Livro Eletrônico. Aula 00. Matemática p/ ENEM - RETA FINAL 2018 (Com Videoaulas) Professores: Arthur Lima, Equipe ArthurLima, Hugo Lima

Transcrição

1 Livro Eletrônico 00 - RETA Professores: Lima, Equipe Lima, Hugo Lima

2 Lima, Equipe Lima, Hugo Lima 00 APRESENTAÇÃO... 2 CRONOGRAMA DO CURSO... TEORIA... 4 NÚMEROS NATURAIS... 5 NÚMEROS INTEIROS... 5 NÚMEROS RACIONAIS... 6 NÚMEROS IRRACIONAIS NÚMEROS REAIS POTÊNCIAS... 2 RAÍZES EXPRESSÕES NÚMERICAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO... 0 NOTAÇÃO CIENTÍFICA... 2 EXPRESSÕES NÚMERICAS... RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS... 4 LISTA DE QUESTÕES GABARITO...

3 Lima, APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo a este curso de DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, desenvolvido para permitir uma preparação intensiva para a prova do EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO (ENEM) de 208. Este material consiste de: - curso escrito intensivo (em PDF), formado por 07 aulas onde vamos nos restringir quela parte do edital que é mais cobrada nas provas do ENEM, de forma a trazer somente os assuntos que tem maior chance de contribuírem com o seu desempenho no Exame; - curso intensivo de matemática em vídeo, formado por cerca de 0 horas de aulas onde eu te explico os tópicos mais importantes exigidos no edital do ENEM e resolvo exercícios para você entender como cada assunto é cobrado na prova; - fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto comigo quando julgar necessário. Vale dizer que esse curso não tem a pretensão de exaurir o edital, e sim de cobrir os pontos mais frequentemente cobrados em prova. A ideia é que você consiga economizar bastante tempo, pois abordaremos os tópicos mais exigidos do edital do ENEM e nada além disso, e você poderá estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a perda de tempo gerada caso tivesse que estudar o conteúdo programático inteiro. Isso é importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante para aqueles que trabalham e estudam. Já faz tempo que você não estuda do ensino médio? Não tem problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto porque você estará adquirindo um material intensivo, porém, bastante completo naqueles pontos que cobrirmos. Assim, você poderá trabalhar cada assunto em aulas escritas e resolver uma quantidade boa de exercícios (em média 20 questões do ENEM por aula), sempre podendo consultar as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente possível que, mesmo tendo dificuldade em e estando há algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um ótimo desempenho no ENEM 208. Obviamente, se você se encontra nesta situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso. O fato de o curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura jornada. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo! Ou resolva uma bateria de questões! Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, sendo que, no período final, tive que conciliar com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para os cargos de Auditor 2

4 Lima, Fiscal e Analista-Tributário. Sou professor aqui no Estratégia Concursos desde o primeiro ano do site (20), e tive o privilégio de realizar mais de 550 cursos online até o momento. Neste período, vi vários de nossos alunos sendo aprovados nos cargos que almejavam, o que sempre foi uma enorme fonte de motivação para mim. Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo: Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-Fiscal em 202, cargo que exerço atualmente. Estou no Estratégia há três anos e sou também Analista do Passo Estratégico. Aqui no Estratégia nós sempre solicitamos que os alunos avaliem os nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação bastante elevados. Farei o possível para você me aprovar também! Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Facebook: ProfLima YouTube: Professor Lima professorhugolima@gmail.com CRONOGRAMA DO CURSO Para elaborar esse curso, nos baseamos nas edições do ENEM de 204 a 206 e percebemos que são os seguintes os assuntos mais cobrados no Exame: Assunto Percentual Gráficos em geral/equações e Funções de º e 2º graus 4% Divisibilidade/Fatoração/Porcentagem 2% Geometria Espacial %

5 Lima, Razões/Proporções/Escalas 0% Geometria Plana 9% Grandezas/Unidades de medida/conhecimentos geométricos introdutórios 9% Princípios de Contagem/Noções de Probabilidade 8% Operações em Conjuntos Numéricos 7% Com base nos assuntos acima, propomos a seguinte programação de aulas escritas (em PDF). Ao todo são 07 aulas, sem contar com esta aula demonstrativa, em que cobriremos somente os pontos mais relevantes e também mais cobrados pelo ENEM. Lembre-se: esse curso não aborda todos os tópicos do edital do ENEM, apenas o que é mais cobrado! Data (em vídeos e em PDF) 0/08 00 Operações em conjuntos numéricos /08 0 Divisibilidade, fatoração, porcentagem 2/08 02 Razões e proporções 0/09 0 Funções /09 04 Grandezas, unidades de medida e conhecimentos geométricos introdutórios 2/09 05 Geometria Plana 0/0 06 Geometria Espacial /0 07 Noções de probabilidade Sem mais, vamos ao curso. TEORIA Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais conjuntos, suas propriedades e suas operações. 4

6 Lima, NÚMEROS NATURAIS O I O letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: N As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois P -se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {, 2,, Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é, e o sucessor de 2 é 22. E o Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é, e o antecessor de 2 é 20. E - O antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-, n e n+} são números consecutivos. Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. Números naturais ímpares: {,, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto. Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: = 8; 2 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: + 5 = 8; 5 = 8. - a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: = 7; 2 5 = 7. - a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: x 5 = 5. - a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x = 6. NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-2, -, -0, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -, -2, -, 0,, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2...} 5

7 Lima, Observem que todos os números Naturais são também inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z: Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos: a) Números Inteiros não negativos = {0,,2,...}. Veja que são os números naturais. b) Números Inteiros não positivos -, -2, -, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. c) Números inteiros negativos -, -2, -}. O zero não faz parte. d) Números inteiros positivos = {, 2,...}. Novamente, o zero não faz parte. NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. é Racional, pois é a divisão do número inteiro -5 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 5 por e -95 são Racionais, pois são a divisão dos números 7 e -95 pelo número. Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por, podendo ser representado na forma (A dividido por, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você: 6

8 Lima, O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma, o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0, cujo valor é 0 indeterminado). No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente tipos de números: Frações. Ex.:,, etc. Números decimais. Ex.:,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma. Neste caso, poderíamos representá-lo como, ou mesmo simplificá-lo para. Dízimas periódicas. Ex.: 0,... ou simplesmente repete-se indefinidamente). (a barra indica que o algarismo As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma. O número deste exemplo poderia ser escrito na forma. Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica:, ou. Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a dízimas periódicas. Divida por e você obterá 0,..., ou simplesmente 0, á 0, é igual a. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é o caso em: 0,... 0, ,

9 Lima, Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0,... 0, , Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição. Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0,.... Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0,... Como a repetição é formada por um único número (), se multiplicarmos esta dízima por 0 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 0X = 0 x 0,... =,... Observe que 0X = + 0,.... Veja ainda a seguinte subtração: 0X X =,... 0,... Os dois números direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 9X = X= = 9 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,... é X =. Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0, Repare que temos a repetição de 26, e não há nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da dízima, temos: X = 0, Para passar a primeira repetição (26) para a esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 000: 000X = 26, Efetuando a subtração 000X X podemos obter a fração geratriz: 000X X = 26, , X = 26 X= = 999 8

10 Lima, Assim, a geratriz de 0, 26 é a fração 24. Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: Vejamos como obter a fração geratriz da dízima, Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 25. Entre a vírgula e o início da repetição temos números (27). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, temos: X =, Multiplicando X por 000 conseguimos deixar, direita da vírgula, apenas os termos que se repetem: 000X = 27, E X esquerdo da vírgula: ==0== X = 2725, Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: X 000X = 2725, , X = X = 288 X= Temos, portanto, a fração geratriz da dízima, Poderíamos ainda simplificála, se quiséssemos. OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 5 e 6 é: = 2 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando obtemos 4. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas () para a próxima soma: 9

11 Lima, Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. - propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, é igual a propriedade associativa: ao adicionar ou mais números racionais, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 4. - elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: = 2; = propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9 5=4 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a operação 65 97:

12 Lima, Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 D de 65. Levando este valor para a casa das unidades, temos 0 unidades, que somadas a 5 chegam a 5 unidades. Agora sim podemos subtrair 5 7 = 8, e anotar este resultado: Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 9, e não 6 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente á 9 = 6. Vamos anotar este resultado: Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um na casa das centenas de 65, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: E se quiséssemos efetuar a subtração 97 devemos: 65? Neste caso, como 97 é menor que 65, - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 65 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado. Desta forma, = Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. - propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, = 268, já = propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A diferente de (C B) A B) C pode ser - elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 0 = 2. - propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional.

13 Lima, - elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 5 x é igual soma do número 5 três vezes ( ), ou soma do número quinze vezes ( ). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 57 x Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: x 7 = 2. Deixamos o algarismo das unidades () no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 2 57 x Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo número () pelo número das dezenas do primeiro número: x 5 = 5. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: = 7. Assim, temos: 57 x 7 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número () pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (). Veja: 57 x 7 7 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número () pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): x 5 = 5. Assim, temos: 57 x 7 2

14 Lima, 57 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 x Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x, ou então 57 x (-), deveríamos obter -74. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-) deveríamos obter 74. Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: - propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: x 5 = 5 x = 5). - propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x ) x 4 = 2 x ( x 4) = (4 x ) x 2 = elemento neutro: a unidade () é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x = 5. - propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 = 5, que é racional). - propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) Exemplificando: 5x(+7) = 5x(0) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(+7) = 5x + 5x7 = 5+5 = 50

15 Lima, d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 0 por 2, queremos dividir 0 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 0 2 = 5. Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 75 por 8: 75 8 Neste caso, chamamos o 75 de dividendo (número a ser dividido) e o 8 de divisor (número que está dividindo o 75). Como o divisor possui 2 casas (8), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (7). Veja que 8x4 = 72 (que já é mais que 7). Já 8x = 54. Assim, temos: 75 8 Devemos multiplicar por 8 e anotar o resultado abaixo de 7, e a seguir efetuar a subtração: á Dividindo 75 por 8, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 8 abaixo do 75, para efetuarmos a subtração: Agora temos o número, que é inferior ao divisor (8). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 9 e o resto igual a. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. Observe que o dividendo (75) é igual multiplicação do divisor (8) pelo quociente (9), adicionada do resto (). Isto é: 75 = 8 x 9 + Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 4

16 Lima, As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Portanto, se tivéssemos dividido (-0) por 2, ou então 0 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-0) por (-2) deveríamos obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: - propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. - propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/ é diferente de (/5)/2. - elemento neutro: a unidade () é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / = 5. - propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 00 = 0,02; que é racional). Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as propriedades das operações com números racionais: Elem. Neutro Comut. Assoc. Fecham. Adição zero Sim Sim Sim Multiplicação Sim Sim Sim Subtração zero Não Não Divisão Não Não Sim Distributiva Não: A + (B + C ) ( A + B ) + ( A + C ) Sim: A (B + C ) ( A B ) + ( A C ) Não: A (B + C ) ( A B ) + ( A C ) Sim Não: A (B + C ) ( A B ) + ( A C ) OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 2/5 é equivalente a escrever 2 5. As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 5

17 Lima, Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x = 24). Para trocar o para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também 6 4 devemos multiplicar o numerador por 4, para manter a fração. Portanto, = denominador da fração para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 8 9. Assim, também devemos multiplicar o numerador por, para manter a fração. Assim, = Já para trocar o denominador da fração Agora podemos efetuar a soma: = + = = b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: = = c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: 6 = = 8 = *** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos substituir a expressão V - quanto é um terço de 000? Ora, simplesmente - e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 000! quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente ( ). 4 - por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5 ( X Y). 9 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 6

18 Lima, Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que p á essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda. - medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo esquerda). Vamos aplicar estes passos na adição de,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:,47 +2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número () está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: = ), a dezena () deve ser transferida para a próxima operação ( + 2). Com isso, temos:,47 +2,9 6,7 b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:,47-2,9 0,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 9 foi preciso pegar uma - -a ao 4. Assim, subtraímos 4 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 2, tivemos que subtrair 2 7

19 Lima, c) Multiplicação de números decimais: Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo:,47 x 2, ,06 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se multiplicação de,47 por 9. Já a segunda linha refere-se multiplicação de,47 por 2. Nesta linha há um 0 direita porque o 2 está uma casa decimal frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 906. E, lembrando que existem casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em,47 e uma em 2,9), devemos ter casas decimais no resultado, o que leva ao número 9,06. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 0 (0, 00, 000, 0000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 00, de modo a retirar ambas as casas decimais:,5 x 00 = 50 0,25 x 00 = 25 Agora, basta efetuar a divisão de 50 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. a) 2,25 +,7 b) 2,25,7 c) 2,25 x,7 d) 2,25 /,5 e) 0,898 +,2 8

20 Lima, f) 0,898,2 g) 0,898 x,2 h) 0,898 / 0,0 Respostas: a),95 b) 0,55 c),825 d),5 e) 2,08 f) -0,222 g), h) 89,8 REPRESENTAÇÃO NA RETA Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados: É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica, ainda que ele, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta 4 numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e em quatro partes, e colocar o número ao final da 4 seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número terceira delas: Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância do 0 até o é a mesma distância do 0 até o - E D mesma distância de 0 a - á Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número e o zero. Utilizamos o símbolo A para representar o módulo do número A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: = 9

21 Lima, - = 2 = -2 = 2 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, podemos dizer que: A, se A 0 A = A, se A<0 NÚMEROS IRRACIONAIS Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos. Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: (as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) Da mesma forma, o conhecido número casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação dos números irracionais na reta numérica: - não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto porque esses números têm infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma A e usar o mesmo método que vimos para localizar os números racionais. B Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a mede exatamente 2, que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2. NÚMEROS REAIS O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 20

22 Lima, (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso, (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora temos: No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais. REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados exatamente (os irracionais). POTÊNCIAS Observe o exemplo abaixo: 5 = = 25 (lêpelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada X O dúvida: 24 = = 6 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente E potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: 2

23 Lima, a) Qualquer número elevado a zero é igual a. Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer que: 50 = ( 25)0 = 0,0 = b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. I vezes. Ex.: 0 = = 0 c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar Normalmente você faria assim: 42 4 = (4 4) (4 4 4) = 024 V 4: 42 4 = 42+ = 45 = 024 d) Divisão de potências de mesma base (X): Como você faria a divisão 45? Provavelmente seria assim: = = 4 4 = E da divisão tem a base 4. Veja: 45 = 45 = 42 = 6 4 Analogamente, observe que = 4. Isto porque: 4 40 = = 40 = O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão Temos duas formas: Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 4 45 = 4( )+5 = 42 = 6 Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 4 para o denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: 22

24 Lima, 45 = 45 = 42 = = e) Potência de potência: A questão agora é resolver (22 ). Você poderia inicialmente elevar 2 segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado terceira potência (ao cubo): (22 ) = (4) = 64 Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: (22 ) = 22 = 26 = 64 f) Raiz de potência: Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de uma operação inversa potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a, e assim por diante. obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a Visto isso, vamos obter o valor de:, Veja que poderíamos fazer simplesmente assim: 26 = = 64 = 8 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 6 2 ( ) 2 = 2 6 =2 6 2, podemos fazer: 2 = 2 = 8 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. g) Potência de produto: Se tivermos que resolver uma expressão como (2 )2, podemos fazer de algumas formas: (2 )2 = (6)2 = 6 (2 )2 = (2 ) (2 ) = 6 (2 )2 = 22 2 = 4 9 = 6 Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B produto das potências An e B n. h) Potência de base 0: Q resolver. O resultado será 0 = =

25 Lima, Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 0 = 0 6 = = = 0, = = 0, i) Potência de base negativa: Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: (-2) = 8 ou -8? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: (-2) = (-2) (-2) (-2) = (4) (-2) = 8 Veja um exemplo com expoente par: (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = (4) (4) = 6 j) Fração elevada a um expoente: Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados quele expoente. Veja: 2 2 = Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: = = = = 27 RAÍZES Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é, isso significa que elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente. Veja alguns exemplos: n 27 = 27 =, pois = = 6 2 = 4, pois 42 = 6 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente. 24

26 Lima, As principais propriedades da radiciação são: a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: Isto é, n 0 = 0. Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta em zero. b) Qualquer raiz de é igual a : Ou seja, n =. Isto porque elevado a qualquer número também resulta em a b xa = x b 6 Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 46 = 4 = 42 = 6. c) R I á B n V temos que: á B A B = n A n B I 25 6 = 25 6 = 5 4 = 20 d) Raiz da divisão é igual divisão das raízes: A raiz de A/B é igual raiz de A dividida pela raiz de B: n A = B n A n B Veja esse exemplo: = = e) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que nm A = n m A. Exemplificando: 2 = 2 2 = 6 2 Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: = 2 = 2 = 2 = 2 = Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em 2 passos: Decomposição do número em fatores primos Aplicação da propriedade a b xa = x b 25

27 Lima, A título de exemplo, vamos calcular 26. Lembre-se que os números primos são aqueles divisíveis apenas por e por si mesmos, ou seja: 2,, 5, 7,,, 7, 9, 2 etc. Assim, iremos começar dividindo 26 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (), e assim sucessivamente. Teremos: Número Fator primo (pois não é mais possível usar o 2) 9 Logo, 26 = 2 x 2 x 2 x x x = 2 x Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: 26 = (2 ) = (2 ) = 2 = 2 = 6 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e revisar as propriedades que estudamos. Vamos resolver mais um caso: Decompondo 7056 em fatores primos, temos: Número Fator primo

28 Lima, Logo, 7056 = Portanto: 7056 = 2 7 = = 22 7 = 84 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 2. Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 Assim, 2 = 25 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 25 = 24 2 : 2 = 25 = 24 2 = 24 2 = 4 2 ou, simplesmente, 4 2 Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números reais não existe raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 6 ), mas existe raiz ímpar ( 27 =, pois ( ) = 27 ). EXPRESSÕES NÚMERICAS Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: ( ) (9 ) 7 4 = A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras:. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: (5 + 2) (9 ) 7 4 = A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: 27

29 Lima, = Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: = Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 5 4 = Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 5 4 = 8, 75 Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de divisão. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são representadas por letras. Estas variáveis representam, em realidade, números que não sabemos. Para descobri-los, precisamos saber manipular a expressão (que normalmente é composta por letras e números). Exemplos de expressões algébricas: a+b =5 2x + = 0 y 2 y + 0 = = p É y 2 y + 0 = 0 V a + b = 5 2x + = 0 A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica como as que vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta informações que permitirão que você mesmo construa a(s) expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão. As expressões algébricas são constituídas de um º termo ( esquerda), o sinal de igualdade e o 2º termo ( direita). Veja: 2x + = 5 + x É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da expressão por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com o outro termo. Caso contrário, não mais teremos 28

30 Lima, uma igualdade. Exemplificando, podemos somar unidade em cada membro da equação acima, obtendo o seguinte: 2x + + () = 5 + x + () 2x + 4 = 6 + x Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois membros dessa última expressão: 2x ( 4) = 6 + x + 4 2x = 6 + x 4 Você percebe que somar (- que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o outro lado da igualdade, porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre que você quiser passar um número ou variável que está somando ou subtraindo de um lado para o outro da igualdade, basta trocar o seu sinal. Agora, veja a seguinte expressão: 2( x + 2) = 6 + x Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o termo (x+2). Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos: 2( x + 2) 6 + x = x x+2= 2 Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora está dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou variável estiver multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, ele pode passar para o outro lado, bastando para isso inverter a operação. Muito cuidado para não cometer o seguinte erro: x + = 6 + x 6+x x += Neste caso acima, o número estava multiplicando x e foi transferido para o outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. Porém, o não estava multiplicando todo o primeiro termo, por isso não podia passar para o outro lado dividindo o segundo termo. Neste caso, o correto seria passar, primeiramente, o número (que estava somando) para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos: x = 6 + x Agora sim o está multiplicando todo o primeiro termo da igualdade, e pode passar para o outro lado dividindo: x= 6 + x 29

31 Lima, Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos descobrir o valor de uma variável, basta passar todos os termos que contém a variável para um lado da igualdade, e todos os que não a contém para o outro lado da igualdade. Utilizando a equação x + = x + 7, vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, passamos para o lado esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os que não contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias: x + = x + 7 x x = 7 2x = 4 A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado da igualdade o 2 que a multiplica: 2x = 4 4 x= 2 x=2 Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver primeiro o que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes [ ], e por fim o que está entre chaves { }. Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de potenciação ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por fim as de soma ou subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar a resolução dos exercícios. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO O sistema de numeração decimal é o que usamos no nosso dia-a-dia. Ele tem como base o número 0. Ao utilizá-lo contamos de 0 em 0, formando grupos a cada 0 unidades, os quais convencionou-se chamar de dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nesse sistema, utilizamos os algarismos 0,, 2,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar qualquer número. No sistema decimal, se temos um número como 574, dizemos que o 4 é o algarismo das Unidades, o é o algarismo das Dezenas, o 7 é o algarismo das centenas, e o 5 é o algarismo dos Milhares. Podemos reescrever este número em função das potências de 0. Para isso basta multiplicar o algarismo das unidades por, o das dezenas por 0, o das centenas por 00, o dos milhares por 000, e assim por diante. Exemplificando: 574 = 5x x00 + x0 + 4x ou 574 = ou 574 = 5x0 + 7x02 + x0 + 4x00 De maneira geral, se temos um número do tipo ABCD, onde cada letra representa uma casa decimal, podemos dizer que: 0

32 Lima, ABCD = Ax000 + Bx00 + Cx0 + D Vamos observar como aplicar esses conceitos na prática, trabalhando o seguinte problema: I J á J XY á YX X Y são algarismos do sistema decimal. Sabendo que a diferença de idade entre eles é de 27 anos, apresente um possível J Sendo XY e YX as idades, podemos dizer que: Idade de João Idade de Alberto = 27 XY YX = 27 (0X + Y) (0Y + X) = 27 0X + Y 0Y X = 27 9X 9Y = 27 9X = Y X = 27/9 + 9Y/9 X=+Y A partir desta última expressão, que relaciona X e Y, podemos encontrar possíveis soluções para o problema. Por exemplo, se Y for igual a, então X = + Y = + = 4. Deste modo, a idade de João é XY = 4, e a de Alberto é YX = 4. Note que, de fato, a diferença de idades é 4 4 = 27. Portanto, esta é uma possível solução, mas não a única. Poderíamos ter Y = 2 e X = +2 = 5, por exemplo, ficando João com 52 anos e Alberto com 25. E assim por diante... No entanto, nem todos os sistemas de numeração são decimais. Um sistema muito comum no meio digital é o sistema binário, que conta de 2 em 2 (ou seja, base 2) e se utiliza apenas dos algarismos 0 e para representar as quantidades. Suponha que queiramos transformar o número decimal 7 em binário. O primeiro passo é escrever esse número como a soma de potências de 2. Veja que 7 é igual a que, por sua vez, são iguais a 2^5 + 2^2 + 2^0. Portanto, podemos dizer que: 7 = = = x25 + 0x24 + 0x2 + x22 + 0x2 + x20 A partir dos números em negrito na última expressão, podemos escrever 7 em binário como 000. Vamos agora transformar o número decimal 7 em binário. Para isso, vamos recorrer s potências de 2 que vimos anteriormente. Podemos dizer que 7 = Assim, temos: 7 = =

33 Lima, = x27 + 0x26 + x25 + 0x24+ x2 + x22 + 0x2 + x20 A partir dos números em negrito na última expressão, podemos escrever 7 em binário como 000. Assim como o sistema de numeração binário, o sistema hexadecimal também é muito utilizado em computadores e processadores, ou seja, no mundo digital de uma maneira geral. Este sistema possui base 6, ou seja, nele agrupamos as quantidades de 6 em 6. Para isso, ele se utiliza de seis letras que se somam aos algarismos já conhecidos por nós no sistema decimal para representar qualquer quantidade. São utilizados os seguintes símbolos: 0,, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. NOTAÇÃO CIENTÍFICA A notação científica é uma maneira de escrever números de forma a facilitar a compreensão da sua ordem de grandeza, utilizando-se para isso das potências de 0. A ordem de grandeza de um número é justamente a potência de 0 mais próxima a ele. Assim, vejamos um exemplo: Vamos escrever o número 409 em notação científica. Iniciamos colocando pontos a cada três casas, da unidade para a esquerda, a fim de facilitar a identificação das potências de 0 (por exemplo: milhares, milhões, etc). Temos: Estamos diante de um número que apresenta centenas de milhões. Como fazer para representá-lo em notação científica? Basta escrevê-lo como sendo um número vezes a potência de 0 correspondente, da seguinte forma: 4,09 x 08 Veja que a vírgula que estava direita do algarismo 9 (note: ,00) andou 8 casas para a esquerda. A cada casa que a vírgula anda para a esquerda, uma unidade é adicionada no expoente da potência de 0, de forma a preservar o número original. Assim, de maneira mais formal, podemos definir que escrever um número em notação científica é escrevê-lo na seguinte forma: m x 0e á : seu valor em módulo deve estar entre e 0. Vejamos o porquê: Caso tivéssemos uma mantissa inferior a, por exemplo: 0,65 x 0 5, este número não estaria em notação científica. Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizando-nos das propriedades da potenciação: 0,65 x 05 = 2

34 Lima, 0,65 x 0 x 04 = 6,5 x 04 Caso tivéssemos uma mantissa superior a 0, por exemplo: 650 x 0 2, este número não estaria em notificação científica. Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizando-nos, mais uma vez, das propriedades da potenciação: 650 x 02 = 6,5 x 02 x 02 = 6,5 x 0(2+2)= 6,5 x 04 EXPRESSÕES NÚMERICAS Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: ( ) (9 ) 7 4 = A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras:. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que se encontram entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: (5 + 2) (9 ) 7 4 = A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: = Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: = Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 5 4 = Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 5 4 = 8, 75

35 Lima, Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de divisão. Vamos aos exercícios? RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS. ENEM 207) Em um teleférico turístico, bondinhos saem de estações ao nível do mar e do topo de uma montanha. A travessia dura,5 minuto e ambos os bondinhos se deslocam mesma velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A partir da estação ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo da montanha. Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho A? a) 5 b) 0 c) 5 d) 20 e) 25 RESOLUÇÃO: A travessia dura,5 minuto, que equivalem a,5 x 60 = 90 segundos. Se o bondinho A saiu da estação ao nível do mar há 40 segundos, quando então ele cruza com o bondinho B, isso significa que o faltam 50 segundos para o bondinho A chegar na estação da montanha. Ou ainda, podemos dizer que no momento em que se cruzam, o bondinho B tinha partido 50 segundos antes. Veja no esquema abaixo: 4

36 Lima, Se, quando se cruzam, o bondinho B já estava em movimento há 50 segundos, isso significa que, há 40 segundos atrás, o bondinho A estava na iminência de sair, e o bondinho B já tinha partido há = 0 segundos. Resposta: B 2. ENEM 207) Em um parque há dois mirantes de alturas distintas que são acessados por elevador panorâmico. O topo do mirante é acessado pelo elevador, enquanto que o topo do mirante 2 é acessado pelo elevador 2. Eles encontram-se a uma distância possível de ser percorrida a pé, e entre os mirantes há um teleférico que os liga que pode ou não ser utilizado pelo visitante. O acesso aos elevadores tem os seguintes custos: R R D R D R O custo da passagem do teleférico partindo do topo do mirante para o topo do mirante 2 é de R$ 2,00, e do topo do mirante 2 para o topo do mirante é de R$ 2,50. Qual é o menor custo, em real, para uma pessoa visitar os topos dos dois mirantes e retornar ao solo? a) 2,25 b),90 c) 4,5 d) 4,40 e) 4,45 RESOLUÇÃO: Para visitar o topo dos dois mirantes e retornar ao solo, a pessoa tem as seguintes alternativas: 5

37 Lima, Subir pelo elevador, descer pelo elevador, subir pelo elevador 2 e descer pelo elevador 2: 0,5 + 0,0 +,80 + 2,0 = 4,5 reais Subir pelo elevador, ir de teleférico do mirante para o 2 e descer pelo elevador 2: 0, ,0 = 4,45 reais Subir pelo elevador 2, ir de teleférico do mirante 2 para o e descer pelo elevador :,80 + 2,50 + 0,0 = 4,40 reais Assim, o menor custo para a pessoa visita o topo dos dois mirantes e retornar ao solo é de 4,5 reais. Resposta: C. ENEM 206) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 5, e. Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos A) 5,, B) 5,, C) 5,, D) 5,, E) 5,, RESOLUÇÃO: Para ordenar 5, e é simples. Basta obtermos denominadores iguais e compararmos os numeradores. Para o tubo de /2, basta multiplicar numerador e denominador por 4, obtendo 4/8. Para o tubo de 5/4 basta multiplicar numerador e denominador por 2, obtendo 0/8. Assim, ficamos com 4 0, e. Colocando em ordem, podemos dizer que o maior é o de 0/8 (correspondente a /4) e o menor é o de /8, sendo que o de 4/8 (correspondente a /2) vem ao meio. Assim, a ordem é 5,, Resposta: C 6

38 Lima, 4. ENEM 206) A tabela apresenta parte do resultado de um espermograma (exame que analisa as condições físicas e composição do sêmen humano). Para analisar o exame, deve-se comparar os resultados obtidos em diferentes datas com o valor padrão de cada característica avaliada. O paciente obteve um resultado dentro dos padrões no exame realizado no dia A) 0//2009. B) 2/0/200. C) 09/08/20. D) 2/08/20. E) 06/0/202. RESOLUÇÃO: Perceba que o volume (ml) está dentro do padrão para os exames de todas as datas. Já no tempo de liquefação (min) o exame do dia 06/0/202 está fora do padrão, motivo pelo qual lhe descartamos. No ph o exame do dia 09/08/20 está fora do padrão. No espermatozoide o exame do dia 0//2009 está fora do padrão. O leucócito não serve para desempatar entre os dois exames que sobraram. Na hemácia, o exame de 2/0/200 está fora do padrão. Assim, sobrou somente o exame do dia 2/08/20, que é a resposta. Resposta: D 5. ENEM 206) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, 7

39 Lima, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura é: A) B) C) D) E) RESOLUÇÃO: Para chegarmos no número representado, devemos pegar o número representado na unidade e multiplicar por, depois na dezena e multiplicar por 0, na centena por 00, em milhares por 000, na dezena de milhares por 0000 e assim por diante. Posteriormente somamos tudo e teremos o número representado corretamente. U - Unidade: D Dezena: 7 70 C Centena: 00 M Milhar: 0 0 DM Dezena de milhar: CM Centena de milhar: Somando tudo, temos: = 4607 Resposta: D 8

40 Lima, 6. ENEM 205) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,29 milhões de toneladas no mês de julho de 202, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 20, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 202. A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 202 foi de: (A) 4,29 x 0 6 (B) 4,29 x 0 9 (C) 4,29 x 0 2 (D) 4,29 x 0 5 (E) 4,29 x 0 RESOLUÇÃO: Em julho de 202 temos exportações de 4,29 milhões de toneladas, ou seja: 4,29 milhões de toneladas = toneladas Lembrando que tonelada é igual a.000 quilogramas, podemos multiplicar o número acima por.000 para obter o seu valor em quilogramas: x.000 = quilogramas V Para escrever neste formato, basta reparar que: = 4,29 x = 4,29 x 09 quilogramas Resposta: C 7. ENEM - 204) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares Na Figura, o quipus P qualquer posição, não se coloca nenhum nó. 9

41 Lima, O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é A) 64. B) 46. C) 064. D) 640. E) RESOLUÇÃO: Estamos trabalhando com a base decimal, que é a que vamos utilizar na maior parte do tempo. Na base decimal cada algarismo representa uma potência de 0. No exemplo dado na Figura, repare que temos dois nós nos milhares, quatros nós nas centenas, cinco nós nas dezenas e três nós nas unidades, ou seja: 2x0+4x02+5x0+x00 2x000+4x00+5x0+x Já na Figura 2, temos três nós nos milhares, zero nós nas centenas, seis nós nas dezenas e quatro nós nas unidades, ou seja: x0+0x02+6x0+4x00 x000+6x0+4x Resposta: C 40

42 Lima, 8. ENEM - 20) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: A) 7 70 B) 7 5 C) 5 70 D) 5 7 E) 70 7 RESOLUÇÃO: Quando o enunciado fala em ocupadas em relação ao total, ficando implícito que há uma divisão, a qual pode ser também representada por meio de uma fração. Vejamos que no Setor temos 7 colunas e 0 filas de cadeiras. Uma multiplicação simples nos dá a quantidade total de cadeiras do Setor : Total de cadeiras no Setor = 7x0 Total de cadeiras no Setor = 70 V O enunciado nos disse que as poltronas reservadas são representadas pela cor escura. Logo, temos 7 poltronas reservadas. 4

43 Lima, Assim, a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: Quantidade de cadeiras reservadas no Setor = 7 Total de cadeiras no Setor 70 Resposta: A 9. ENEM - 20) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é A) 6. B) 7. C) 8. D). E) 2. RESOLUÇÃO: Estamos diante de uma questão que nos pede conhecimentos de adição e divisão. O enunciado nos diz que deverão ser cercados com tela os três lados mostrados na Figura (o lado margeado pelo rio não será cercado). Assim, ao todo será colocada cerca ao longo de: 8 m + 90 m + 8 m = 52 metros No entanto, cada rolo de tela a ser comprado possui 48 metros de comprimento. Logo, vejamos quantos rolos serão necessários: 52/48 Vamos fazer essa divisão conforme o método que aprendemos:

44 Lima, 6 A divisão de 52 por 48 deu 7 e deixou resto 6, ou seja: 52 = 48x7+6=6+6 Assim, se comprarmos apenas 7 rolos conseguiremos cercar 6 metros mas ficarão 6 metros não cercados. Logo, a quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é de 8 rolos. Resposta: C 0. ENEM - 20) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual 2 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? A) X Y B) X Y C) X Y D) X Y E) X Y RESOLUÇÃO: Do enunciado temos que o ciclo do semáforo é de Y segundos. Por ciclo podemos entender o tempo que o semáforo leva para, por exemplo, acender a luz verde, apagar a luz verde e acender a luz amarela, apagar a luz amarela e acender a luz vermelha e, por fim, apagar a luz vermelha, quando então o ciclo se reinicia. De outra forma, podemos entender o ciclo (Y) como o resultado da soma abaixo: Tempo que a luz verde permanece acesa + Tempo que a luz amarela permanece acesa + Tempo que a luz vermelha permanece acesa O enunciado nos informou que o tempo que a luz amarela permanece acesa é de 5 segundos. Além disso, sabemos que o tempo em que a luz verde permaneça acesa é igual 2 do tempo em que a luz vermelha fique acesa, ou seja: Tempo que a luz verde permanece acesa = 2 x Tempo que a luz vermelha permanece acesa Isolando, na expressão acima, o tempo que a luz vermelha permanece acesa, temos: Tempo que a luz vermelha permanece acesa = (/2) x Tempo que a luz verde permanece acesa 4

45 Lima, Substituindo as informações acima na expressão do ciclo que mostramos no início da resolução temos: Ciclo = Tempo que a luz verde permanece acesa (/2) x Tempo que a luz verde permanece acesa O enunciado nos disse que o Ciclo é de Y segundos e que o tempo que a luz verde permanece acesa é de X segundos, logo: Y=X+5+(/2)X Multiplicando toda a equação por 2 temos: 2Y=2X+0+X 2Y=5X+0 5X+0-2Y=0 5X-2Y+0=0 Resposta: B. ENEM - 202) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é A) 2. B) 24. C) 26. D) 28. E). RESOLUÇÃO: Repare que o jogo utiliza 52 cartas ao todo. São criadas 7 colunas de cartas, da seguinte forma: Uma coluna com uma carta Uma coluna com duas cartas Uma coluna com três cartas Uma coluna com quatro cartas Uma coluna com cinco cartas Uma coluna com seis cartas Uma coluna com sete cartas 44

46 Lima, Assim, temos = 28 cartas compondo as colunas do jogo. As restantes formam o monte. Logo: Quantidade de cartas no monte = total de cartas no jogo cartas nas colunas Quantidade de cartas no monte = Quantidade de cartas no monte = 24 cartas Resposta: B 2. ENEM - 202) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 2 e 8 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 2 e 8 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? A) 20 B) 2 C) 24 D) 25 E) 27 RESOLUÇÃO: Repare que o enunciado diz que os dados são apresentados em horas por dia. A tabela mostra que os jovens gastam 5 horas por dia em atividades escolares durante a semana e hora por dia em atividades escolares no fim de semana. 45

47 Lima, Sabemos que a semana tem 5 dias e o fim de semana tem 2 dias. Dessa forma, a quantidade de horas que gasta um jovem entre 2 e 8 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares, é dada por: (5 horas por dia de semana x 5 dias da semana) + ( hora por dia no fim de semana x 2 dias do fim de semana) = 5x5 + x2= 25+2= 27 horas Resposta: E. ENEM - 202) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número , sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de A) centena. B) dezena de milhar. C) centena de milhar. D) milhão. E) centena de milhão. RESOLUÇÃO: 46

48 Lima, Vamos supor que X é o algarismo que João não entendeu. Dessa forma, vamos reescrever o número do protocolo: X98207 Podemos utilizar pontos a cada três dígitos para nos auxiliar na identificação de cada algarismo. Veja:.X Assim, esse número de protocolo é composto por: 7 unidades Nenhuma dezena 2 centenas 8 milhares 9 dezenas de milhares X centenas de milhares milhões dezena de milhão Portanto, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de centena de milhar. Resposta: C 4. ENEM - 202) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 20. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre. 47

49 Lima, Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a A),25 02 km. B),25 0 km. C),25 04 km. D),25 05 km. E),25 06 km. RESOLUÇÃO: Pela Figura, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a 25 mil km. Utilizando nossos conhecimentos de notação científica, vamos reescrever este número: 25 mil km = 25 x 0 km =,25 x 02 x 0 km =,25 x 02+ km =,25 x 05 km Resposta: D 5. ENEM - 202) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 5 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por 48

50 Lima, meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? A) 24 litros B) 6 litros C) 40 litros D) 42 litros E) 50 litros RESOLUÇÃO: O enunciado nos diz que determinada bacia sanitária não ecológica gasta 60 litros por dia com a descarga. Como a bacia sanitária não ecológica gasta 5 litros de água por descarga, o número de descargas por dia é dado por: Número de descargas por dia = volume gasto com a descarga por dia volume de cada descarga Número de descargas por dia = 60/5 = 4 descargas Ao substituir uma bacia sanitária não ecológica a economia por descarga é dada por: Economia por descarga = quantidade de litros por descarga da bacia sanitária não ecológica quantidade de litros por descarga da bacia sanitária ecológica Economia por descarga = 5 6 = 9 litros Se a economia por descarga é de 9 litros e estamos diante de uma situação em que são utilizadas 4 descargas por dia, a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica por uma bacia sanitária ecológica é de: Economia diária = quantidade de descargas x economia por descarga Economia diária = 4 x 9 Economia diária = 6 litros Resposta: B 49

51 Lima, Até o próximo encontro! Abraço, Hugo Lima Lima Facebook: ProfLima YouTube: Professor Lima LISTA DE QUESTÕES. ENEM 207) Em um teleférico turístico, bondinhos saem de estações ao nível do mar e do topo de uma montanha. A travessia dura,5 minuto e ambos os bondinhos se deslocam mesma velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A partir da estação ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo da montanha. Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho A? a) 5 b) 0 c) 5 d) 20 e) 25 50

52 Lima, 2. ENEM 207) Em um parque há dois mirantes de alturas distintas que são acessados por elevador panorâmico. O topo do mirante é acessado pelo elevador, enquanto que o topo do mirante 2 é acessado pelo elevador 2. Eles encontram-se a uma distância possível de ser percorrida a pé, e entre os mirantes há um teleférico que os liga que pode ou não ser utilizado pelo visitante. O acesso aos elevadores tem os seguintes custos: R R D R D R O custo da passagem do teleférico partindo do topo do mirante para o topo do mirante 2 é de R$ 2,00, e do topo do mirante 2 para o topo do mirante é de R$ 2,50. Qual é o menor custo, em real, para uma pessoa visitar os topos dos dois mirantes e retornar ao solo? a) 2,25 b),90 c) 4,5 d) 4,40 e) 4,45. ENEM 206) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 5, e. Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos A) 5,, B) 5,,

53 Lima, C) 5,, D) 5,, E) 5,, ENEM 206) A tabela apresenta parte do resultado de um espermograma (exame que analisa as condições físicas e composição do sêmen humano). Para analisar o exame, deve-se comparar os resultados obtidos em diferentes datas com o valor padrão de cada característica avaliada. O paciente obteve um resultado dentro dos padrões no exame realizado no dia A) 0//2009. B) 2/0/200. C) 09/08/20. D) 2/08/20. E) 06/0/ ENEM 206) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. 52

54 Lima, Nessa disposição, o número que está representado na figura é: A) B) C) D) E) ENEM 205) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,29 milhões de toneladas no mês de julho de 202, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 20, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 202. A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 202 foi de: (A) 4,29 x 0 6 (B) 4,29 x 0 9 (C) 4,29 x 0 2 (D) 4,29 x 0 5 (E) 4,29 x 0 7. ENEM - 204) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares Na Figura, o quipus representa o número decimal 2 4 P qualquer posição, não se coloca nenhum nó. 5

55 Lima, O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é A) 64. B) 46. C) 064. D) 640. E) ENEM - 20) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: A) 7 70 B)

56 Lima, C) 5 70 D) 5 7 E) ENEM - 20) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é A) 6. B) 7. C) 8. D). E) ENEM - 20) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual 2 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? A) X Y B) X Y C) X Y D) X Y E) X Y 55

57 Lima,. ENEM - 202) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é A) 2. B) 24. C) 26. D) 28. E). 2. ENEM - 202) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 2 e 8 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 2 e 8 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? A) 20 B) 2 C) 24 D) 25 E) 27. ENEM - 202) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de 56

58 Lima, atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número , sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de A) centena. B) dezena de milhar. C) centena de milhar. D) milhão. E) centena de milhão. 4. ENEM - 202) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 20. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre. Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a A),25 02 km. B),25 0 km. C),25 04 km. D),25 05 km. E),25 06 km. 57

59 Lima, 5. ENEM - 202) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 5 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? A) 24 litros B) 6 litros C) 40 litros D) 42 litros E) 50 litros GABARITO 0 B 02 C 0 C 04 D 05 D 06 C 07 C 08 A 09 C 0 B B 2 E C 4 D 5 B

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