Aula 7: Representações de Números Inteiros: Sinal e Magnitude e Representação em Excesso de k

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1 Aula 7: Representações de Números Inteiros: Sinal e Magnitude e Representação em Excesso de k Diego Passos Universidade Federal Fluminense Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC / 33

2 Introdução Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 2 / 33

3 Computadores e Números Computadores modernos são, em sua enorme maioria, dispositivos digitais Representam sinais como conjuntos de símbolos discretos Mais que isso, computadores são normalmente binários Dois estados, eg, tensão baixa ou tensão alta Nas últimas aulas, vimos como números podem ser representados em base 2 Base numérica composta por dois símbolos (algarismos) Também chamados de bits Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 3 / 33

4 Computadores e Números (II) Como os computadores têm a capacidade de representar dois estados, podemos representar bits Algarismos de números representados em base 2 Com uma sequência ordenada de bits, podemos representar números quaisquer Desde que o número de bits disponível seja grande o suficiente Bit = Bit = () = (2) = Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 4 / 33

5 Computadores e Números (III) Note que por se tratar de circuitos eletrônicos, computadores usam um número fixo de bits para representar números Por exemplo, 8 bits, 6 bits, 32 bits Se um número tem menos algarismos binários, ele e complementado com zeros à esquerda Exemplos com 8 bits: 2() = (2) () = (2) 5() = (2) Por outro lado, isso limita o conjunto de números que podem ser representados Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 5 / 33

6 Computadores e Números (IV) Se só precisamos representar números inteiros positivos, o problema estaria resolvido Cada bit é representado por um circuito eletrônico Estados do circuito são mapeados para um dos dois algarismos Mas na prática, problema é mais complicado: O que fazer com os números negativos? E com os números com parte fracionária não-nula? Estes problemas serão solucionados através de esquemas de representação Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 6 / 33

7 Esquemas de Representação Maneira padronizada de codificar informações usando apenas bits Valor que assume dois estados No caso dos números, permitem representar números negativos E, em alguns casos, números com parte fracionária Nesta disciplina, veremos 6: Sinal e Magnitude Representação em Excesso Complemento a Um Complemento a Dois Representação em Ponto Fixo Representação em Ponto Flutuante Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 7 / 33

8 Esquemas de Representação (II) Note que os computadores não usam os esquemas de representação apenas para armazenar dados Eles operam sobre os dados utilizando estas representações Operações aritméticas, de comparação, Por isso, a praticidade de operar sobre valores nestes esquemas de representação é uma qualidade importante Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 8 / 33

9 Sinal e Magnitude Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 9 / 33

10 Ideia Básica A representação por Sinal e Magnitude é provavelmente a mais intuitiva Capaz de representar apenas números inteiros Mas tanto positivos, quanto negativos Ideia simples: Números são separados em duas componentes Sinal Magnitude (ou módulo, ou valor absoluto) Como o sinal assume dois estados (negativo e positivo), utiliza-se um bit para representá-lo Demais bits são usados para representar a magnitude Como se o número fosse positivo Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC / 33

11 Convenções em Sinal e Magnitude Bit reservado para o sinal é sempre o mais significativo ie, o mais à esquerda Em números positivos, esse bit é Em números negativos, esse bit é A magnitude é simplesmente representada em base 2 com n bits Onde n é o número de bits usado pela máquina para representar números Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC / 33

12 Exemplos de Representação Exemplos considerando 8 bits -37 () = - (2) Bits do Computador { Sinal Magnitude +99 () = + (2) Bits do Computador { Sinal Magnitude No primeiro exemplo, repare como os bits de magnitude são completados com zeros à esquerda Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 2 / 33

13 Exercícios Represente os seguintes valores em Sinal e Magnitude: 9() com 6 bits 24 () com 8 bits 24(8) com 8 bits 73 (6) com bits Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 3 / 33

14 Fazendo Contas com Sinal e Magnitude Suponha que um computador deseje operar sobre dois números em Sinal e Magnitude Somar Subtrair Comparar Como isso deve ser feito? Considere uma soma, por exemplo Não podemos simplesmente somar os dois números algarismo a algarismo Um dos algarismos é na verdade um sinal Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 4 / 33

15 Fazendo Contas com Sinal e Magnitude (II) Embora pareça um algarismo, bit de sinal precisa ser tratado diferentemente Deve ser ignorado, ou só considerado antes ou depois da operação Exemplo para soma: Se os bits de sinal dos dois números são iguais, separe as magnitudes e as some Bit de sinal do resultado é igual ao bit de sinal dos operandos Caso contrário, isole as magnitudes e subtraia a menor da maior Bit de sinal do resultado é igual ao bit de sinal do operando de maior magnitude + = + + = + + = - Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 5 / 33

16 Fazendo Contas com Sinal e Magnitude (III) Outras operações podem ser realizadas de forma similar Para subtração, pode-se trocar o sinal do subtraendo (inverter bit de sinal) e executar mesmos passos da soma Para divisão e multiplicação, opera-se apenas sobre a magnitude Se operandos têm mesmo sinal, resultado terá bit de sinal Se operandos têm sinal diferente, resultado terá bit de sinal Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 6 / 33

17 Sinal e Magnitude: Limites Suponha que tenhamos 8 bits para representar um número em Sinal e Magnitude Qual o maior número (mais positivo) que pode ser representado? O maior número em Sinal e Magnitude tem primeiro bit e todos os outros iguais a Para 8 bits: (2) = 27 () Qual o menor número (mais negativo) que pode ser representado? O menor número em Sinal e Magnitude tem primeiro bit e todos os outros iguais a Para 8 bits: (2) = 27 () Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 7 / 33

18 Sinal e Magnitude: Limites (II) De forma mais genérica, com uma quantidade n qualquer de bits: Maior número: 2 (n 2) + 2 (n 3) = 2 (n ) Menor número: ( 2 (n 2) + 2 (n 3) ) = ( 2 (n ) ) Exemplos para alguns valores de n: Para n = 4: de -7 a 7 Para n = 6: de a Para n = 32: de a Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 8 / 33

19 Sinal e Magnitude: Duplicidade do Valor Considere as seguintes sequências de bits: e Assumindo que ambas são representações em Sinal e Magnitude com 8 bits, quais os valores representados? Vamos fazer a interpretação: Primeiro número tem sinal positivo e magnitude Segundo número tem sinal negativo e magnitude Conclusão: ambos são Na representação em sinal e magnitude, o valor zero tem duas representações distintas O zero positivo : E o zero negativo : Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 9 / 33

20 Sinal e Magnitude: Usos Pela sua similaridade com a notação escrita, a representação em Sinal e Magnitude foi usada em alguns computadores antigos eg, IBM 79 em 959 Mas a duplicidade do valor e a lógica complicada para certas operações matemáticas resultou em pouco popularidade Outras representações são mais simples Note que a duplicidade do zero desperdiça bits Hoje, a maior importância desta representação é ser a base para a Representação em Ponto Flutuante Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 2 / 33

21 Representação em Excesso de k Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 2 / 33

22 Introdução Também chamada de offset binário Assim como a representação em Sinal e Magnitude, só permite representar números inteiros Positivos, negativos e zero Além do número de bits, é usado um outro parâmetro k Chamado de excesso Para um dado parâmetro k, menor número representável será k Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 22 / 33

23 Como funciona Funcionamento é bastante simples Para representar um número a qualquer em Excesso de k com n bits, deve-se: Obter um novo valor b = a + k 2 Representar b na base 2 com n bits Completar com zeros à esquerda, se necessário Note que, por hipótese, a k Logo, qualquer que seja a, a + k Ou seja, b é necessariamente um número não-negativo Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 23 / 33

24 Exemplos Representação de 8 bits em excesso de 28: Bits do Computador { a = -45 () b = -45 () + 28 () = 83 () 83 () = (2) Bits do Computador a = -28 () b = -28 () + 28 () = () () = (2) Bits do Computador a = 8 () b = 8 () + 28 () = 29 () 29 () = (2) { { Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 24 / 33

25 Exercícios Represente os seguintes valores em Representação em Excesso: 9() com bits e excesso de () com 7 bits e excesso de 5 24(8) com 8 bits e excesso de 2 73 (6) com 7 bits e excesso de 5 Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 25 / 33

26 Interpretando um Número na Representação em Excesso de k Dado um número escrito na representação em Excesso de k, podemos interpretá-lo facilmente Para isso, basta: Converter a representação binária para decimal 2 Subtrair do excesso k Exemplos: quais os valores dos seguintes números representados em excesso de 64 com 8 bits? (2) 64 () = 45 () 64 () = 9 () (2) 64 () = 2 () 64 () = 43 () (2) 64 () = 7 () 64 () = 53 () Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 26 / 33

27 Fazendo Contas com a Representação em Excesso de k Ao realizar contas na representação em excesso, precisamos lembrar do excesso k somado aos operandos Por exemplo, se os dois operandos são a e b, na verdade a representação terá valores a = a + k e b = b + k Considere, por exemplo, uma soma Se somarmos diretamente os bits das representações, obteremos a + b = a + k + b + k O excesso fica dobrado Logo, para corrigir o valor, basta subtrair o excesso Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 27 / 33

28 Fazendo Contas com a Representação em Excesso de k (II) Podemos também inverter o sinal de um número Considere um número a com representação a = a + k Queremos calcular a representação de ( a) = ( a) + k Da primeira equação, temos ( a) = k a Substituindo na segunda, ficamos com ( a) = k a + k = 2k a Em resumo, dada a representação de um número em Representação em Excesso de k, basta subtraí-la de 2k Exemplo: Inverter o sinal de representado em excesso de 28 (equivalente 8() ) 2 28 () = (2) (2) (2) = (2) Traduzindo da representação em excesso: (2) 28 () = 47 () 28 () = 8 () Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 28 / 33

29 Fazendo Contas com a Representação em Excesso de k (III) Sabendo inverter o sinal de um número, é fácil realizar subtrações Basta inverter o sinal do subtraendo e realizar a soma dos valores encontrados Note que divisões e subtrações são mais complicadas Não podemos realizá-las na representação Precisamos operar sobre os valores absolutos dos operandos, sem o excesso Para isso, o primeiro passo é descobrir se os operandos são menores que zero Se forem, invertemos o sinal Em seguida, removemos o excesso, realizamos a operação e adicionamos o excesso de volta ao resultado Por fim, se os sinais dos operandos eram diferentes, invertemos o sinal do resultado Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 29 / 33

30 Representação em Excesso de k: Limites Qual o menor valor que pode ser escrito em uma representação em Excesso de k com n bits? Já comentado anteriormente: k Tem representação com todos os bits zerados Independente do valor de n E qual é o maior valor? Neste caso, é o valor associado a uma representação contendo todos os bits iguais a Traduzindo: (2) k = 2 (n ) + 2 (n 2) k = 2 n k Depende tanto de k, quanto de n Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 3 / 33

31 Qual Valor de k Escolher? A princípio, pode-se escolher qualquer valor positivo de k Note, no entanto, que k influencia no maior e menor valores representáveis Quanto maior o k, mais números negativos podem ser representados Mas menos números positivos são viáveis Geralmente, opta-se por um k que balanceie a representabilidade entre números positivos e negativos Para um dado número de bits n, por exemplo, pode-se escolher k = 2 (n ) Números representáveis na faixa de 2 (n ) a 2 (n ) Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 3 / 33

32 Identificando Números Negativos e Positivos Como determinar se um número escrito na representação em Excesso de k é menor que? No caso geral, precisamos comparar a representação ao valor de k Se a representação é maior, o número é positivo Se é menor, o número é negativo Se ambos são iguais, o número é Para um valor de k qualquer, esta comparação pode não ser trivial ie, pode ser necessário olhar para vários bits eg, determinar sinal de na representação em excesso de No entanto, se escolhermos o excesso k = 2 (n ), precisamos olhar apenas para primeiro bit Se for, o número é negativo eg, é negativo em excesso de 28 eg, é positivo em excesso de 28 Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 32 / 33

33 Representação em Excesso de k: Usos Assim como a representação por Sinal e Magnitude, a representação em excesso não é o método mais popular hoje em dia Suas operações ainda são relativamente complexas Embora ela não apresente a duplicidade do zero Na década de 7, certos computadores, caixas registradores e calculadores empregavam uma representação baseada em Excesso de 3 Ela também é útil em certas aplicações de eletrônica Nos computadores modernos, ela é importante por fazer parte da Representação em Ponto Flutuante Diego Passos (UFF) Sinal e Magnitude; Excesso de k FAC 33 / 33