Representação Digital de Informação Aritmética

Transcrição

1 Representação Digital de Informação Aritmética Operações Aritméticas Representação e Aritmética de Números com Sinal Representação em módulo e sinal Representação em notação de complemento para 2 2 1

2 Somas em base 10 A operação mais usual é a soma que em base 10 é fácil de fazer segundo um algoritmo que todos conhecem. Soma: Soma-se algarismo a algarismo dos dois números, fazendo passar o transporte para o algarismo de peso seguinte da soma. 3 Somas em base 10 Usa-se a conhecida tabela da soma (a malfadada tabuada). Repare-se que = 8 sem transporte (com transporte 0) e = 5 com transporte

3 Somas de números representados em base 2 O mesmo algoritmo e a tabela da soma binária. Repare-se que na soma de dois algarismos 1 com um transporte, também 1 vem = 11 (soma = 1, transporte = 1) 5 Multiplicação em base 10 O algoritmo habitual (comentado) 6 3

4 Multiplicação em base 2 O algoritmo habitual (comentado) 7 Tabela As boas notícias são que não precisamos de saber isto de cor! 8 4

5 O algoritmo do costume Raciocínio para evitar saber a tabuada = 7 e vai 0 de transporte. 10 (A) + 4 = 14 (E) e vai 0 de transporte (não se atingiu = 8 e vai 0 de transporte. 15 (F) + 10 (A) = é 16 (transporte 1) + 9 (valor da soma (de transporte) = 2. 9 Para não variar o algoritmo do costume O problema surge se o subtraendo for menor que o subtractor Mas esse é já um problema antigo. 10 5

6 Representação de números com sinal Até aqui só foram referidos números sem sinal e, portanto, implicitamente números positivos e o zero. No entanto, pelas razões habituais na matemática, temos de trabalhar e representar também, números negativos. Como representar o sinal? Só há uma possibilidade: Com 0 e 1, os dois bits possíveis. 11 Módulo e sinal A primeira ideia é usar um bit para o sinal e os restantes para o módulo. Convencionando que o sinal + é representado por 0 e o é representado por 1, teremos então, por exemplo: +5 representado por 0101 em binário e -5 representado por Repare-se que nada distingue o bit de sinal dos outros excepto o facto de estar à esquerda. Repare-se ainda que dos 4 bits, um é sinal e 3 são o módulo 12 6

7 Módulo e sinal A gama de números que é possível representar com 4 bits é a que consta na tabela. Com n bits podemos ir de 2 n-1-1 até + 2 n-1-1 e há duas representações para o zero. 13 Módulo e sinal Uma consequência que é comum a todos os modos de representação é que, num determinado contexto, temos de representar todos os números com o mesmo número de bits. Para se perceber qual é o bit de sinal. Por exemplo na soma de 1 com 5: Sinal Soma dos módulos 14 7

8 Módulo e sinal Inconvenientes Duas representações para o 0. As operações são complicadas. Por exemplo para fazer (+5) + (-3) não se pode fazer É necessário, separar o sinal do módulo e calcular separadamente 5 3 e o valor do sinal. Se considerarmos que se pode fazer somas e subtracções, as coisas complicam-se 15 O que seria interessante? Que, tal como, + 2 é representado por 0010, - 2 fosse representado por 1110 e 1 por Mas E Será que 16 8

9 Complemento para 2 Define-se complemento para 2 n de um número x como Por exemplo, se n = 4 vem, para x = 2, Mas (ver slide anterior) 1110 não era uma representação interessante de 2 com 4 bits? Habitualmente fala-se em complemento para 2 não referindo explicitamente o valor de n. Já agora é óbvio que o complemento para 2 do complemento para 2 de x é x. 17 Representação de um número x em notação de Complemento para 2 com n bits é: Se x é positivo ou nulo, o próprio número x com n bits. Se x é negativo, o complemento para 2 do módulo de x. Por exemplo, com 5 bits, x = 5 e y =

10 Exemplos para x = 12 com 8 bits: A definição Inverter bit a bit e somar 1 A partir da direita copiar bit a bit até ao primeiro 1. Copiar esse 1 e inverter bit a bit a partir daí. 19 A título de exemplo, na tabela representam-se todos os números representáveis em notação de complemento para 2 com quatro bits. Repare-se que o bit da esquerda continua a representar o sinal mas os bits da direita nos negativos já não representam o módulo. Repare-se que só há um zero e, por isso há mais um negativo representável

11 Quando queremos passar de um número representado em complemento para 2 com n bits para uma representação com m bits com m > n, procede-se à operação de extensão de sinal. Por exemplo, 0011 com quatro bits passa a com oito bits e 1010 com quatro bits passa a com oito bits. Deixa-se como exercício verificarem isto. 21 O maior interesse deste tipo de representação é que as somas se fazem sempre da mesma forma Soma de dois positivos Soma de dois negativos 22 11

12 Somas de um positivo com um negativo Subtracções fazem-se com a soma. x - y = x + (- y) E y é o complemento para 2 de y. 23 É evidente que com n bits só se conseguem representar em notação de complemento para 2 números de 2 n-1 a + 2 n-1-1. Por exemplo com quatro bits só se consegue representar números de 8 a + 7 como se viu antes

13 Quando se faz uma operação e o resultado não é representável com o número de bits disponíveis, temos um excesso (overflow, em inglês). Por exemplo, com quatro bits, se se fizer a adição = 7 o resultado é representável mas se se fizer = 9, já não é possível representar o resultado. 25 Somas de positivos com negativos. Nunca há excesso porque o resultado está entre os dois números a somar e, portanto, se ambos eram representáveis o resultado também será. Somas de dois positivos Detecta-se que há excesso porque se somaram dois positivos e se obteve um negativo! 26 13

14 Somas de dois negativos Detecta-se que há excesso porque se somaram dois negativos e se obteve um positivo! 27 Mas há uma regra mais geral: Há excesso se na soma os dois últimos transportes forem diferentes. Não há se forem iguais. Pensem porquê 28 14

15 Livro indicado, secções 1.2 e 5.2 Carlos Sêrro: Sistemas Digitais fundamentos algébricos, ISTPress 2003, Capítulo 1 A esmagadora maioria de livros sobre Sistemas Digitais A Internet é, como de costume, uma fonte que explorada com espírito crítico tem muito para dar