Sistemas de Computação

Transcrição

1 Sistemas de Computação Práticas Laboratoriais Semana 2 Prof. Bruno Medeiros Prof. Antonio Pina

2 Sumário Sistemas de numeração e conversão de bases Operações aritméticas e lógicas em base 2 Representação binária de valores positivos e negativos Sinal e amplitude Complemento para 1 Complemento para 2 Representação por excesso

3 Sistemas de numeração Os números podem ser representados em diferentes sistemas de numeração Humanos, normalmente usam um sistema de numeração em base 10 Os computadores, por serem dispositivos elétricos utilizam dígitos binários (base 2), conhecidos por bits 0 sem corrente 1 com corrente

4 Sistemas de numeração Conceito de ordem e base Exemplo : A base determina o número de dígitos que podem ser utilizados Base dígitos (0..9) Base 2 2 dígitos (0, 1) Base dígitos (0.. 9, A.. F) A ordem é a posição de um dado dígito no número

5 Conversões entre bases (base b para base decimal) A conversão de um número numa base b para a base decimal obtém-se somando os resultados da multiplicação de cada dígito pela base elevada à ordem do dígito Exemplos: Conversão de base b para decimal (base 6) = 1 * * * * 6 0 = (base 2) = 1 * * * * * * * * * 2-3 =

6 Conversões entre bases (base decimal para base b) Na conversão de um numero na base decimal para uma base b, o processo mais direto é composto por duas partes Divisão sucessivas da parte inteira do número pela respectiva base, sendo os restos obtidos os dígitos a usar da base b Multiplicação sucessiva da parte fraccionária desse número pela respectiva base, sendo a parte inteira de cada um dos produtos, os dígitos da base b

7 Exemplo: decimal -> binário è /2 = 117 Resto = 1 117/2 = 58 Resto = 1 58/2 = 29 Resto = 0 29/2 = 14 Resto = 1 14/2 = 7 Resto = 0 7/2 = 3 Resto = 1 3/2 = 1 Resto = 1 1/2 = 0 Resto = * 2 = 0.75 P. Int. = * 2 = 1.5 P. Int. = * 2 = 1.0 P. Int. = 1

8 Subtrações sucessivas Processo de conversão de decimal para outra base Método mais rápido do que o anterior Necessita que se saiba a tabuada das potências de 2 Como converter de decimal para binário Procura-se a maior potência de 2 imediatamente inferior ao valor do número decimal e subtrai-se essa potência ao nº decimal O expoente da potência indica que o número binário teria o bit 1 nessa ordem Com o resultado da subtração repete-se o processo até chegar ao resultado 0

9 Tabuada das potências de = = = = = = = = 1024 (1 k) 2 4 = = = = = 2 10 * 2 10 = 1 Mega

10 Subtrações sucessivas Exemplo = = = = = = =

11 Número de bits Os processadores utilizam um determinado número de bits para representar um número A quantidade de bits utilizados determina a gama de valores representáveis Para uma base b com n dígitos a gama de valores representáveis é b n Sendo n o número de bits utilizados, a gama de valores representáveis em binário usando n bits é 2 n

12 Base hexadecimal Nor malmente usada como alternativa de representação de valores binários Conversão fácil entre hexadecimal e binário Facilita a leitura e diminui a probabilidade de erro Exemplo para hexadecimal 4312 / 16 = 269 Resto = / 16 = 16 Resto = 13 (digito D) 16 / 16 = 1 Resto = 0 1 / 16 = 0 Resto = 1 Logo, = 10D8 16

13 Porque Hexadecimal? Fácil converter entre hexadecimal e binário Hexadecimal utiliza 16 dígitos (0,1,..,9, A, B, C, D, E, F) em que cada dígito representa um valor entre 0 e 15 Cada conjunto de 4 bits representa também um valor no mesmo intervalo Como tirar partido desta característica? Na conversão de binário para hexadecimal podemos agrupar os bits em grupos de 4, a partir do ponto binário, e converte-los para hexadecimal De hexadecimal para binário, converte-se cada dígito hexadecimal em binário usando 4 bits

14 Hexadecimal Exemplos : conversão entre hexadecimal e binário 2 A F (hexadecimal) (binário) 2AF 16 = (binário) D 5 B = D5B 16 (ou 0xD5B ou 0xd5b)

15 Operações aritméticas em base 2 Adição binária Regras = = = = 0 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) Exemplo

16 Subtração binária Regras 0 0 = = 1 (e pede emprestado 1 para o dígito de ordem superior) 1 0 = = 0 Exemplo

17 Multiplicação binária Regras 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Exemplo x Mesmo método do que o utilizado em decimal A divisão binária também utilizada o mesmo método utilizado em decimal com deslocamentos e subtrações

18 Números negativos Como representar o sinal negativo? Existe uma grande variedade de opções, das quais se destacam 4 Sinal e amplitude/magnitude (S+M) Complemento para 1 Complemento para 2 Notação em excesso

19 Sinal e amplitude Utiliza um bit para representar o sinal, o bit mais à esquerda 0 representa valor positivo 1 representa valor negativo Problema desta representação é de que as adições não podem usar o método tradicional utilizado no decimal. O que dificulta a sua implementação ao nível do hardware

20 Complemento para 1 Nesta representação invertem-se todos os bits de um número para representar o seu complementar Assim se converte um valor positivo em negativo, e vice-versa Quando o bit mais à esquerda é 0, esse valor é positivo, se for 1, então é negativo. Exemplo = (com 8 bits) Invertendo todos os bits =

21 Complemento para 2 O problema do complemento para 1 é o facto de existirem 2 p adrões d e b its p ara o 0. Nomeadamente 0 10 = = Solução : representar os números em complemento para 2 Para determinar o negativo de um número negamse todos os seus bits e soma-se uma unidade. Uma forma mais rápida de calcular o complemento para 2 consistente em Fixar o primeiro bit a 1 a contar da direita para a esquerda, e inverter os restantes bits

22 Complemento para 2 Exemplo = (com 8 bits) Invertendo todos os bits: Somando uma unidade: = = ou num só passo: >

23 Complemento para 2 Características O bit da esquerda indica o sinal O processo anterior serve para converter um número positivo para negativo e de negativo para positivo O zero tem uma única representação: todos os bits a 0 A gama de valores que é possível representar com n bits é -2 n-1. 2 n-1 1 Para n = 4 bits =

24 Complemento para 2 Exemplo: Qual é o valor em decimal do binário utilizando 8 bits? Como o bit à esquerda é 1 este número é negativo Invertendo todos os bits Somando uma unidade: = = Logo : =

25 Complemento para 2 Como é que se converte um número representado em complemento para 2 com n bits, para um número representado com mais bits? Resposta : Extensão do sinal! Exemplo Representar os seguintes números (de 8 bits) para 16 bits): => (positivo) => (negativo)

26 Divisões e multiplicações por potências de 2 Multiplicação por potências de 2 deslocamento de bits para a esquerda Divisão por potências de 2 Deslocamento de bits para a direita Exemplos Dividir (= ) por 4 Deslocar à direita 2 vezes (2 2 = 4) = Multiplicar (= ) por 8 Deslocar à esquerda 3 vezes (2 3 = 8) = 80 10

27 Notação em excesso Tem uma vantagem sobre todas as outras referidas O valor em binário com todos os bits a 0 representa o menor valor inteiro, quer este tenha sinal ou não O valor em binário com todos os bits a 1 representa o maior valor inteiro, com ou sem sinal Como o próprio nome indica, esta codificação de um inteiro (negativo ou positivo) em binário com n bits é sempre feita em excesso (de 2 n-1 ou 2 n-1-1)

28 Notação em excesso No exemplo com 8 bits, o valor é representado em binário, em notação por excesso de 2 n-1, pelo valor ( excesso = = = )

29 Diferenças entre os 4 modos

30 Operações Aritméticas em Complemento para 2 Uma das vantagens do complemento para 2 é que podemos somar e subtrair 2 números sem ter que separar os bits de sinal Se o resultado da operação aritmética for demasiado grande (positiva ou negativa) para caber no grupo de bits utilizado então ocorre overflow.

31 Somar valores com sinais diferentes Nesta situação nunca ocorre overflow Usar a regra da soma e descartar o carry out bit Exemplo 1): utilizando 8 bits (+3) (-8) (-5)

32 Somar valores com sinais diferentes Exemplo 2) -5 + (-2) (-2) (-5) (-7) > Descartar o carry out bit.

33 Overflow na Soma Se 2 números em complemento para 2 são somados e ambos tiverem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), então overflow ocorre só e somente só quando o resultado tem um sinal oposto Regra do overflow na soma em compl. 2 (+ A) + (+ B) = -C => overflow (- A ) + (- B) = +C => overflow

34 Overflow na soma Exemplo : Usando 2 valores em complemento para 2 com 4 bits ( [-8, +8[ ) 1001 (-7) (-6) => Overflow

35 Subtração em Compl. 2 Normalmente, negamos o que queremos subtrair e aplicamos a soma. Qualquer carry out é descartado. Exemplo : +8 - (+5) usando 8 bits 5 10 = = (em comp. para 2) +8 (+5) = +8 + (-5) (+8) (-5) (+3) => descartar o carry-out

36 Overflow nas subtrações Se 2 números em complemento para 2 são subtraídos e os seus sinais são opostos, então ocorre overflow se e só se o resultado tem o mesmo sinal do valor que estamos a subtrair Overflow ocorre se: (+A) (-B) = -C (-A ) (+B) = +C

37 Overflow na subtração Exemplo: +7 (-6) com 4 bits em compl. para 2 ([-8,+8[) = (-6) =

38 Sumário: Aritmética Comp. 2 Soma Somar os valores e descartar o carry- out bit. Subtração Negar o valor a subtrair, somar e descartar o carry out Overflow: Somar 2 valores positivos e o resultado é negativo Somar 2 valores negativos e o resultado é positivo Somar 2 valores de sinais diferentes não causa overflow.

39 TPC O enunciado do TPC1 que está na página deve ser impresso e levado obrigatoriamente para as sessões das próximas aulas Teórico Práticas Ver material de apoio

40 Referências Material de apoio do Prof. Alberto Proença - Universidade do Minho RepresNum_Mar04.pdf Problemas com Sinal e Magnitude ass08_13.html Bernardo Nunes Gonçalves - Universidade Federal do Espirito santo Aritmetica Binaria e Complemento a Base material/ I n t r o d u c a o _ a _ C o m p u t a c a o / Aritmetica_binaria_Complemento.pdf