AULA 01: Operações em conjuntos numéricos

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2 AULA 01: Operações em conjuntos numéricos SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria Resolução de exercícios Questões apresentadas na aula Gabarito 108 Olá! Nesta primeira aula aprenderemos alguns tópicos de matemática básica que você certamente já estudou em algum momento da vida, mas talvez não se lembre mais! São tópicos sempre presentes no edital do ENEM, e que também servem de base para o entendimento e a resolução de diversas questões sobre assuntos mais complexos. Caso você avalie que já conhece suficientemente bem esses assuntos, fique à vontade para passar mais rapidamente ou mesmo pular essa aula, ou então dedicar algum tempo apenas aos exercícios resolvidos ao longo da mesma. Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição no fórum, ok? Prof. Arthur Lima 1

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4 1. TEORIA Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais conjuntos, suas propriedades e suas operações. 1.1 NÚMEROS NATURAIS Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de contagem natural. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 } As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de contagem natural ). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Veja: N* = {1, 2, 3, 4 } naturais: Relembre alguns conceitos básicos relacionados aos números a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número n é o número n+1. Prof. Arthur Lima 3

5 b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número n é o número n-1. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2,5,4} não são. E veja que podemos representar por {n-1, n e n+1} uma sequência de três números consecutivos. d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: = 18; 12 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: = 18; 13 5 = 8. - a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: = 17; 12 5 = 7. - a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6. Veja essas regrinhas resumidas na tabela abaixo: Operação 2 números pares 2 números ímpares Par e ímpar Prof. Arthur Lima 4

6 Soma / Par Par Ímpar subtração Multiplicação Par Ímpar Par Para a divisão não temos uma regra equivalente. Repare, por exemplo, que a divisão entre dois números pares pode ter resultado par ou ímpar: 16 / 4 = 4 e 20 / 4 = NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = { , -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Observe que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z: Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos: Prof. Arthur Lima 5

7 a) Números Inteiros não negativos: Z + = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. b) Números Inteiros não positivos: Z - = { -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, assim como também fez parte do anterior, pois ele não é positivo nem negativo. c) Números inteiros negativos: Z * - = { -3, -2, -1}. O zero não faz parte. d) Números inteiros positivos: Z * += {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. e) Números inteiros não nulos: Z * = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}. Note que neste caso basta excluir o zero. 1.3 NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. Prof. Arthur Lima 6

8 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você: O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma, o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0, cujo valor é 0 indeterminado). No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: a) Frações. Ex.:,, etc. b) Números decimais com número finito de casas. Ex.: 1,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula (são duas casas decimais). Prof. Arthur Lima 7

9 Por isso, ele também poderia ser escrito na forma. Neste caso, poderíamos representá-lo como, ou mesmo simplificá-lo para. c) Dízimas periódicas. Ex.: 0, ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma. O número deste exemplo poderia ser escrito na forma. Outro exemplo de dízima periódica é: 1, ou. Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333..., ou simplesmente 0,3. Assim, dizemos que a fração geratriz da dízima 0,3 é igual a 1. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima 3 periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é o caso em: 0, , , Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0, , , Prof. Arthur Lima 8

10 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para, em seguida, estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição. Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0, Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, (1) X = 0, Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 10X = 10 x 0, = 3, X = 3, A igualdade acima pode ser reescrita da seguinte forma: 10X = 3 + 0, (2) Subtraindo a expressão (1) da expressão (2), teremos o resultado abaixo. (trabalharemos com sistemas de equações na Aula 04) 10X X = 3 + 0, , As duas dízimas à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas e, portanto, se anulam com a subtração. Portanto, temos como resultado: 1 X. 3 9X = X 9 3 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0, é Prof. Arthur Lima 9

11 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0, Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da dízima, temos: X = 0, Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 1000: 1000X = 216, Efetuando a subtração 1000X X podemos obter a fração geratriz: 1000X X = 216, , X = X Assim, a geratriz de 0,216 é a fração Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1, Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, temos: X = 1, Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os termos que se repetem: 1000X = 1327, Prof. Arthur Lima 10

12 E multiplicando X por conseguimos passar a primeira repetição 215 para o lado esquerdo da vírgula: X = , Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: X 1000X = , , X = X = X Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1, Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: = 21 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): Prof. Arthur Lima 11

13 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. - propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, é igual a Prof. Arthur Lima 12

14 - propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: = 2; = propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional. Ex: a soma dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9 5 = 4 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também racionais... mais adiante trabalharemos essas operações em números com casas decimais). Vamos efetuar a operação : Observe que o primeiro passo é posicionar um número embaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não Prof. Arthur Lima 13

15 podemos subtrair 5 7. Devemos, portanto, pegar uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 7 = 8, e anotar este resultado: Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 9, e não 6 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente pegar uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 9 = 6. Vamos anotar este resultado: Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: E se quiséssemos efetuar a subtração ? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação ; - colocar o sinal negativo (-) no resultado. Prof. Arthur Lima 14

16 Desta forma, = Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. - propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, = 268, já = propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A B) C pode ser diferente de (C B) A. Exemplificando: (365 97) 268 = 0, que é um resultado diferente do obtido em (268 97) 365 = 194. Veja que trocamos a posição do 365 coma do 268 e o resultado se alterou. - elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 0 = 2. - propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional. - elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes ( ), ou à soma do número 3 quinze vezes ( ). Vejamos como efetuar uma multiplicação: Prof. Arthur Lima 15

17 57 x 13 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 2 57 x 13 1 Agora devemos multiplicar o algarismo das unidades do segundo número (3) pelo algarismo das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: = 17. Assim, temos: 57 x Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 57 x Prof. Arthur Lima 16

18 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 57 x Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 x Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-3), deveríamos obter E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. Prof. Arthur Lima 17

19 Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: - propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). - propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. - propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional). - propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = = 50 d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No Prof. Arthur Lima 18

20 caso, Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: Agora devemos pegar o próximo algarismo do dividendo (5): Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: Prof. Arthur Lima 19

21 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 715 = 18 x Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: - propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. Prof. Arthur Lima 20

22 - propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/ ( ) ( ) elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. - propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as propriedades das operações com números racionais: Elem. Comut. Assoc. Fecham. Neutro Adição zero Sim Sim Sim Distributiva Não: A ( B C) ( A B) ( A C) Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim: A ( B C) ( A B) ( A C) Subtração zero Não Não Sim Não: A ( B C) ( A B) ( A C) Divisão 1 Não Não Sim Não: A ( B C) ( A B) ( A C) Prof. Arthur Lima 21

23 1.3.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 2 5 é equivalente a escrever 2 5. Neste caso, o número 2 é o numerador, ou seja, o número que vem na parte superior da fração. Já o número 5 é o denominador, ou seja, o número que vem na parte inferior da fração. As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: Veja que o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da fração 1 6 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, Já para trocar o denominador da fração 3 8 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, Prof. Arthur Lima 22

24 Agora sim podemos efetuar a soma: b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: Ao trabalhar com frações, normalmente podemos substituir a expressão de pela multiplicação. Veja como: - quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente ! - e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 ( ) 4. - por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5 ( X Y). 9 Prof. Arthur Lima 23

25 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante disso ao longo dos exercícios desta e de outras aulas! OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem casas após a vírgula. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra; - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda; - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 13,47 + 2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal Prof. Arthur Lima 24

26 do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 13,47 + 2,9 16,37 b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 13,47-2,9 10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e transformá-la em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraímos 14 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 2, tivemos que subtrair 2 2 pois uma unidade do 3 já havia sido utilizada. c) Multiplicação de números decimais: Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. Prof. Arthur Lima 25

27 - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo: 13,47 x 2, ,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Na linha do resultado da multiplicação de 2 por 13,47 há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais: Prof. Arthur Lima 26

28 3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número REPRESENTAÇÃO NA RETA Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados: É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número 3, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta 4 dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número 3 ao final da terceira delas: 4 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede 1 unidade. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 0 a -2. Aqui a distância é de 2 unidades. Prof. Arthur Lima 27

29 Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número e o zero. Utilizamos o símbolo A para representar o módulo do número A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: 1 = 1-1 = 1 2 = -2 = 2 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, podemos dizer que: A, se A 0 A A, se A<0 1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos. Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: (as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) Prof. Arthur Lima 28

30 Da mesma forma, o conhecido número ( pi ), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação dos números irracionais na reta numérica: - não é possível localizar diretamente um número irracional na reta numérica. Isto porque esses números têm infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma A B e usar o mesmo método que vimos para localizar os números racionais. Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede exatamente 2, que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número NÚMEROS REAIS O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso, (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) Prof. Arthur Lima 29

31 Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora temos: No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados exatamente (os irracionais). 1.6 POTÊNCIAS Observe o exemplo abaixo: (lê-se: cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco ) Prof. Arthur Lima 30

32 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada potência n é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, n vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: ( dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes ) Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente ( n ). Entendido o conceito básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer que: ( 25) 1 0 0,3 1 b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. Isso é bem lógico, pois zero elevado a n significa zero multiplicado por ele mesmo, n vezes. Ex.: c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar assim: (4 4) (4 4 4) Normalmente você faria Prof. Arthur Lima 31

33 Veja que basta somar os expoentes ( n ), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: d) Divisão de potências de mesma base (X): Como você faria a divisão ? Provavelmente seria assim: Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes ( n ), pois o numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: Analogamente, observe que Isto porque: O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão Temos duas formas: Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 3 5 ( 3) Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 3 4 para o denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: Prof. Arthur Lima 32

34 e) Potência de potência: A questão agora é resolver 2 3 (2 ). Você poderia inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência (ao cubo): (2 ) (4) 64 Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: (2 ) f) Raiz de potência: Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 1, obter a raiz cúbica 2 é equivalente a elevá-lo a 1, e assim por diante. 3 Visto isso, vamos obter o valor de: simplesmente assim: 6 2. Veja que poderíamos fazer Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 1 2, podemos fazer: Prof. Arthur Lima 33

35 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. g) Potência de produto: Se tivermos que resolver uma expressão como 2 (2 3), podemos fazer de algumas formas: 2 2 (2 3) (6) 36 2 (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado à uma potência n é igual ao produto das potências n A e n B. h) Potência de base 10: Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural n, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de n zeros: Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: , , i) Potência de base negativa: Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3 (-2) = 8 ou -8? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, Prof. Arthur Lima 34

36 como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 3 (-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8 Veja um exemplo com expoente par: 4 (-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16 j) Fração elevada a um expoente: Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: Vejamos agora algumas potências que são muito utilizadas nas provas do ENEM. Primeiramente, vamos ver as potências de 2 até a décima. 2 0 =1 2 1 =2 2 2 =4 2 3 =8 2 4 = = = = = = =1024 Prof. Arthur Lima 35

37 Agora vamos ver até a terceira potência dos números superiores a 2 e inferiores a =1 3 1 =3 3 2 =9 3 3 = =1 4 1 =4 4 2 = = =1 5 1 =5 5 2 = = =1 6 1 =6 6 2 = = =1 7 1 =7 7 2 = = =1 8 1 =8 8 2 = = =1 9 1 =9 9 2 = =729 Grande parte das potências apresentadas acima você vai acabar decorando com a prática. Quanto às outras, você pode descobri-las simplesmente voltando à definição de potenciação e multiplicando o número por ele mesmo quantas vezes forem necessárias. Repare que não mostramos acima as potências de 10. Isso se deve ao fato de que existe um método muito simples para descobrir qualquer potência de 10. Vamos supor que você queira calcular Para isso, temos: 10 8 =10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 Tendo em vista que multiplicar por 10 é adicionar um ZERO ao final do número temos: 10 8 = = ou cem milhões Dito de outra forma, para obter as potências de 10 basta colocar uma quantidade de ZEROS igual expoente desejado ao lado do algarismo 1. Voltando ao exemplo anterior, veja que para obter 10 8 colocamos 8 algarismos ZERO ao lado do algarismo 1, formando Prof. Arthur Lima 36

38 1.7 RAÍZES Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. Isto é: A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente exemplos: 1. Veja alguns n , pois , pois Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente. As principais propriedades da radiciação são: a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: n Isto é, 0 0. Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta em zero. b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: n Ou seja, 1 1. Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em 1. c) a b a b x x Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, Prof. Arthur Lima 37

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40 quadrada de 169 é 13, pois 13 2 = 169. Chamamos de quadrados perfeitos os números que possuem raiz quadrada exata. Para facilitar os seus cálculos, é interessante que você guardar alguns deles. Veja na lista abaixo: QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 900, 1600, Os números que possuem raiz cúbica exata são conhecidos como cubos perfeitos. Alguns exemplos podem ser vistos abaixo: CUBOS PERFEITOS: 27, 64, 125,... Em alguns exercícios pode ser que você precise calcular a raiz quadrada de números que não possuem raiz exata. Neste caso, é interessante que você saiba com chegar a um valor aproximado da raiz. Por exemplo, suponha que você precise calcular a raiz quadrada de 5. Você pode começar observando que 5 está entre dois quadrados perfeitos: 4 e 9. Portanto, como 4 = 2 2 e 9 = 3 2, vemos que a raiz quadrada de 5 deve estar entre 2 e 3. Vamos testar 2,5. Note que 2,5 2 = 2,5 x 2,5 = 6,25. Este número é maior do que 5. Portanto, a raiz de 5 deve ser menor do que 2,5, ou melhor, ela está entre 2 e 2,5. Podemos testar agora 2,3: 2,3 2 = 5,29. Veja que já estamos mais próximos de 5, mas ainda estamos acima. A raiz de 5 está entre 2 e 2,3. Podemos testar 2,2. Veja que 2,2 2 = 4,84. Agora chegamos em um valor menor que 5. Isso sugere que a raiz de 5 é um número entre 2,2 e 2,3. Testando 2,25, temos 2,25 2 = 5,06. Note que chegamos muito próximos de 5. Esta já é uma boa aproximação para os cálculos que você precisar fazer em uma questão, ou seja, a raiz quadrada de 5 é aproximadamente igual a 2,25. Chamamos este método simples de tentativa e erro, justamente porque vamos testando valores. Para exercitar melhor, vamos trabalhar Prof. Arthur Lima 39

41 mais um exemplo. Suponha que precisamos calcular a raiz quadrada de 130. Sabemos que 10 2 =100. Vejamos quanto é 11 2 = 11 x 11 = 121. Ainda não chegamos ao 130. Vamos tentar 12 2 =12 x 12 = 144. Sabendo que 11 2 =121 e 12 2 =144 temos que a raiz de 130 está entre 11 e 12. Vamos tentar 11,5 2 = 132,25. Passou um pouquinho! Vamos tentar 11,4 2 = 129,96. Pronto, está aí uma ótima aproximação para a raiz quadrada de NOTAÇÃO CIENTÍFICA A notação científica é uma maneira de escrever números de forma a facilitar a compreensão da sua ordem de grandeza, utilizando-se para isso das potências de 10. A ordem de grandeza de um número é justamente a potência de 10 mais próxima a ele. Assim, vejamos um exemplo: Vamos escrever o número em notação científica. Iniciamos colocando pontos a cada três casas, da unidade para a esquerda, a fim de facilitar a identificação das potências de 10 (por exemplo: milhares, milhões, etc). Temos: Estamos diante de um número que apresenta centenas de milhões. Como fazer para representá-lo em notação científica? Basta escrevê-lo como sendo um número vezes a potência de 10 correspondente, da seguinte forma: 4, x 10 8 Veja que a vírgula que estava à direita do algarismo 9 (note: ,00) andou 8 casas para a esquerda. Prof. Arthur Lima 40

42 A cada casa que a vírgula anda para a esquerda, uma unidade é adicionada no expoente da potência de 10, de forma a preservar o número original. Assim, de maneira mais formal, podemos definir que escrever um número em notação científica é escrevê-lo na seguinte forma: m x 10 e, em que e é o expoente da potência de 10 (o qual está relacionado com a ordem de grandeza) e o m é a mantissa. A mantissa deve seguir uma regra: seu valor em módulo deve estar entre 1 e 10. Vejamos o porquê: Caso tivéssemos uma mantissa inferior a 1, por exemplo: 0,65 x 10 5, este número não estaria em notação científica. Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizandonos das propriedades da potenciação: 0,65 x 10 5 = 0,65 x 10 1 x 10 4 = 6,5 x 10 4 Caso tivéssemos uma mantissa superior a 10, por exemplo: 650 x 10 2, este número não estaria em notificação científica. Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizandonos, mais uma vez, das propriedades da potenciação: 650 x 10 2 = 6,5 x 10 2 x 10 2 = 6,5 x 10 (2+2) = 6,5 x EXPRESSÕES NÚMERICAS Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: ( 25 2) (9 3) 7 4 Prof. Arthur Lima 41

43 A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que se encontram entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: (5 2) (9 3) 7 4 A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 35 4 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: ,75 Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão Prof. Arthur Lima 42

44 numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de divisão SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O sistema de numeração decimal é o que usamos no nosso dia-adia. Ele tem como base o número 10. Ao utilizá-lo contamos de 10 em 10, formando grupos a cada 10 unidades, os quais convencionou-se chamar de dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nesse sistema, utilizamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar qualquer número. No sistema decimal, se temos um número como 5734, dizemos que o 4 é o algarismo das Unidades, o 3 é o algarismo das Dezenas, o 7 é o algarismo das centenas, e o 5 é o algarismo dos Milhares. Podemos reescrever este número em função das potências de 10. Para isso basta multiplicar o algarismo das unidades por 1, o das dezenas por 10, o das centenas por 100, o dos milhares por 1000, e assim por diante. Exemplificando: 5734 = 5x x x10 + 4x1 ou 5734 = ou 5734 = 5x x x x10 0 De maneira geral, se temos um número do tipo ABCD, onde cada letra representa uma casa decimal, podemos dizer que: ABCD = Ax Bx100 + Cx10 + D Vamos observar como aplicar esses conceitos na prática, trabalhando o seguinte problema: Prof. Arthur Lima 43

45 Imagine que João é pai de Alberto. João tem XY anos de idade e Alberto tem YX anos, onde X e Y são algarismos do sistema decimal. Sabendo que a diferença de idade entre eles é de 27 anos, apresente um possível valor para a idade de João. Sendo XY e YX as idades, podemos dizer que: Idade de João Idade de Alberto = 27 XY YX = 27 (10X + Y) (10Y + X) = 27 10X + Y 10Y X = 27 9X 9Y = 27 9X = Y X = 27/9 + 9Y/9 X = 3 + Y A partir desta última expressão, que relaciona X e Y, podemos encontrar possíveis soluções para o problema. Por exemplo, se Y for igual a 1, então X = 3 + Y = = 4. Deste modo, a idade de João é XY = 41, e a de Alberto é YX = 14. Note que, de fato, a diferença de idades é = 27. Portanto, esta é uma possível solução, mas não a única. Poderíamos ter Y = 2 e X = 3+2 = 5, por exemplo, ficando João com 52 anos e Alberto com 25. E assim por diante... No entanto, nem todos os sistemas de numeração são decimais. Um sistema muito comum no meio digital é o sistema binário, que conta de 2 em 2 (ou seja, base 2) e se utiliza apenas dos algarismos 0 e 1 para representar as quantidades. Suponha que queiramos transformar o número decimal 37 em binário. O primeiro passo é escrever esse número como a soma de Prof. Arthur Lima 44

46 potências de 2. Veja que 37 é igual a que, por sua vez, são iguais a 2^5 + 2^2 + 2^0. Portanto, podemos dizer que: 37 = = = 1x x x x x x2 0 A partir dos números em negrito na última expressão, podemos escrever 37 em binário como Vamos agora transformar o número decimal 173 em binário. Para isso, vamos recorrer às potências de 2 que vimos anteriormente. Podemos dizer que 173 = Assim, temos: 173 = = = 1x x x x x x x x2 0 A partir dos números em negrito na última expressão, podemos escrever 173 em binário como Assim como o sistema de numeração binário, o sistema hexadecimal também é muito utilizado em computadores e processadores, ou seja, no mundo digital de uma maneira geral. Este sistema possui base 16, ou seja, nele agrupamos as quantidades de 16 em 16. Para isso, ele se utiliza de seis letras que se somam aos algarismos já conhecidos por nós no sistema decimal para representar qualquer quantidade. São utilizados os seguintes símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Prof. Arthur Lima 45

47 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Inicialmente vamos trabalhar alguns exercícios de fixação do conteúdo aprendido até aqui, alguns deles bem simples. Posteriormente, trabalharemos algumas questões do ENEM de anos passados. Lembre-se: é muito importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez melhores. 1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: RESOLUÇÃO: , 2 Estamos diante de uma soma de frações. Sabemos que para somar frações devemos antes encontrar um denominador comum. Uma forma simples de fazer isso é utilizar como denominador comum o produto dos dois denominadores presentes na fração. No nosso caso, o produto desses denominadores seria 10 x 3,2 = 32 Ou seja, 32 é um denominador comum entre 10 e 3,2. Outro detalhe importante de ser recordado é que a fração não muda se multiplicarmos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Prof. Arthur Lima 46

48 Com isso em mente, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador da primeira fração por 3,2. Assim, obtemos: primeira _ 3 3 3,2 9,6 fração , 2 32 Faremos o mesmo procedimento com a segunda fração, porém, multiplicaremos o numerador e o denominador por 10. segunda _ fração 3,2 3, Repare que agora obtemos tanto na primeira fração quanto na segunda o mesmo denominador (32), que é o denominador comum que nos dispusemos a utilizar anteriormente. Agora falta só finaliza a soma das frações: 9, , , EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a fração geratriz da dízima: 0, RESOLUÇÃO: Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0, Como a repetição começa somente na terceira casa após a vírgula e a mesma é formada por dois números (35), se multiplicarmos esta dízima Prof. Arthur Lima 47

49 por 10 4 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, os primeiros números da repetição: 10 4 X = X = x 0, X = 435, (1) Se multiplicarmos a dízima por 10 2 teremos: 10 2 X = 100 X = 100 x 0, X = 4, (2) abaixo. Subtraindo a expressão (2) da expressão (1), teremos o resultado 10000X 100X = 435, , As duas dízimas à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas e, portanto, se anulam com a subtração. Portanto, temos como resultado: 9900X = 431 X = 431/ X Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0, é 3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: (4 2 3) RESOLUÇÃO: Acompanhe abaixo o passo a passo da resolução. Primeiramente resolvemos a potenciação existente dentro dos parênteses: Prof. Arthur Lima 48

50 (4 4 3) parênteses: Posteriormente, resolvemos a multiplicação presente dentro dos (4 12) Agora, fazemos a adição ainda dentro do parênteses. 4 (16) 256 O próximo passo é resolver a potenciação ou a raiz, ficando a nosso critério. Repare que tirar a raiz quadrada é o mesmo que elevar a 1/2. Assim, vamos simplificar o expoente da potenciação com a raiz Desta forma obtemos como expoente apenas o 2: Resolvemos a potenciação e chegamos a uma fração que nos levará ao resultado da expressão: O resultado da expressão é EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Coloque em ordem crescente os números racionais abaixo: 9; 3,5; 1/2; -3/4; -3; -0,5 Prof. Arthur Lima 49

51 RESOLUÇÃO: Para resolver este exercício nos utilizaremos da régua numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados: Vamos localizar a posição exata dos números fornecidos na reta numérica, ainda que algum deles seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número - 3, ou -0,75 (na forma 4 decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e -11 em quatro partes, e colocar o número 3 ao final da terceira delas. Assim 4 também fazemos com o -0,5. Dividimos o espaço entre 0 e -1 ao meio, onde o -0,5 estará localizado. Para o 1/2 não podia ser diferente. Dividimos o espaço entre o 0 e o 1 ao meio, onde o 1/2 estará localizado. Abaixo demos um zoom na régua para entender o que foi explicado agora. Dessa forma, temos que a ordem crescente dos números dados é: -3; -3/4; -0,5; 1/2; 3,5; 9 5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Escolha dentre as opções abaixo aquela que melhor representa os conjuntos numéricos e sua hierarquia, sendo Prof. Arthur Lima 50

52 I/R os números irracionais reais, Q/R os racionais reais, Z o conjunto dos números inteiros e N os naturais. (A) (B) (C) Prof. Arthur Lima 51

53 (D) (E) Prof. Arthur Lima 52

54 RESOLUÇÃO: Para resolver esta questão devemos nos lembrar que o conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais (Q/R) e Irracionais (I/R), sendo que os racionais contém o conjunto dos inteiros (Z), e este por sua vez contém o conjunto dos naturais (N). Desta forma, podemos dizer que: (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso, (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) Assim temos que o diagrama que representa isso corretamente é o da letra D. RESPOSTA: D 6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Faça a multiplicação abaixo: 137,63 x 60,8 RESOLUÇÃO: Vamos utilizar o método que vimos na teoria para resolver essa questão. Colocamos primeiramente os números um abaixo do outro, com as vírgulas alinhadas. Começamos fazendo o produto do algarismo 8 por 137,63. Acima do 137,63 estão os números que subiram para se somar com o resultado da multiplicação do 8 pelo algarismo seguinte. Exemplificando: 8 x 3 = 24. Logo o 4 vai para a linha do resultado e o 2 sobe para se somar ao resultado de 8 x 6; e assim em diante ,63 x 60,8 Prof. Arthur Lima 53

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57 9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa? Dados: 2 1, 4 e 3 1,7 6 é maior do que 2,75 RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão podemos utilizar uma propriedade das raízes que vimos nessa aula: Assim, temos: n n n A B A B Vamos utilizar as duas aproximações fornecidas pelo enunciado: 2 1,4 3 1,7 Com a prática vocês vão notar que essas duas aproximações são muito presentes nas provas. Em outros casos, perceberão que nem sempre poderemos nos utilizar das aproximações, mas isso veremos em outras situações ao longo do curso. Assim, temos: 2 3 1, 4 1,7 2,38 Ou seja, a afirmativa é ERRADA: 6 é menor do que 2,75. Outra forma de resolver o exercício seria por tentativa e erro para obter a raiz de 6, fazendo a multiplicação de um número por ele mesmo até chegar a 6. Sabemos que 2 2 = 4 e 3 2 = 9, logo, a raiz de 6 é um Prof. Arthur Lima 56

58 número entre 2 e 3. Vamos tentar o 2,5. Assim temos 2,5 2 =6,25. Logo, a raiz de 6 é um número inferior a 2,5 e, portanto, também inferior a 2,75. Uma terceira forma de resolver essa questão parte do seguinte princípio, que é bem intuitivo: se um número A é maior que um número B, então A 2 também é maior que B 2. (veremos mais à frente em nosso curso que isto só vale para números positivos). Assim, ao invés de comparar os números originais, podemos comparar os seus quadrados. O quadrado da raiz de 6 é simplesmente 6. Já o quadrado de 2,75 é 2,75 2 = 2,75 x 2,75 = 7,56. Veja que o quadrado de 2,75 é maior do que 6, portanto 2,75 também é MAIOR que raiz de EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa: é um número inteiro RESOLUÇÃO: Para resolver esse exercício vamos utilizar a seguinte propriedade da multiplicação: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) No entanto, vamos usar essa propriedade ao contrário, da seguinte forma: (AxB) + (AxC)= Ax(B+C) A igualdade permanece, só que na passagem acima saímos de duas multiplicações em que o A estava presente e chegamos a apenas uma em que ele ficou em evidência. Chamamos isso justamente de colocar A em Prof. Arthur Lima 57

59 evidência. Façamos isso com o número 42 no numerador da expressão fornecida pelo exercício: (41 1) Substituindo a igualdade acima na expressão inicial, temos: (41 1) Vejam que o 42 ficou em evidência. Agora podemos simplificar a expressão pois temos o 42 tanto no numerador quanto no denominador, da seguinte forma: 42(41 1) 42 (41 1) (41 1) Assim, a afirmação é verdadeira. 11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule quanto é cinco oitavos de quinhentos e doze. RESOLUÇÃO: Em muitos exercícios as informações aparecem camufladas no texto e é importante o aluno saber encontrá-las e transformá-las em números. Do enunciado temos: Cinco oitavos = 5/8 Quinhentos e doze = 512 Prof. Arthur Lima 58

60 No entanto, ele liga as duas informações pelo de, ou seja, cinco oitavos de quinhentos e doze. Quando você se deparar com isso, quase sempre estaremos nos referindo a uma multiplicação. Assim temos que a expressão é: Para resolvê-la, vamos primeiro fazer a divisão e depois a multiplicação, da seguinte forma: Fazendo a divisão temos: Agora faremos a multiplicação 5 x 64: 2 64 X Logo, cinco oitavos de quinhentos e doze são 320. Prof. Arthur Lima 59

61 Vale notar que 512 é igual a 2 9, enquanto 8 é igual a 2 3. Se você percebesse isso, poderia resolver rapidamente o nosso cálculo aplicando as propriedades de potências: EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A soma do número sucessor a 22 com o antecessor de 28 resulta em: a) 50 b) 39 c) 22 d) 52 e) 48 RESOLUÇÃO: Sucessor é o próximo número natural. Logo, o sucessor de 22 é 23. Antecessor é o número natural anterior. Logo, o antecessor de 28 é 27. Assim, = 50. Resposta: A 13. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O produto de 0,5 e 45 é igual a: A) 2,25 B) 22,50 C) 225,0 D) 9,0 E) 25,00 RESOLUÇÃO: Quando falamos em produto estamos na verdade nos referindo ao resultado de uma multiplicação. Neste caso, temos: Produto de 0,5 e 45 = 0,5 x 45 = 22,50 reais Resposta: B Prof. Arthur Lima 60

62 14. ENEM 2016) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura é: A) B) C) D) E) RESOLUÇÃO: Para chegarmos no número representado, devemos pegar o número representado na unidade e multiplicar por 1, depois na dezena e Prof. Arthur Lima 61

63 multiplicar por 10, na centena por 100, em milhares por 1000, na dezena de milhares por e assim por diante. Posteriormente somamos tudo e teremos o número representado corretamente. U - Unidade: 1 D Dezena: 7 70 C Centena: M Milhar: 0 0 DM Dezena de milhar: CM Centena de milhar: Somando tudo, temos: Resposta: D = ENEM ) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d 1 d 2, em que os dígitos d 1 e d 2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero, caso contrário d 1 = (11 r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo, isto é, d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove Prof. Arthur Lima 62

64 primeiros algarismos eram Neste caso, os dígitos verificadores d 1 e d 2 esquecidos são, respectivamente, A) 0 e 9. B) 1 e 4. C) 1 e 7. D) 9 e 1. E) 0 e 1. RESOLUÇÃO: Vamos calcular os dígitos do CPF de João, começando por d 1. Vamos multiplicar a sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 pelos nove primeiros algarismos do CPF de João ( ), da seguinte forma: 10x1+9x2+8x3+7x4+6x5+5x6+4x7+3x8+2x9= =210 Agora, vamos calcular o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por O resto da divisão foi 1. Sabemos que se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero. Vamos agora calcular d 2. O dígito d 2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo, da seguinte forma. 10x2+9x3+8x4+7x5+6x6+5x7+4x8+3x9+2x0= Prof. Arthur Lima 63

65 =244 Agora, vamos calcular o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por Sabemos que d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 s). Como o resto foi 2, temos que d 2 =11-2=9. Assim temos que d 1 =0 e d 2 =9. Resposta: A 16. ENEM ) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte. Prof. Arthur Lima 64

66 Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com A) 24 fusas. B) 3 semínimas. C) 8 semínimas. D) 24 colcheias e 12 semínimas. E) 16 semínimas e 8 semicolcheias. RESOLUÇÃO: A fórmula do compasso é 3/4. No entanto, estamos analisando um trecho musical de oito compassos. Logo, estamos atrás de uma resposta que corresponda a: Vamos testar cada alternativa e ver qual delas nos dá exatamente esse resultado (6). (A) 24 fusas cada fusa é 1/32, logo 24 fusas são: Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 8, encontramos: 3 4 (B) 3 semínimas cada semínima é 1/4, logo 3 semínimas são: Prof. Arthur Lima 65

67 (C) 8 semínimas cada semínima é 1/4, logo 8 semínimas são: (D) 24 colcheias e 12 semínimas cada colcheia é 1/8 e cada semínima é 1/4. Logo, temos: Logo, esta é a nossa resposta. Letra D. Vamos resolver a letra E só para nos certificarmos. (E) Resposta: D 16 semínimas e 8 semicolcheias - cada semínima é 1/4 e cada semicolcheia é 1/16. Logo, temos: ENEM ) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. Prof. Arthur Lima 66

68 O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares Na Figura 1, o quipus representa o número decimal Para representar o zero" em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é A) 364. B) 463. C) D) E) RESOLUÇÃO: Estamos trabalhando com a base decimal, que é a que vamos utilizar na maior parte do tempo. Na base decimal cada algarismo representa uma potência de 10. No exemplo dado na Figura 1, repare que temos dois nós nos milhares, quatros nós nas centenas, cinco nós nas dezenas e três nós nas unidades, ou seja: 2x x x x10 0 2x1000+4x100+5x10+3x Prof. Arthur Lima 67

69 2453 Já na Figura 2, temos três nós nos milhares, zero nós nas centenas, seis nós nas dezenas e quatro nós nas unidades, ou seja: 3x x x x10 0 3x1000+6x10+4x Resposta: C 18. ENEM ) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: A) B) C) Prof. Arthur Lima 68

70 D) E) RESOLUÇÃO: Quando o enunciado fala em razão devemos entender isso como a quantidade de poltronas ocupadas em relação ao total, ficando implícito que há uma divisão, a qual pode ser também representada por meio de uma fração. Vejamos que no Setor 3 temos 7 colunas e 10 filas de cadeiras. Uma multiplicação simples nos dá a quantidade total de cadeiras do Setor 3: Total de cadeiras no Setor 3 = 7x10 Total de cadeiras no Setor 3 = 70 Vamos agora contar manualmente quantas são as cadeiras ocupadas do Setor 3. O enunciado nos disse que as poltronas reservadas são representadas pela cor escura. Logo, temos 17 poltronas reservadas. Assim, a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: Quantidade de cadeiras reservadas no Setor 3 = 17 Total de cadeiras no Setor 3 70 Resposta: A 19. ENEM ) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. Prof. Arthur Lima 69

71 A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é A) 6. B) 7. C) 8. D) 11. E) 12. RESOLUÇÃO: Estamos diante de uma questão que nos pede conhecimentos de adição e divisão. O enunciado nos diz que deverão ser cercados com tela os três lados mostrados na Figura (o lado margeado pelo rio não será cercado). Assim, ao todo será colocada cerca ao longo de: 81 m m + 81 m = 352 metros No entanto, cada rolo de tela a ser comprado possui 48 metros de comprimento. Logo, vejamos quantos rolos serão necessários: Vamos fazer essa divisão conforme o método que aprendemos: A divisão de 352 por 48 deu 7 e deixou resto 16, ou seja: 352 = 48x7+16= Prof. Arthur Lima 70

72 Assim, se comprarmos apenas 7 rolos conseguiremos cercar 336 metros mas ficarão 16 metros não cercados. Logo, a quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é de 8 rolos. Resposta: C 20. ENEM ) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelovermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual à 2 do tempo em que a 3 luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? A 5X 3Y + 15 = 0 B 5X 2Y + 10 = 0 C 3X 3Y + 15 = 0 D 3X 2Y + 15 = 0 E 3X 2Y + 10 = 0 RESOLUÇÃO: Do enunciado temos que o ciclo do semáforo é de Y segundos. Por ciclo podemos entender o tempo que o semáforo leva para, por exemplo, acender a luz verde, apagar a luz verde e acender a luz amarela, apagar a luz amarela e acender a luz vermelha e, por fim, apagar a luz vermelha, quando então o ciclo se reinicia. De outra forma, podemos entender o ciclo (Y) como o resultado da soma abaixo: Tempo que a luz verde permanece acesa + Tempo que a luz amarela permanece acesa + Tempo que a luz vermelha permanece acesa O enunciado nos informou que o tempo que a luz amarela permanece acesa é de 5 segundos. Prof. Arthur Lima 71

73 Além disso, sabemos que o tempo em que a luz verde permaneça acesa é igual à 2 do tempo em que a luz vermelha fique acesa, ou seja: 3 Tempo que a luz verde permanece acesa = 2 3 x Tempo que a luz vermelha permanece acesa. Isolando, na expressão acima, o tempo que a luz vermelha permanece acesa, temos: Tempo que a luz vermelha permanece acesa = (3/2) x Tempo que a luz verde permanece acesa Substituindo as informações acima na expressão do ciclo que mostramos no início da resolução temos: Ciclo = Tempo que a luz verde permanece acesa (3/2) x Tempo que a luz verde permanece acesa O enunciado nos disse que o Ciclo é de Y segundos e que o tempo que a luz verde permanece acesa é de X segundos, logo: Y=X+5+(3/2)X Multiplicando toda a equação por 2 temos: 2Y=2X+10+3X 2Y=5X+10 5X+10-2Y=0 5X-2Y+10=0 Resposta: B 21. ENEM ) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a Prof. Arthur Lima 72

74 qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é A) 21. B) 24. C) 26. D) 28. E) 31. RESOLUÇÃO: Repare que o jogo utiliza 52 cartas ao todo. São criadas 7 colunas de cartas, da seguinte forma: Uma coluna com uma carta Uma coluna com duas cartas Uma coluna com três cartas Uma coluna com quatro cartas Uma coluna com cinco cartas Uma coluna com seis cartas Uma coluna com sete cartas Assim, temos = 28 cartas compondo as colunas do jogo. As restantes formam o monte. Logo: Quantidade de cartas no monte = total de cartas no jogo cartas nas colunas Quantidade de cartas no monte = Quantidade de cartas no monte = 24 cartas Resposta: B 22. ENEM ) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. Prof. Arthur Lima 73

75 De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 27 RESOLUÇÃO: Repare que o enunciado diz que os dados são apresentados em horas por dia. A tabela mostra que os jovens gastam 5 horas por dia em atividades escolares durante a semana e 1 hora por dia em atividades escolares no fim de semana. Prof. Arthur Lima 74

76 Sabemos que a semana tem 5 dias e o fim de semana tem 2 dias. Dessa forma, a quantidade de horas que gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares, é dada por: (5 horas por dia de semana x 5 dias da semana) + (1 hora por dia no fim de semana x 2 dias do fim de semana) = 5x5 + 1x2= 25+2= 27 horas Resposta: E 23. ENEM ) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número , sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De Prof. Arthur Lima 75

77 acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de A) centena. B) dezena de milhar. C) centena de milhar. D) milhão. E) centena de milhão. RESOLUÇÃO: Vamos supor que X é o algarismo que João não entendeu. Dessa forma, vamos reescrever o número do protocolo: 13X98207 Podemos utilizar pontos a cada três dígitos para nos auxiliar na identificação de cada algarismo. Veja: 13.X Assim, esse número de protocolo é composto por: 7 unidades Nenhuma dezena 2 centenas 8 milhares 9 dezenas de milhares X centenas de milhares 3 milhões 1 dezena de milhão Portanto, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de centena de milhar. Resposta: C Prof. Arthur Lima 76

78 24. ENEM ) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre. Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a A) 3, km. B) 3, km. C) 3, km. D) 3, km. E) 3, km. RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima 77

79 Pela Figura, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a 325 mil km. Utilizando nossos conhecimentos de notação científica, vamos reescrever este número: 325 mil km = 325 x 10 3 km = 3,25 x 10 2 x 10 3 km = 3,25 x km = 3,25 x 10 5 km Resposta: D 25. ENEM ) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? A) 24 litros B) 36 litros C) 40 litros D) 42 litros E) 50 litros RESOLUÇÃO: O enunciado nos diz que determinada bacia sanitária não ecológica gasta 60 litros por dia com a descarga. Como a bacia sanitária não ecológica gasta 15 litros de água por descarga, o número de descargas por dia é dado por: Número de descargas por dia = volume gasto com a descarga por dia volume de cada descarga Número de descargas por dia = 60 = 4 descargas 15 Prof. Arthur Lima 78

80 Ao substituir uma bacia sanitária não ecológica a economia por descarga é dada por: Economia por descarga = quantidade de litros por descarga da bacia sanitária não ecológica quantidade de litros por descarga da bacia sanitária ecológica Economia por descarga = 15 6 = 9 litros Se a economia por descarga é de 9 litros e estamos diante de uma situação em que são utilizadas 4 descargas por dia, a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica por uma bacia sanitária ecológica é de: Economia diária = quantidade de descargas x economia por descarga Economia diária = 4 x 9 Economia diária = 36 litros Resposta: B 26. ENEM ) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por relógio de luz, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura: A medida é expressa em kwh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kwh, na imagem, é A) B) Prof. Arthur Lima 79

81 C) D) E) RESOLUÇÃO: No primeiro relógio, que nos dá o milhar, o último número ultrapassado pelo ponteiro é o 2. Repare que esse relógio gira no sentido anti-horário. No segundo relógio, que nos dá a centena, o último número ultrapassado pelo ponteiro é o 6. No terceiro relógio, que nos dá a dezena, o último número ultrapassado pelo ponteiro é o 1. Repare que esse relógio gira no sentido anti-horário. No quarto relógio, que nos dá a unidade, o último número ultrapassado pelo ponteiro é o 4. Logo, o número obtido pela leitura em kwh, na imagem, é Resposta: A 27. ENEM ) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h 2, onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros. No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos. Prof. Arthur Lima 80

82 A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são A) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. B) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. C) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. D) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal. E) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal. RESOLUÇÃO: Vamos calcular o valor do IMC de Duilio. O IMC é dado por IMC = m/h 2, onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros. A massa de Duilio é de 96,4 kg e a altura é de 1,88 metros. Logo: IMC duilio =96,4/(1,88 2 ) IMC duilio =27,3 Prof. Arthur Lima 81

83 Vamos calcular o valor do IMC de Sandra. A massa de Sandra é de 96,4 kg e a altura é de 1,88 metros. Logo: IMC sandra =84/(1,70 2 ) IMC sandra =29,1 Repare que tanto o IMC de Duilio quanto o de Sandra estão compreendidos na categoria sobrepeso, como mostra a tabela abaixo, visto que são valores entre 25 e 29,9. Logo, a resposta correta é a letra B. Resposta: B 28. ENEM 2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de: (A) 4,129 x 103 Prof. Arthur Lima 82

84 (B) 4,129 x 106 (C) 4,129 x 109 (D) 4,129 x 1012 (E) 4,129 x 1015 RESOLUÇÃO: Em julho de 2012 temos exportações de 4,129 milhões de toneladas, ou seja: 4,129 milhões de toneladas = toneladas Lembrando que 1 tonelada é igual a quilogramas, podemos multiplicar o número acima por para obter o seu valor em quilogramas: x = quilogramas Veja que as opções de resposta estão no formato que conhecemos por notação científica. Para escrever neste formato, basta reparar que: = 4,129 x = 4,129 x 10 9 quilogramas Resposta: C 29. ENEM ) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistadas. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de Prof. Arthur Lima 83

85 prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir. Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterac ão no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? A) 13º B) 12º C) 11º D) 10º E) 9º RESOLUÇÃO: O Brasil obteve 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Caso tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, o Brasil ficaria no total com: = 9 medalhas de ouro = 6 medalhas de prata = 13 medalhas de bronze O critério desempate é o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistadas. Com 9 medalhas de ouro, o Brasil ficaria empatado com Coréia do Sul, Grã-Bretanha, Cuba e Ucrânia. O primeiro critério de desempate é o número de medalhas de prata. O Brasil tendo 6 medalhas de prata possui mais medalhas de prata que a Ucrânia, que possui 5. Repetindo o Prof. Arthur Lima 84

86 raciocínio, o Brasil tendo 6 medalhas de prata possui menos medalhas de prata que Cuba, que possui 7. Logo, o empate se desfez ao comparar as medalhas de prata. Não precisamos, portanto, aplicar o critério de desempate para as medalhas de bronze. Assim, a tabela fica da seguinte forma. Classificação País Medalhas Medalhas Medalhas Total de de ouro de prata de bronze medalhas 8 o Itália o Coreia do Sul 10 o Grã Bretanha 11 o Cuba o Brasil o Ucrânia o Hungria Assim, o Brasil teria ficado em 12 o caso tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze. Resposta: B 30. ENEM ) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que Prof. Arthur Lima 85

87 permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? A) 476 B) 675 C) 923 D) 965 E) 1538 RESOLUÇÃO: Para o folheto do segundo tipo são necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O total gasto em selos para cada folheto do segundo tipo é: Total gasto em selos para cada folheto do segundo tipo = 0,65 + 0,60 + 0,20 Total gasto em selos para cada folheto do segundo tipo = 1,45 reais Serão postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo. Assim: Total gasto em selos para postar os folhetos do segundo tipo = 500 x 1,45 Total gasto em selos para postar os folhetos do segundo tipo = 725 reais Assim sobrará a seguinte quantia para enviar folhetos do primeiro tipo: Total a ser gasto em selos para postar folhetos do primeiro tipo = Total a ser gasto em selos para postar folhetos do primeiro tipo = 275 reais Cada folheto do primeiro tipo só utiliza um selo de R$ 0,65. Logo: Quantidade de selos de 0,65 a serem utilizados com folhetos do primeiro tipo = 275/0,65 Prof. Arthur Lima 86

88 Vamos fazer essa divisão utilizando o método que aprendemos nesta aula. Para isso vamos multiplicar tanto o divisor quanto o dividendo por 100, para removermos as casas decimais. Assim teremos: Assim, 27500/65 dá como resultado 423 e deixa resto 5. Vamos tirar a contra-prova aplicando para o nosso caso, em que queremos 275/0,65. Temos que: 423 x 0,65 = 274,95. Ou seja, podemos dizer que 275/0,65 dá 423 e deixa como resto 0,05! Esses 5 centavos que restaram de nada são úteis pois não podemos comprar selo algum com eles. Agora vamos ao resultado que pede o problema. Ele quer saber quantos selos de 0,65 reais foram comprados. Repare que para enviar o primeiro folheto acabamos de calcular que seriam necessários 423 selos de 0,65 reais. Além desses, outros 500 selos de 0,65 reais também seriam necessários para enviar os 500 folhetos do segundo tipo, conforme determinação do diretor da escola. Logo, o total de selos de 0,65 reais que teremos ao final é de = 923 selos. Resposta: C 31. ENEM 2016) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 1, 3 e Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos A) 1 3 5,, Prof. Arthur Lima 87

89 B) 1 5 3,, C) 3 1 5,, D) 3 5 1,, E) 5 1 3,, RESOLUÇÃO: Para ordenar 1, 3 e 5 é simples. Basta obtermos denominadores iguais e compararmos os numeradores. Para o tubo de 1/2, basta multiplicar numerador e denominador por 4, obtendo 4/8. Para o tubo de 5/4 basta multiplicar numerador e denominador por 2, obtendo 10/8. Assim, ficamos com 4, 3 e 10. Colocando em ordem, podemos dizer que o maior é o de 10/8 (correspondente a 5/4) e o menor é o de 3/8, sendo que o de 4/8 (correspondente a 1/2) vem ao meio. Assim, a ordem é 3 1 5,, Resposta: C 32. ENEM 2016) A tabela apresenta parte do resultado de um espermograma (exame que analisa as condições físicas e composição do sêmen humano). Prof. Arthur Lima 88

90 Para analisar o exame, deve-se comparar os resultados obtidos em diferentes datas com o valor padrão de cada característica avaliada. O paciente obteve um resultado dentro dos padrões no exame realizado no dia A) 30/11/2009. B) 23/03/2010. C) 09/08/2011. D) 23/08/2011. E) 06/03/2012. RESOLUÇÃO: Perceba que o volume (ml) está dentro do padrão para os exames de todas as datas. Já no tempo de liquefação (min) o exame do dia 06/03/2012 está fora do padrão, motivo pelo qual lhe descartamos. No ph o exame do dia 09/08/2011 está fora do padrão. No espermatozoide o exame do dia 30/11/2009 está fora do padrão. O leucócito não serve para desempatar entre os dois exames que sobraram. Na hemácia, o exame de 23/03/2010 está fora do padrão. Assim, sobrou somente o exame do dia 23/08/2011, que é a resposta. Resposta: D Prof. Arthur Lima 89

91 Até o próximo encontro! Abraço, Prof. Arthur Lima Youtube: Professor Arthur Lima Facebook: Prof. Arthur Lima 90

92 1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: , 2 2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a fração geratriz da dízima: 0, EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: (4 2 3) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Coloque em ordem crescente os números racionais abaixo: 9; 3,5; 1/2; -3/4; -3; -0,5 5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Escolha dentre as opções abaixo aquela que melhor representa os conjuntos numéricos e sua hierarquia, sendo I/R os números irracionais reais, Q/R os racionais reais, Z o conjunto dos números inteiros e N os naturais. (A) Prof. Arthur Lima 91

93 (B) (C) (D) (E) Prof. Arthur Lima 92

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95 11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule quanto é cinco oitavos de quinhentos e doze. 12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A soma do número sucessor a 22 com o antecessor de 28 resulta em: a) 50 b) 39 c) 22 d) 52 e) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O produto de 0,5 e 45 é igual a: A) 2,25 B) 22,50 C) 225,0 D) 9,0 E) 25, ENEM 2016) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até Prof. Arthur Lima 94

96 a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura é: A) B) C) D) E) ENEM ) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d 1 d 2, em que os dígitos d 1 e d 2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero, caso contrário d 1 = (11 r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo, isto é, d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de Prof. Arthur Lima 95

97 CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram Neste caso, os dígitos verificadores d 1 e d 2 esquecidos são, respectivamente, A) 0 e 9. B) 1 e 4. C) 1 e 7. D) 9 e 1. E) 0 e ENEM ) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte. Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com Prof. Arthur Lima 96

98 A) 24 fusas. B) 3 semínimas. C) 8 semínimas. D) 24 colcheias e 12 semínimas. E) 16 semínimas e 8 semicolcheias. 17. ENEM ) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares Na Figura 1, o quipus representa o número decimal Para representar o zero" em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é A) 364. B) 463. C) D) E) Prof. Arthur Lima 97

99 18. ENEM ) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: A) B) C) D) E) ENEM ) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. Prof. Arthur Lima 98

100 A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é A) 6. B) 7. C) 8. D) 11. E) ENEM ) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelovermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual à 2 do tempo em que a 3 luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? A 5X 3Y + 15 = 0 B 5X 2Y + 10 = 0 C 3X 3Y + 15 = 0 D 3X 2Y + 15 = 0 E 3X 2Y + 10 = ENEM ) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna Prof. Arthur Lima 99

101 tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é A) 21. B) 24. C) 26. D) 28. E) ENEM ) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? A) 20 B) 21 C) 24 Prof. Arthur Lima 100

102 D) 25 E) ENEM ) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número , sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de A) centena. B) dezena de milhar. C) centena de milhar. D) milhão. E) centena de milhão. 24. ENEM ) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre. Prof. Arthur Lima 101

103 Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a A) 3, km. B) 3, km. C) 3, km. D) 3, km. E) 3, km. 25. ENEM ) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? A) 24 litros Prof. Arthur Lima 102

104 B) 36 litros C) 40 litros D) 42 litros E) 50 litros 26. ENEM ) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por relógio de luz, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura: A medida é expressa em kwh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kwh, na imagem, é A) B) C) D) E) ENEM ) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h 2, onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros. Prof. Arthur Lima 103

105 No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos. A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são A) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. B) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. C) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. D) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal. Prof. Arthur Lima 104

106 E) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal. 28. ENEM 2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de: (A) 4,129 x 103 (B) 4,129 x 106 (C) 4,129 x 109 (D) 4,129 x 1012 (E) 4,129 x ENEM ) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistadas. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir. Prof. Arthur Lima 105

107 Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterac ão no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? A) 13º B) 12º C) 11º D) 10º E) 9º 30. ENEM ) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? A) 476 B) 675 C) 923 D) 965 E) ENEM 2016) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns Prof. Arthur Lima 106

108 desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 1, 3 e Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos A) 1 3 5,, B) 1 5 3,, C) 3 1 5,, D) 3, 5, E) 5, 1, ENEM 2016) A tabela apresenta parte do resultado de um espermograma (exame que analisa as condições físicas e composição do sêmen humano). Para analisar o exame, deve-se comparar os resultados obtidos em diferentes datas com o valor padrão de cada característica avaliada. O paciente obteve um resultado dentro dos padrões no exame realizado no dia A) 30/11/2009. B) 23/03/2010. C) 09/08/2011. D) 23/08/2011. E) 06/03/2012. Prof. Arthur Lima 107