Dos inteiros aos reais

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1 Dos inteiros aos reais Ordenação de números inteiros relativos Para além dos números positivos, na vida real utilizam-se outros números para representar situações, tal como temperatura negativas, saldos negativos, andares abaixo do solo, etc. Na recta numérica os números positivos estão colocados à direita do zero e os negativos à esquerda. Nos números positivos pode-se utilizar o símbolo +, nos números negativos utiliza-se sempre o sinal antes do número Números negativos Números positivos Assim para além do Conjunto dos Números Naturais ( N) e do Conjunto dos Números Naturais mais o Zero ( N 0 ), temos o conjunto ao qual se juntam os números inteiros negativos. N = { 1; 2; 3; 4; } = Números Naturais N 0 = {0; 1; 2; 3; 4; } = N {0} = { ; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} = Números inteiros relativos N N 0 Valor absoluto de um número. (Números simétricos) Na recta numérica, a cada número corresponde um ponto e vice-versa.

2 3 3 A B Números negativos Números positivos Ao ponto A corresponde o número -3; diz-se que a abcissa de A é -3. Ao ponto B corresponde o número +3; diz-se que a abcissa de B é +3. Estas indicações escrevem-se: A -3 ; B +3 A distância dos pontos A e B à origem (ao zero) é igual a 3, por isso diz-se que o valor absoluto de -3 é igual ao valor absoluto de +3. E escreve-se: -3 = +3 = 3 Ao números que têm o mesmo valor absoluto chamam-se números simétricos, de um modo geral, o simétrico de a é a. Logo se a é positivo o seu simétrico é negativo e vice-versa. Adição de números inteiros relativos Como visto anteriormente, adicionar significa juntar, ou seja, formar um conjunto. Podemos representar como antigamente cores para representar débitos e créditos.

3 Propriedades da adição de números inteiros relativos a) Adicionar zero (-a) + 0 = -a ; (+a) + 0 = 0 b) Adicionar dois números positivos (+a) + (+b) = + (a+b) c) Adicionar dois números negativos (-a) + (-b) = - (a+b) d) Adicionar números de sinais contrários: -b > a b tem maior valor absoluto (-b) + (+a) = - (b-a) a > -b a tem maior valor absoluto (-b) + (+a) = + (a-b) a = b (-b) + (+a) = 0 Subtracção de números inteiros relativos Subtrair significa tirar ou adicionar o simétrico, de um modo geral, para calcular a diferença de dois números relativos adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtractivo.

4 Na prática, para calcular a adição ou subtracção de números relativos, simplifica-se a escrita e em seguida efectuam-se os cálculos. Propriedades da subtracção de números inteiros relativos a) Simplificar a escrita - (-a) = +a - (+a) = -a + (+a) = +a + (-a) = -a b) Associar + a tenho e a devo -a + b (devo a e tenho b) -a - b (devo a e devo b) Dá-se a resposta (deve, tem ou zero). Expressões numéricas, utilização de parênteses Se o parênteses está precedido de uma multiplicação, aplica-se a propriedade distributiva. a (b - c) = a x b a x c Se o parênteses está precedido de uma subtracção, trocam-se os sinais aos termos que estão dentro de parênteses. a (b c) = a b + c Se o parênteses está precedido de uma adição, mantêm-se os sianis dos termos que estão dentro de parênteses. a + (b - c) = a + b - c Multiplicação e divisão de números inteiros relativos Algumas regras: a) O produto de um número positivo por um número negativo é um número negativo; a x (-b) = (-b) x a = -c

5 b) O produto de dois números negativos é um número positivo; - a x (-b) = -b x (-a) = c c) O quociente de um número negativo por um número positivo é um número negativo; -a b = -c d) O quociente de dois números negativos é um número positivo; -a (-b) = c Potência de números relativos O sinal da potência varia consoante o expoente de acordo com a seguinte tabela: Par O sinal é + a b =c, (-a) b =c Expoente Impar Base positiva O sinal é + a b =c Base negativa O sinal é - (-a) b =-c Radicais em Das definições anteriores resulta: (a) Qualquer número positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e outra negativa. As duas raízes quadradas são números simétricos. (b) Os números negativos não têm qualquer raiz quadrada porque qualquer número elevado ao quadrado é um número positivo ou zero. Notação científica A represedntação de números muito grandes ou muito pequenos torna-se pouco prática. A massa do Sol, em quilogramas, é um exemplo de um número astronómico:

6 No mesmo sentido, um exemplo de um número muito pequeno pode ser o diâmetro de um átomo, em metros: 0, Qualquer um destes números pode ser representado das seguinte forma: 1983 x x Mas, a notação mais usual é a de um produto de um número compreendido entre 1 e 10, é a chamada notação científica: 1,983 x Dízimas finitas Qualquer racional sob a forma de fracção pode ser expressa sob a forma de dízima (numeral decimal). As dízimas finitas são fracções que quando transformadas em numerais decimais obtêm um resultado finito. Dízimas infinitas As dízimas infinitas podem assumir três tipos: Dízimas infinitas periódicas simples, quando um número assume uma repetição dos seus valores decimais, por exemplo 0, e é representada como 0,(3). Dízimas infinitas periódicas mistas, quando um número decimal assume uma repetição dos seus valores decimais a partir de um determinado valor, por exemplo 0, e é representada como 0,4(35). Dízima infinita, quando um número não assuma alguma repetição dos seus numerais decimais, como por exemplo o número π.

7 Criação do conjunto dos números reais Este último número é um exemplo de um número que não é racional, mas sim um número de outra família, a dos número irracionais. Surgiu então a necessidade de criar um novo conjunto numérico, o dos números reais, representado por R, reunindo todos os conjuntos anteriores.