Sistemas de Computação. Sistemas de numeração

Transcrição

1 Fig. 1.2 Sistemas de numeração Fevereiro, 2012 Prof. Doutor Félix Singo Eng. Jorge Munguambe

2 Sistemas de Numeração Desde sempre o homem teve necessidade de efectuar cálculos! Os sistemas de numeração tem por objectivo prover símbolos e convenções para representar quantidades, de forma a registar a informação quantitativa e poder processá-la

3 Na Antiguidade: Sistemas de Computação Na antiguidade, foram criadas duas formas de representar quantidades. Inicialmente, os egípcios criaram um sistema em que cada dezena era representada por um símbolo diferente. Usando por exemplo os símbolos para representar uma centena, # para representar uma dezena representando uma unidade, teríamos que &@ representaria 211.

4 O sistema de numeração romano Aqui eram usados símbolos (letras) que representavam as quantidades como por exemplo: I valendo 1, V valendo 5, X valendo 10, C valendo 100, etc. Assim, a quantidade 126 era representada por CXXVI = = 126. Por outro lado, a quantidade 94 era representada por XCIV = (-1+5) = 94.

5 Base de um Sistema de Numeração É a quantidade de algarismos disponível na representação A base 10 é hoje a mais usada, embora não seja a única existente Na Mercenaria pedimos uma dúzia de ovos, Na Ferragem pedimos uma grosa de parafusos (base 12) e Também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60). Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) Os programadores usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 2 4 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou Eventualmente ainda 2 3 (base 8 ou sistema octal).

6 Sistema decimal (Base 10) Utiliza-se dez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Os valores de posição começam por 1 para o último dígito da direita e aumentam no factor 10 cada vez que nos deslocamos uma casa para a esquerda. valor total de um n calcula-se multiplicando cada dígito pelo seu valor posicional e somando todos estes produtos.

7 Sistema Binário (Base 2) Repr.Binária Potência Repr.Decimal Usa dois dígitos : 0 e 1 ; Os valores de posição começam por 1 para o último dígito da direita e aumentam no factor 2 cada vez que nos deslocamos uma casa para a esquerda

8 Sistema Octal (Base 8) O sistema Octal tem o 8 como base e, portanto, usa oito dígitos. Usa-se 8 dígitos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Os valores de posição começam por 1 para o último dígito da direita e aumentam no factor 8 cada vez que nos deslocamos uma casa para a esquerda. Assim, o n Octal (327) Logo (327) 8 = (215)

9 Sistema Hexadecimal (Base 16) O sistema de numeração hexadecimal usa 16 dígitos Usa 16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Os valores de posição começam por 1 para o último dígito da direita e aumentam no factor 16 cada vez que nos deslocamos uma casa para a esquerda. Assim, o hexadecimal (2A4) Logo (2A4) 16 = (676) 10 2 A 4

10 Generalizando Sistemas de Computação Representa-se uma quantidade N qualquer, numa dada base b, como segue: N b = a n.b n a 1.b 1 + a 0.b 0 + a -1.b -1 + a -2.b a -n.b -n Sendo que a n.b n a 2.b 2 + a 1.b 1 + a 0.b 0 é a parte inteira e a -1.b -1 + a -2.b a -n.b -n é a parte fraccionária

11 Conversão entre bases A conversão de um número escrito na base b para a base decimal obtém-se multiplicando cada dígito pela base b elevada à ordem do dígito, e somando todos estes valores. Exemplo: (base 6) 1* * * *6 0 = (base 10) 1* * * * * *10-2 = (base 13) 1* * * *13 0 = (base 2) 1* * * * * * * * *2-3 =

12 Conversão entre bases Na conversão de um número na base decimal para uma base b, o processo mais directo é composto por 2 partes: divisão sucessiva da parte inteira desse número pela respectiva base, os restos obtidos com cada uma dessas divisões, os dígitos da base b (a começar com o menos significativo, i.e., mais junto ao ponto decimal) e os quocientes a usar na sucessão de divisões;

13 Conversão entre bases Multiplicação sucessiva da parte fraccionária desse número pela respectiva base, sendo A parte inteira de cada um dos produtos obtidos, os dígitos da base b (a começar com o mais significativo, i.e., mais junto ao ponto decimal), e A parte decimal a usar na sucessão de multiplicações.

14 Exemplo Sistemas de Computação /2 = 117 Resto = 1 /* bit menos significativo int*/ 117/2 = 58 Resto = 1 58/2 = 29 Resto = 0 29/2 = 14 Resto = 1 14/2 = 7 Resto = 0 7/2 = 3 Resto = 1 3/2 = 1 Resto = 1 /* bit mais significativo int*/ 0.375*2 = P. int. = 0 /* bit mais significativo frac*/ 0.75*2 = 1.5 P. int. = 1 0.5*2 = 1.0 P. int. = 1 /* bit menos significativo frac*/ =

15 Exercícios Um computador representa os números reais no sistema denominado aritmética de ponto flutuante(floating Point). Represente em Ponto Flutuante os seguintes números reais. (57,683) 10 (0, ) 10 (0, ) 2

16 Exercícios Dê a representação dos números a seguir num sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos para β = 10. x Arredondamento Truncamento Mantissa Expoente