Aula 5: Conversões Entre Bases Numéricas
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- Mariana Gil Alcântara
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1 Aula 5: Conversões Entre Bases Numéricas Diego Passos Universidade Federal Fluminense Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 1 / 43
2 Conversão de Base k para a Base 10 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 2 / 43
3 Relembrando a Definição Na última aula vimos que uma base k qualquer possui k algarismos Símbolos usados para escrever números Cada um associado a um valor único de 0 a k 1 Vimos também que a cada posição de um algarismo em um número corresponde um multiplicador Sempre da forma k i Onde i é a posição do algarismo no número Contada a partir do 0 e da direita para a esquerda No caso de vírgula: Posição zero é imediatamente a esquerda da vírgula À direita, encontram-se as posições -1, -2, Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 3 / 43
4 Relembrando a Definição (II) Seja um número qualquer a escrito em uma base k: a (k) = α p α 1 α 0,α 1 α 2 α q O valor deste número na base 10 é dado por: a (10) = k p val10(α p ) + + k 1 val10(α 1 ) + k 0 val10(α 0 ) + k 1 val10(α 1 ) + k 2 val10(α 2 ) + + k q val10(α q ) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 4 / 43
5 Definição como Método de Conversão A própria definição de uma base numérica qualquer pode ser usada para realizar a conversão de base Para isso, basta conhecermos: A base k A função val10(), que converte um algarismo da base k no seu valor decimal Aplica-se a função a cada algarismo Multiplica-se pela potência de k adequada Soma-se o valor obtido para todos os algarismos Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 5 / 43
6 Pseudo-Código Dados: Número na base k, valor de k Saída: Número na base 10 p número de algarismos à esquerda da vírgula; p p - 1; n número total de algarismos; valordecimal 0; enquanto n > 0 faça algarismo algarismo da posição p; valordecimal valordecimal + k p val10(algarismo); n n - 1; p p - 1; fim retorna valordecimal; Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 6 / 43
7 Definição como Método de Conversão: Exemplos Converter a = (2) para a base 10: a = a = a = 105 (10) Converter a = 456 (8) para a base 10: a = a = a = 302 (10) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 7 / 43
8 Definição como Método de Conversão: Exemplos (II) Converter a = 2F 5 (16) para a base 10: a = a = a = 757 (10) Converter a = 1011,101 (2) para a base 10: a = a = ,5 + 0,125 a = 11,625 (10) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 8 / 43
9 Variação para Valores Não-Inteiros O método explicado anteriormente funciona perfeitamente para números não-inteiros Mas podemos utilizar também uma pequena variação Fazemos a conversão do valor, ignorando a vírgula (ie, como se fosse um número inteiro) Após a conversão, dividimos o valor encontrado na base 10 por k q q é o número de algarismos depois da vírgula Exemplo: converter a = 1011,101 (2) para a base 10 Começamos convertendo o valor a = (2), ignorando a vírgula: a = a = a = 93 (10) Finalmente, dividimos 93(10) por 2 3, chegando ao resultado: 11,625 (10) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 9 / 43
10 Variação para Valores Não-Inteiros (II) Porque este método funciona? Quando ignoramos a vírgula, estamos implicitamente multiplicando o número original por k q Exemplos na base 10: 129, = ,1 10 = 41 Uma vez convertido o número sem vírgula, fazemos a divisão explícita para desfazer a multiplicação implícita Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 10 / 43
11 Conversão de Base k para Base 10: Exercício Realize as seguintes conversões de base: Converter (2) para a base 10 Converter 115(8) para a base 10 Converter 77F (16) para a base 10 Converter ABAC0(16) para a base 10 Converter 11,01 (2) para a base 10 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 11 / 43
12 Conversão de Base 10 para a Base k Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 12 / 43
13 Começando pelos Números Inteiros: Ideia Básica Vamos voltar à definição de um número escrito em uma base k qualquer: a (k) = α p α 1 α 0 Sabemos que o valor deste número na base 10 é dado por: a (10) = k p val10(α p ) + + k 1 val10(α 1 ) + k 0 val10(α 0 ) Note que para qualquer base k, k 0 = 1 Logo: a (10) = k p val10(α p ) + + k 1 val10(α 1 ) + val10(α 0 ) Note que todos os termos da expressão são divisíveis por k, exceto pelo último Lembre que 0 val10(α 0 ) k 1 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 13 / 43
14 Começando pelos Números Inteiros: Ideia Básica (II) Isso significa que se dividirmos o número a por k, o resto da divisão será val10(α 0 ) Valor correspondente ao primeiro algarismo (da direita para a esquerda) na representação em base k Por outro lado, o resultado da divisão (inteira) será: a (10) = k(p 1) val10(α p ) + + k 1 val10(α 2 ) + val10(α 1 ) Novamente, todos os termos são divisíveis por k, exceto pelo último Se fizermos uma nova divisão por k, o resto será val10(α1 ) ie, o valor do segundo algarismo de a (k) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 14 / 43
15 Começando pelos Números Inteiros: Resumindo Partimos do número a ser convertido, a Calculamos a divisão inteira de a por k O resto da divisão é o valor do algarismo mais à direita Guardamos resultado da divisão em a Dividindo a por k, obtemos o segundo algarismo e um novo valor, a Continuando assim, obtemos um a um os algarismos (na base k) do número a Da direita para a esquerda Pergunta: quando devemos parar? Em outras palavras, quando sabemos que chegamos ao último algarismo? Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 15 / 43
16 Começando pelos Números Inteiros: Resumindo (II) Para responder, vamos pensar no momento em que acabamos de obter o penúltimo algarismo Neste ponto, depois de sucessivas divisões por k, temos um valor a dado por: a = val10(α p ) Se realizarmos uma nova divisão inteira por k, obtemos: Como resto, val10(αp ) (valor do último algarismo) Como resultado, 0 (porque val10(αp ) < k) Note que o valor 0 só resulta da obtenção do último algarismo Conclusão: processo para quando a divisão inteira resulta em 0 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 16 / 43
17 Começando pelos Números Inteiros: Pseudo-Código Dados: Número a escrito na base 10, valor de k Saída: Número a escrito na base k saída ; repita valoralgarismo resto da divisão de a por k; a quociente da divisão inteira de a por k; saída símbolo do algarismo correspondente a valoralgarismo concatenado com saída; até a = 0; retorna saída; Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 17 / 43
18 Começando pelos Números Inteiros: Exemplos Converter a = 107 (10) para a base 2: Converter a = 48 (10) para a base 2: Resultado: (2) Resultado: (2) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 18 / 43
19 Começando pelos Números Inteiros: Exemplos (II) Converter a = 666 (10) para a base 8: Converter a = 1084 (10) para a base 16: Resultado:43C (16) Resultado: 1232 (8) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 19 / 43
20 Conversão de Base 10 para Base k: Exercício Realize as seguintes conversões de base: Converter 78(10) para a base 2 Converter 755 (10) para a base 2 Converter 61680(10) para a base 16 Converter 438 (10) para a base 8 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 20 / 43
21 Conversão de Números Não-Inteiros: Ideia Básica A conversão de números não-inteiros é um pouco mais trabalhosa O método que usaremos divide o trabalho em duas partes Ele é baseado no fato de que um número não-inteiro pode ser reescrito como a soma de dois pedaços : A parte inteira A parte fracionária Exemplos: 14,22 = ,22 1,25 = 1 + 0,25 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 21 / 43
22 Conversão de Números Não-Inteiros: Ideia Básica (II) Observe que: 1 Esta divisão pode ser feita em qualquer base eg, 11001,01 (2) = (2) + 0,01 (2) 2 Um número que possui parte inteira nula em uma base, também terá a parte inteira nula em qualquer outra base eg, 0,25 (10) = 0,01 (2) 3 Um número que possui parte fracionária nula em uma base, também terá a parte fracionária nula em qualquer outra base eg, 25 (10) = (2) 4 Em qualquer base, somar um número que tem apenas parte inteira com outro com apenas parte fracionária é equivalente a concatenar estas respectivas partes eg, (2) + 0,01 (2) = 11001,01 (2) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 22 / 43
23 Conversão de Números Não-Inteiros: Ideia Básica (III) O método para converter os números não-inteiros, portanto, consiste em dividir o problema em quatro etapas: Separar o número original na base 10 em dois: somente a parte inteira e somente a parte fracionária Converter a parte inteira usando o método estudado anteriormente Converter a parte fracionária (será visto a seguir) Concatenar as duas partes convertidas, separando-as por vírgula De todos estes passos, o único que não conhecemos é o terceiro Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 23 / 43
24 Conversão da Parte Fracionária: Teoria Considere um número fracionário puro a (10) escrito na base 10 Parte inteira é nula Sabemos que ele também é fracionário puro em qualquer outra base, em particular na base k: a (k) = 0,α 1 α 2 α q Também sabemos que podemos escrever este número alternativamente na base 10 como: a (10) = k 1 val10(α 1 ) + k 2 val10(α 2 ) + + k q val10(α q ) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 24 / 43
25 Conversão da Parte Fracionária: Teoria (II) Se multiplicarmos ambos os lados por k, obtemos: k a (10) = val10(α 1 ) + k 1 val10(α 2 ) + + k q+1 val10(α q ) Repare que o valor resultante possui agora uma parte inteira: val10(α 1 ) Os demais termos somam menos de 1 e compõem a parte fracionária Assim, isolando a parte inteira, obtemos o primeiro algarismo após a vírgula do número original Podemos pegar a parte fracionária e repetir o processo obtendo os demais algarismos Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 25 / 43
26 Conversão da Parte Fracionária: Resumindo Partimos do número a ser convertido, a Múltiplicamos a pela base k A parte intera corresponde ao valor do primeiro algarismo depois da vírgula Guardamos a parte inteira como um novo valor a Multiplicando a por k, obtemos o segundo algarismo e um novo valor, a Continuando assim, obtemos um a um os algarismos (na base k) do número a Da esquerda para a direita depois da vírgula Pergunta: quando devemos parar? Em outras palavras, quando sabemos que chegamos ao último algarismo? Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 26 / 43
27 Conversão da Parte Fracionária: Resumindo (II) Se a parte fracionária se torna 0, continuar o algoritmo só adicionará algarismos nulos ao final do número Logo, podemos usar esta condição como critério de parada Mais um detalhe: Um número fracionário com representação finita na base 10 não necessariamente será finito também na base k Se, em algum ponto, a parte fracionária se repetir, representação é infinita Algarismos gerados entre as repetições, se repetem indefinidamente Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 27 / 43
28 Conversão da Parte Fracionária: Pseudo-Código Dados: Número a escrito na base 10 (fracionário puro), valor de k Saída: Número a escrito na base k saída 0, ; repita valoralgarismo parte inteira da multiplicação de a por k; a parte fracionária da multiplicação de a por k; saída saída concatenada com símbolo do algarismo correspondente a valoralgarismo; até a = 0; retorna saída; Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 28 / 43
29 Conversão da Parte Fracionária: Exemplos Converter a = 0,6875 (10) para a base 2: Converter a = 0,1 (10) para a base 2: Converter a = 0,78125 (10) para a base 16: 0,6875 = 1,375 X 2 0,375 = 0,750 X 2 0,750 = 1,500 X 2 0,500 = 1,000 X 2 Resultado: 0,1011 (2) 0,1 = 0,200 X 2 0,2 = 0,400 X 2 0,4 = 0,800 X 2 0,8 = 1,600 0,6 = 1,200 X 2 X 2 0,78125 = 12,500 0,5 = 1,000 Resultado: 0,C1 (16) X 16 X 16 Resultado: 0,00011 (2) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 29 / 43
30 Juntando Tudo: Exemplo Converter 13,4 (10) para a base 2: Parte Inteira Parte Fracionária ,4 0,800 0,8 1,600 0,6 1,200 0,2 0,400 X 2 X 2 X 2 X 2 Resultado: 1101 (2) Resultado: 0,0110 (2) Resultado Final: 1101,0110 (2) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 30 / 43
31 Conversão de Números Não-Inteiros: Exercício Realize as seguintes conversões de base: Converter 14,5(10) para a base 2 Converter 76,25 (10) para a base 2 Converter 171,515625(10) para a base 16 Converter 46,45 (10) para a base 8 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 31 / 43
32 Conversões entre Bases Diferentes da 10 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 32 / 43
33 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Motivação Até aqui, todas as conversões vistas passaram pela base 10 Da base 10 para outras De outras para a base 10 Muitas vezes, queremos fazer conversões entre bases diferentes da 10 Exemplos: Base 2 para base 16 Base 16 para base 2 Base 8 para base 16 Como fazer estas conversões? Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 33 / 43
34 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Métodos Basicamente, há três possibilidades: Utilizar a base 10 como intermediária Utilizar métodos já estudados, mas aritmética na base de origem ou de destino Utilizar mapeamento entre algarismos de uma base e grupos de algarismos na outra Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 34 / 43
35 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Primeiro Método Utilizar a base 10 como intermediária Converte-se o número da base original para a base 10 Converte-se o resultado da base 10 para a base de destino Exemplo: converter (2) para a base (2) = = 109 (10) 109 (10) = 6D (16) Logo, (2) = 6D (16) Método simples, mas trabalhoso Duas conversões, ao invés de uma Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 35 / 43
36 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Segundo Método Utilizar métodos já estudados, mas aritmética na base de origem ou de destino Nos métodos de conversão vistos até aqui, a base 10 pode ser substituída por qualquer base Exemplo: converter C (16) para a base 2 D (16) dividido por 2 dá 6 e sobra 1 6(16) dividido por 2 dá 3 e sobra 0 3 (16) dividido por 2 dá 1 e sobra 1 1(16) dividido por 2 dá 0 e sobra 1 Logo, D (16) = 1101 (2) Só uma conversão é necessária O problema é realizar as operações aritméticas nestas outras bases Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 36 / 43
37 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Terceiro Método Utilizar mapeamento entre algarismos de uma base e grupos de algarismos na outra Algumas bases são relacionadas É possível fazer um mapeamento direto de um algarismo em uma base de origem para um grupo de algarismos na base de destino Ou vice-versa Exemplo: equivalências entre as bases 2 e 16 Base 2 Base 16 Base 2 Base 16 Base 2 Base 16 Base 2 Base C D A 1110 E B 1111 F Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 37 / 43
38 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Terceiro Método (II) Dadas estas equivalências, podemos facilmente fazer conversões entre estas bases Da base 16 para a base 2: cada algarismo hexadecimal é substituído pelo grupo de 4 bits correspondente Da base 2 para a base 16: cada grupo de 4 bits é substituído pelo algarismo hexadecimal correspondente Da direita para a esquerda Completar com zeros à esquerda, se necessário Exemplo 1: converter 1E5C (16) para a base 2 1(16) = 0001 (2), E (16) = 1110 (2), 5 (16) = 0101 (2), C (16) = 1100 (2) Juntando: 1E5C (16) = (2) Exemplo 2: converter (2) para a base 16 Da direita para a esquerda, há 4 blocos de 4 bits 1011(2), 0010 (2), 1011 (2) e 0001 (2) (completado com zeros) Blocos são convertidos para: B(16), 2 (16), B (16) e 1 (16) Juntando: (2) = 1B2B (16) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 38 / 43
39 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Terceiro Método (III) Método é bastante simples e prático Especialmente se decoramos as equivalências Mas há uma limitação: Nem todos os pares de bases são possuem este tipo de relacionamento Como determinar se este tipo de mapeamento existe entre duas bases k e j quaisquer? Suponha que k < j Neste caso, se j é uma potência de k, então podemos fazer este mapeamento Exemplos: Bases 2 e 4, 2 e 8, 2 e 16, e 8 e 64 possuem mapeamento Mas as bases 2 e 10, e 8 e 16, não Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 39 / 43
40 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Terceiro Método (IV) Novamente, não é possível usar o método entre bases como 2 e 10 Considere, por exemplo, uma tentativa errada de conversão de 367 (10) para a base 2: 3 (10) = 011 (2) 6(10) = 110 (2) 7 (10) = 111 (2) Juntando, encontramos 367(10) = (2) Errado! Deveria ser (2) Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 40 / 43
41 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Terceiro Método (V) Podemos ver a razão para a incompatibilidade entre as bases 2 e 10 tentando construir uma tabela de equivalências: Base 2 Base 10 Base 2 Base 10 Base 2 Base 10 Base 2 Base Note como alguns grupos de 4 bits não possuem algarismo decimal correspondente Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 41 / 43
42 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Terceiro Método (VI) Se tentarmos com grupos de 3 bits, o problema ocorre no sentido contrário: Base 2 Base 10 Base 2 Base Há algarismos decimais (8 e 9) que não possuem grupo correspondente Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 42 / 43
43 Conversões entre Bases Diferentes da 10: Exercício Monte uma tabela de equivalências entre as bases 2 e 8 Realize as seguintes conversões de base: (2) para a base (2) para a base 16 ABBA(16) para a base (8) para a base 2 762(8) para a base 16 Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 43 / 43
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