Arquitetura e Organização de Computadores

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Arquitetura e Organização de Computadores Aritmética Computacional Prof. Sílvio Fernandes

2 Unidade Lógica e Aritmética (ULA) Do inglês ALU Faz os cálculos. Tudo o mais no computador existe para atender a essa unidade. Trata de inteiros. Pode tratar de números de ponto flutuante (reais). Pode ser FPU separada (coprocessador matemático). Pode estar em chip de FPU separado (486DX +). 2

3 Unidade Lógica e Aritmética (ALU) 3

4 Representação de Números Inteiros No sistema de numeração binária, é possível representar números inteiros negativos usando: Dígitos 0 e 1 Sinal de subtração Vírgula Exemplo: -1101, = -13,

5 Representação de Números Inteiros Para armazenar e processar números inteiros negativos no computador, são usados apenas os dígitos 0 e 1 Se uma sequencia de n bits de dígitos binários n a-1 n a-2... a 1 a 0 for um inteiro sem sinal A, seu valor é n A i i ai 5

6 Representação de Números Inteiros Como representar números negativos? Representação Sinal-Magnitude Representação em Complemento de Dois 6

7 Representação Sinal-Magnitude Em uma palavra de n bits O bit mais à esquerda representa o sinal do número inteiro Os n-1 bits mais à direita representam a magnitude do número inteiro Exemplo: +18 = =

8 Representação Sinal-Magnitude Há duas representações para o zero +0 = = É mais difícil testar se um valor é igual a zero do que no caso em que há apenas uma representação para o zero Por isso, essa representação raramente é usada na implementação da parte inteira de uma ULA 8

9 Representação em Complemento de Dois 9

10 Representação em Complemento de Dois A 2 n 1 a n 1 n 2 i 0 2 i a i Para números inteiros positivos, a n-1 = 0 O número 0 é tratado como um número inteiro positivo Usada para representar números na faixa -2 n 2 n -1 Usada quase universalmente para representar números inteiros dentro do µp 10

11 Representação em Complemento de Dois Decimal S-M C Decimal S-M C

12 Representação em Complemento de Dois Conversão complemento de 2 decimal = -125 Conversão decimal complemento de =

13 Representação em Complemento de Dois Às vezes é desejável converter a representação de um número inteiro com n bits para sua representação com m bits, onde m > n Na representação sinal-magnitude, isso pode ser feito facilmente Basta mover o bit de sinal para a posição mais à esquerda e preencher as demais posições novas com 0 13

14 Representação em Sinal-Magnitude Exemplos: +18 = (s-m, 8 bits) +18 = (s-m, 16 bits) -18 = (s-m, 8 bits) -18 = (s-m, 16 bits) Esse procedimento não funciona para números inteiros negativos representados em complemento de dois 14

15 Representação em Complemento de Dois Exemplos: +18 = (c-2, 8 bits) +18 = (c-2, 16 bits) -18 = (c-2, 8 bits) = (c-2, 16 bits) A regra é mover o bit de sinal para a posição mais à esquerda e preencher as demais com valor igual ao bit de sinal 15

16 Representação em Complemento de Dois Exemplos: +18 = (c-2, 8 bits) +18 = (c-2, 16 bits) -18 = (c-2, 8 bits) -18 = (c-2, 16 bits) 16

17 Representação em Complemento de Dois Negação Para representação s-m, basta inverter o valor do bit de sinal Para a representação em complemento de dois: Toma-se o complemento booleano de cada bit do número Adiciona-se 1 ao resultado 17

18 Representação em Complemento de Dois Exemplos: +18 = (c-2) Complemento booleano = = = (c-2) Complemento booleano = =

19 Representação em Complemento de Dois Casos especiais de negação 0 = (c-2) Complemento booleano = = 0 Bit vai um (carry in) - é ignorado 19

20 Representação em Complemento de Dois Casos especiais de negação (cont.) -128 = (c-2) Complemento booleano = = -128 Anomalia se deve ao fato que uma palavra de n bits pode conter 2 n representações distintas 2 n é um número par Sendo representados números positivos, negativos e o 0, a qtde de números positivos e negativos são 20 diferentes

21 Representação em Complemento de Dois Adição (a) (-7) + (+5) = (c) (+3) + (+4) = (e) (+5) + (+4) = +9 (overflow) (b) (-4) + (+4) = (d) (-4) + (-1) = (f) (-7) + (-6) = -13 (overflow) 21

22 Representação em Complemento de Dois Subtração (a) M = 2 = 0010 S = 7 = S = -7 = 1001 (+2) + (-7) = (c) M = -5 = 1011 S = 2 = S = -2 = 1110 (-5) + (-2) = (e) M = 7 S = -7 = S = 7 = 0111 (+7) + (+7) = 14 (overflow) (b) M = 5 = 0101 S = 2 = S = -2 = 1110 (+5) + (-2) = (d) M = 5 = 0101 S = -2 = S = 2 = 0010 (+5) + (+2) = (f) M = -6 = 1010 S = 4 = S = -4 = 1100 (-6) + (-4) = -10 (overflow) 22

23 Representação em Complemento de Dois 23

24 Representação em Complemento de Dois Hardware para adição e subtração 24

25 Representação em Complemento de Dois Multiplicação Complexa. Calcule produto parcial para cada dígito. Cuidado com o valor da casa (coluna). Some produtos parciais. 25

26 Representação em Complemento de Dois Exemplo de Multiplicação Nota: precisa de resultado com tamanho duplo. 26

27 Representação em Complemento de Dois Hardware para Multiplicação 27

28 Representação em Complemento de Dois Multiplicação de 1101 e

29 Representação em Complemento de Dois Fluxograma para Multiplicação 29

30 Representação em Complemento de Dois Multiplicando número negativos Isso não funciona! Solução 1: Converta para positivo, se for preciso. Multiplique como antes. Se sinais diferentes, negue a resposta. Solução 2: Algoritmo de Booth. 30

31 Representação em Complemento de Dois Fluxograma do algoritmo de Booth 31

32 Representação em Complemento de Dois Exemplo do algoritmo de Booth (7 x 3) Nota: É usado deslocamento aritmético para preservar o sinal 32

33 Representação em Complemento de Dois Exemplo do algoritmo de Booth para negativos 33

34 Representação em Complemento de Dois Divisão Mais complexa que a multiplicação. Números negativos são realmente maus! Baseada na divisão longa. 34

35 Representação em Complemento de Dois Divisão de inteiros sem sinal Quociente Divisor Dividendo Restos Parciais Resto 35

36 Representação em Complemento de Dois Divisão de inteiros sem sinal 36

37 Representação de Ponto Flutuante Usada para representar números muito grandes ou muito pequenos Para números decimais, usa-se a notação científica = 9,76 x , = 9,76 x Para números binários, temos: M B E Expoente Sinal Mantissa 37

38 Representação de Ponto Flutuante Um mesmo número pode ser várias representações em ponto flutuante 24 = 0,110 x 2 5 = 110 x 2 2 = 0,0110 x 2 6 Para simplificar as operações, é requerido que os números sejam normalizados,1 b b b b n E implícito Dígitos binários 38

39 Representação de Ponto Flutuante Sinal da mantissa 8 bits Expoente polarizado 32 bits 23 bits Significando o sinal é armazenado no primeiro bit da palavra o primeiro bit da significando verdadeira é sempre 1 - por isso não precisa ser armazenado o valor 127 é adicionado ao expoente verdadeiro, sendo o resultado denominado Expoente Polarizado Exemplos: = 0, x = = -0, x = x 2-28 = 0, x = x 2-28 = -0, x =

40 Representação de Ponto Flutuante Intervalos de representação para 32 bits: Números negativos: [-( ) x 2 128, -0,5 x ] -( ) x = ,5 x = Números positivos: [0,5 x 2-127, ( ) x ] 0,5 x = ( ) x =

41 Representação de Ponto Flutuante Overflow em Números Negativos Overflow em Números Positivos Números inteiros representáveis Underflow em Números Negativos Underflow em Números Positivos Overflow em Números Negativos Overflow em Números Positivos Números negativos representáveis Números positivos representáveis -( ) x ,5 x ,5 x ( ) x

42 Representação de Ponto Flutuante O underflow é menos crítico que o overflow, pois o valor pode ser aproximado para 0 Não há, à princípio, representação para 0 Na verdade, há um padrão de bits especial para representação do 0 O número máximo de valores distintos representáveis continua sendo 2 32 A representação em ponto flutuante apenas divide esses valores em duas faixas 42

43 Representação de Ponto Flutuante Há uma relação estreita entre os tamanhos dos campos reservados ao significando e ao expoente Para um tamanho fixo de palavra: Se o número de bits reservados ao significando aumentar, aumenta-se a precisão, mas diminui-se a faixa de valores representáveis Se o número de bits reservados ao expoente aumentar, aumenta-se a faixa de valores representáveis, mas diminui-se a precisão 43

44 Representação de Ponto Flutuante Padrão IEEE bits 23 bits Formato Simples Expoente polarizado Significando Sinal do significando 11 bits 32 bits 52 bits Formato Duplo Expoente polarizado Significando Sinal do significando 64 bits 44

45 Representação de Ponto Flutuante Valores especiais definidos no IEEE 754 Sinal Expoente Polarizado Formato Simples Formato Duplo Mantissa Valor ou NaN 45

46 Representação de Ponto Flutuante Parâmetros do formato IEEE 754 Parâmetro Formato Simples Formato Duplo Tamanho da palavra Tamanho do expoente 8 11 Polarização do expoente Expoente máximo Expoente mínimo Tamanho da mantissa Número de expoentes Número de mantissas Número de valores 1,98 x ,99 x

47 Referências STALLINGS, W. Arquitetura e organização de computadores: projeto para o desempenho. 8. ed. Prentice Hall, DELGADO, J.; RIBEIRO, C. Arquitetura de Computadores. 2 ed. LTC, PATTERSON, D. A. ; HENNESSY, J.L. Organização e projeto de computadores a interface hardware software. 3. ed. Editora Campus,