5 d) ( 5 9) 7 = 7. ( 5 3 ) 7 = = = ) Sendo x = 3 e y = 5, determine o valor da expressão x + xy + y. ( 3) ( 5) = 4. ( 3) ( 5) = = ) Usando o produto notável adequado, determine: a)( 5 - )( 5 + ) = ( 5) - ( ) = 5 - = 3 b)( 3 + ) =( 3) = = = )Determine, da forma mais simples possível, o quadrado, o cubo e a quarta potência de 1 a 3 (a 0). o quadrado: ( 1 a 3 ) : 1 a 6 = a o cubo: ( 1 a 3 ) 3 : 1 a 9 = 4 a 3

12 1 a quarta potência: ( 1 a 3 ) 4 : 1 a 1 = a 5) Verifique se x = 3 torna verdadeira a igualdade x - 1 = 0. ( 3) - 1 =. 3-1 = = 1-1. A igualdade é verdadeira para x = 3 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Considere as expressões abaixo e observe que elas representam um número irracional no denominador. 1 ; ; 1 ; Em algumas situações, ao lidarmos com uma expressão desse tipo, é conveniente transformá-la em outra a ela equivalente, mas que teenha um número racional no denominador. Quando fazemos isso, estamos racionalizando o denominador da expressão. Analisaremos agora, alguns casos simples de denominadores. 1 o exemplo: Racionalizar o denominador da expressão 1. 3 Resolução: 1. 3 = multiplicamos o numerador e o denominador por = 3. 3 = 3. expressão com denominador racionalizado. 3 Neste caso, 3 é chamado de expressão fator racionalizante. (3 + 5). (3-5) = (3-5) 3-5 = = = = (7-3 5) = expressão com denominador racionalizado 4 Neste caso, a expressão 3-5 é denominada fator racionalizante. Nos exemplos dados, observamos que a racionalização do denominador da expressão dada é feita multiplicando-se o seu numerador e o seu denominador por expressão conveniente, chamada de fator racionalizante. O fator racionalizante de alguns casos podem ser obtidos de acordo com a tabela abaixo: Tipo de denominador Fator racionalizante a (com a 0) n a m (com a > 0) a + b (com a > 0 e b > 0) a - b (com a > 0 e b > 0) a n a n - m a - b a + b 1) Racionalize o denominador das expressões seguintes: a) 1 = = = b) 4 = 4. 5 = 4 5 = c) 10 = = = d) 1 (com a > 0) = 1. a = a a a. a a ) Calcule o valor de 0,4, sabendo-se que 10 = 3,16 (aprximadamente). 0,4 = 4/10 = 4 = = ) Racionalize os denominadores das expressões seguintes: a) 4 = 4 = 4 = 1 = 1. = b) a (com a > 0) = a = a = 1 = 1. 4 (a) 3 = 4 8a 3 = 4 8a 3 4 3a a 5 a 4 a 4 a a 4 (a) 3 4 (a) 4 a 4) Sabendo que 6 =,45 (aproximadamente), calcule o valor de 3 +.

13 ( 3 + ) ( 3 + ) = ( 3 + ) = = ,45 = 9,9 ( 3 - ) ( 3 + ) 3-5) Racionalize a expressão abaixo: 3 = 3( ) = 3( ) = = = ( + 3-7) ( ) ( + 3) - ( 7) = ( ) 3 = = 3( ) =