Introdução à Informática

Transcrição

1 Introdução à Informática Sistemas Numéricos Ageu Pacheco e Alexandre Meslin

2 Objetivo da Aula: Conhecer e saber aplicar os métodos de conversão entre bases, com especial ênfase na conversão de números entre as bases 10, 2, e 16.

3 Problema: : Dado um número N s expresso em uma base s (origem) achar sua representação N r na base r (destino). Dois métodos: - desenvolvimento da notação posicional (polinomial) - divisões sucessivas Embora ambos os métodos possam ser utilizados para conversão direta entre quaisquer bases s e r,, é desejável que uma delas seja a 10. Senão vejamos:

4 Desenvolvimento da notação posicional: Dado N s = A n A n-1 A 1 A 0, N r é obtido avaliando a expressão N r = A n s n + A n-1 s n A 1 s + A 0 no sistema de base r. - Se s < r a expressão é avaliada diretamente. - Se s > r é necessário primeiramente converter a base s e os dígitos A i para a base r.

5 Exemplos: 1) s = 2, N s = , r = 10, N r =? N r = 1 x x x x =

6 Exemplos: 1) s = 2, N s = , r = 10, N r =? N r = 1 x x x x = ) s = 10, N s = 117, r = 2, N r =? (caso de s > r) N r = 1 x (10 2 ) x (10 2 ) 1 + (7 2 ) N r = = N r =

7 Cálculos envolvidos no Exemplo 2: x

8 Exemplos (cont.): 3) s = 9, N s = 857, r = 10, N r =? N r = 8 x x =

9 Exemplos: 3) s = 9, N s = 857, r = 10, N r =? N r = 8 x x = ) s = 16, N s = BF7, r = 10, N r =? (caso de s > r) N r = (B 10 ) x (F 10 ) x N r = 11 x x =

10 Exemplos: 3) s = 9, N s = 857, r = 10, N r =? N r = 8 x x = ) s = 16, N s = BF7, r = 10, N r =? N r = (B 10 ) x (F 10 ) x N r = 11 x x = ) s = 7, N s = 100, r = 2, N r =? No caso, nem a base origem nem a destino é a 10. A solução é transformar primeiramente para a base10 e depois desta para a base 2 pelo método das divisões sucessivas a seguir.

11 Método das divisões sucessivas: N s = A n A n-1 A 1 A 0 (n o na base origem) N r = B m B m-1 B 1 B 0 (n o na base destino) Consiste em dividir sucessivamente o número dado N s da base origem s pela base destino r. - Se s > r os restos B obtidos já são os dígitos procurados, ou seja,, N r = B m B m-1 B 1 B Se s < r os restos B devem ser primeiramente convertidos para a base r.

12 Divisões sucessivas: N s r B 0 N 1 r B 1 N 2 N m-1 r B m-1 N m r (B m = N m ) B m 0

13 Exemplos: 6) s = 10, N s = 70, r = 4, N r =? =

14 Exemplos (cont): 7) s = 10, N s = 70, r = 6, N r =? =

15 Algoritmo da divisão sucessiva: N s r B 0 N 1 r B 1 N 2 N m-1 r B m-1 N m r (B m = N m ) B m 0

16 Demonstração: N s = N 1. r + B 0 N 1 = N 2. r + B 1 N m = 0. r + B m N s = (N 2. r + B 1 ) r + B 0 = N 2. r 2 + B 1. r + B 0 N s = (N 3. r + B 2 ) r 2 + B 1. r + B 0... N s = B m. r m + B m-1. r m B 1. r + B 0 = N r

17 Exemplos (cont.): 8) s = 10, N s = 69, r = 2, N r =? =

18 Exemplos (cont.): 9) s = 2, N s = , r = 10, N r =? (caso( s < r) A base destino r não tem representaçao direta na base s origem.. É preciso antes achar representação da base destino na de origem para depois realizar a conversão. r = =

19 Exemplos (cont.): 9) Nr = (110) 2 (1001) 2 =

20 Apenas relembrando a sequência inicial da base 2: Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,... 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...

21 Exemplos (cont.): 9a) s = 2, N s = , r = 10, N r =? A solucão do exemplo 4, em que s < r, é muito mais facilmente obtida através da decomposição posicional do número fornecido. N r = 1 x x = = 69 10

22 Considerando s (base origem) ) e r (base destino) temos na prática que: - Quando s < r e r = 10 aplicar o método do desenvolvimento da notação posicional do número N s - Quando s > r e s = 10 aplicar o método das divisões sucessivas. - Quando s = 10 e r = 10 converter N s para a base 10 (desenvolvimento( posicional) ) e depois converter para a base r (divisões sucessivas).

23 Exemplos (cont): 10) s = 7, N s = 100, r = 2, N r =? (Ex5 não resolvido) N s = 1 x 7 2 = =

24 Exemplos (cont): 11) s = 9, N s = 87, r = 4, N r =? N s = 8 x = =

25 Exemplos (cont): 12) s = 3, N s = 2120, r = 9, N r =? N s = 2 x x 3 = = =

26 Exemplos (cont): 11) s = 9, N s = 76, r = 3, N r =? N s = 7 x = = =

27 Os dois exemplos anteriores podem ser resolvidos de forma mais rápida se atentarmos para o fato de que a base 9 é potência da base 3. Senão, vejamos a sequência inicial da base 3: 0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100,101,102,110 (base 3) 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13.(base 9)

28 Repare que cada dois dígitos em sequência de um dado número na base 3 corresponde diretamente a um dígito da base 9. Assim teríamos: = (2 x 3 )+ 1 (2 X 3) = É esta relação de potências entre as bases que tornará, com o passar do tempo, a conversão entre as bases 2, 4, 8, e principalmente entre a 2 e a 16 (e vice-versa), versa), muito mais simples.

29 Exemplos (cont.): 12) s = 2, N s = 2, N s = , r = 4, N = , r = 4, N r =? =? = = = =

30 Exemplos (cont.): 12) s = 2, N s = , r = 4, N r =? = = ) s = 4, N s = 1123, r = 2, N r =? = =

31 Exemplos (cont.): 14) s = 2, N s = , r = 8, N r =? = = ) s = 2, N s = , r = 16, N r =? = 5 B = 5B 16

32 Mudança de base de números reais: N R = (A( n A n-1 A 2 A 1 A. 0 A -1 A -2 A -3...) N R = N I + N F, onde: N I = A.b n n + A n-1.bn A 1.b1 + A 0.b0 N F = A -1.b- 1 + A -2.b-2 + A -3.b

33 A parte fracionária N F de um número em uma dada base corresponde sempre `a parte fracionária de sua representação em outra base. N F = A -1.b- 1 + A -2.b-2 + A -3.b O problema se reduz ao cálculo dos dígitos A -1, A -2, A -3,...

34 Multiplicando a expressão de N F por b temos: b.n F = (A -1.b- 1 + A -2.b-2 + A -3.b ).b b.n F = A + A -1-2.b-1 + A -3.b-3 +

35 Repare que na expressão anterior A -1 é a parte inteira de b.n F. Subtraindo-se A -1 de b.n F e multiplicando novamente por b a expressão resultante temos: b.(b.n F - A -1 ) = A -2 + A -3.b O processo deve continuar até alcançar o número de dígitos desejado na parte fracionária.. A aplicação do método na prática é bem mais simples que as equações anteriores parecem sugerir.

36 Exemplos: 1) Converter para a base 2. N I = de um exemplo anterior. Para N F : 2 x (0.71) = 1.42 A-1 1 = 1 2 x (0.42) = 0.84 A-2 2 = 0 2 x (0.84) = 1.68 A-3 3 = 1 2 x (0.68) = 1.36 A-4 4 = 1 2 x (0.36) = 0.72 A-5 5 = 0 2 x (0.72) = 1.44 A-6 6 = 1

37 Exemplos (cont.): 1) Continuando N F = e o resultado fica: = ( ) 2

38 Exemplos (cont.): 1) Continuando N F = e o resultado fica: = ( ) 2 2) Converter ( ) 2 para a base 10. Aqui como s < r, a solução é desenvolver a notação posicional do número: = = = = =

39 Exemplos (cont.): 3) s = 2, N s = , r = 4, N r =? = =

40 Exemplos (cont.): 3) s = 2, N s = , r = 4, N r =? = = ) s = 2, N s = , r = 8, N r =? = =

41 Exemplos (cont.): 5) s = 2, N s = , r = 16, N r =? = 2 B. C E = 2B.CE 16

42 Exemplos (cont.): 5) s = 2, N s = , r = 16, N r =? = 2 B. C E = 2B.CE 16 6) s = 16, N s = AB.CD, r = 8, N r =? N s = A B. C D = (1010( ) 2 N s = (010( ) 2 N s = (2( ) 8 AB.CD 16 =