NÚMEROS RACIONAIS Professor: Carlos

Transcrição

1 NÚMEROS RACIONAIS Professor: Carlos

2 O que são? O conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é quantas vezes. N = conjunto dos números naturais Z = conjunto dos números inteiros Q = conjunto dos números racionais

3 Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos uma fração do tipo ½, nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5. Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas para representar um mesmo número racional. Exemplos de números inteiros expressos como decimais: 3 = 0,75 12 = 2,4 16 =

4 Exemplos de números racionais Números Inteiros Números Decimais Exatos Números Decimais com infinitas ordens decimais (dízimas periódicas)

5 Números irracionais Podemos falar que os números irracionais são aqueles que, em sua forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos. Em outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição. O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i maiúscula).

6 Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número: 2 = 1, = 1, Constantes irracionais ou números transcendentais: π = 3, (Número pi, constante de Arquimedes) φ = 1, (número áureo ou número de ouro) e = 2, (Constante de Euler) Esses são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.

7 No 4º e 5º ano As representações dos números racionais são trabalhadas a partir do 4º ano do ensino fundamental. Representação decimal: números decimais (números com vírgula) Representação fracionária: frações

8 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Conjunto dos Números Racionais Representação Geométrica 1, ,

9 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Conjunto dos Números Racionais 1, , Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais. Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public License

10 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Conjunto dos Números Racionais Recorde Os termos de uma fração são: numerador 3 7 denominador

11 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos As operações envolvendo frações são fundamentais para a resolução de diversos problemas da Matemática e das demais ciências. É importante saber adicionar, subtrair, multiplicar e dividir esses números que são tão comuns em nosso cotidiano. A potenciação e a radiciação de frações são outras duas operações importantes envolvendo os números racionais (frações), mas que ainda provocam várias dúvidas em muitos estudantes.

12 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos POTENCIAÇÃO Veremos como efetuar essas operações e acabar solucionando as dúvidas existentes.

13 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Potenciação de Números Racionais Com expoentes inteiros não negativos Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

14 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Potenciação de Números Racionais A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros positivos é a mesma das potências de números inteiros.

15 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Potenciação de Números Racionais expoente base a n n aaa... a fatores Para todo número racional a e número inteiro n, sendo n > 1, definimos:

16 Conjuntos dos números racionais relativos Potenciação de números racionais A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros positivos é a mesma das potências de números inteiros.

17 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Potenciação de Números Racionais Sabemos que a multiplicação de frações é feita multiplicando numerador com numerador e denominador com denominador. Assim, segue que: a n a a a a a b b b b b... b Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public License

18 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Potenciação de números Racionais Note que a potenciação de frações é feita elevando o numerador e o denominador ao expoente n. a b n a b n n Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public License

19 2. Exemplos de Aplicação de Potência

20 Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes potências a) b) c) 5 5 5

21 Exemplo 3. Calcule o valor de cada uma das seguintes potências a) b) c)

22 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos RADICIAÇÃO Veremos como efetuar essas operações e acabar solucionando as dúvidas existentes. Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

23 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Radiciação Para realizar a radiciação de frações, utilizaremos os mesmos conceitos da potenciação. Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

24 Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos Radiciação de Números Racionais Considerando uma fração do a b tipo, com b 0, a raiz de índice n de uma fração é dada por: n a b n n a b Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public License

25 3. Exemplos de Aplicação de Radiciação

26 Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes raízes a) b)

27 4. Exercícios de Aplicação

28 1. Escreva na forma de potência os seguintes produtos: a) 8,5 8,5 8,5 8,5 b)

29 2. Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Calcule o valor das potências: a) b) c)

30 3. Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Calcule o valor das raízes: a) 17,64 b) 1,44 c) 25 36

31 5. Maria pintou 1/4 de um quadro, João também pintou 1/3 e Pedro pintou 1/5 restante. Calcule, a quantidade que os 3 pintaram juntos.