Arquitetura de Computadores

Transcrição

1 Engenharia da Computação Universidade Católica de Petrópolis Arquitetura de Computadores Sistema de Numeração v. 0.1 Luís Rodrigo de O. Gonçalves Petrópolis, 1 de Março de 2016

2 Content 1 Introdução Definição Base de Numeração Sistema Posicional e Não Posicional Sistemas de Numeração Sistema Binário Conversão de Binário para Decimal Conversão de Decimal para Binário Sistema Octal de Numeração Conversão de Octal para Decimal Conversão de Decimal para Octal Conversão de Octal para Binário Conversão de Binário para Octal Sistema Hexadecimal de Numeração Conversão de Hexadecimal para Decimal Conversão de Decimal para Hexadecimal Conversão de Hexadecimal para Binário Conversão de Binário para Hexadecimal Exercícios

3 Introdução

4 Definição 2 Os sistemas numéricos foram criados com o objetivo de representar quantidades relacionadas às observações. Tais sistemas foram desenvolvidos por meio: 1. de símbolos/caracteres; 2. do estabelecimento de regras para a sua representação gráfica.

5 Base de Numeração 3 O número de caracteres que define um sistema é chamado de base ou raiz do sistema. Para representarmos a base, devemos posicionar à direita do caractere menos significativo, o valor que a representa a base como subscrito Por exemplo: Que representa o algarismo dezesseis na base 10.

6 Base de Numeração 4 Os sistemas de numeração que iremos estudar são: Decimal:. 1. Sistema de numeração que mais utilizamos; 2. Possui base 10, 3. Logo seus algarismos são compostos pelos caracteres 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;

7 Base de Numeração 4 Os sistemas de numeração que iremos estudar são: Decimal:. Binário:. 1. Sistema de numeração que mais utilizamos; 2. Possui base 10, 3. Logo seus algarismos são compostos pelos caracteres 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9; 1. Sistema básico de numeração utilizado pelo computadores 2. Utiliza base 2 3. Seus algarismos válidos são: 0 e 1

8 Introdução 5 Octal:. 1. Este sistema evoluiu do anterior; 2. Permite uma compactação na representação das informações; 3. Faz uso dos caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7;

9 Introdução 5 Octal:. 1. Este sistema evoluiu do anterior; 2. Permite uma compactação na representação das informações; 3. Faz uso dos caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7; Hexadecimal :. 1. Necessidade de mais dígitos para representar as informações promoveu o surgimento desta base; 2. Realiza uma maior compactação da representação dos dados. 3. Faz uso dos caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F; 4. As seis primeiras letras maiúsculas do alfabeto são equivalentes aos decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15.

10 Introdução 6 Além das bases citadas, outras podem ser desenvolvidas e utilizadas para a representação de informações e valores; Todavia as anteriores são as mais utilizadas na área de computação.

11 Sistema Posicional e Não Posicional 7 Sistema não posicional - Romano Um exemplo de sistema não posicional é o Romano Ele é constituído por um conjunto de 7 algarismos diferentes, Cada um representando um valor fixo Independente de sua posição relativa no número. Neste sistema, não há símbolo representativo para o zero

12 Sistema Posicional e Não Posicional 8 Sistema não posicional Romano Os números são definidos da esquerda para a direita e seus valores são obtidos segundo regras simples: 1. Cada algarismo colocado à direita de um maior ou igual, é adicionado a este; 2. Cada algarismo colocado à esquerda de outro maior tem seu valor subtraído do maior; 3. Os sete algarismos válidos são: I, V, X, L, C, D, M

13 Sistema Posicional e Não Posicional 9 Sistema posicional No sistema posicional, os algarismos que constituem um número assumem valores diferentes, dependendo de sua posição relativa. O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo. Ou seja, a posição do algarismo determina seu valor.

14 Sistema Posicional e Não Posicional 10 Sistema posicional O valor absoluto do algarismo é modificado conforme a posição do mesmo, sendo crescente quando ele se desloca da direita para a esquerda. Dentre os sistemas de numeração posicional destacam-se o sistema binário, octal, decimal e hexadecimal.

15 Sistema Posicional e Não Posicional 11 Sistema posicional Seja o número 1502, representado na base 10 e escrito da seguinte forma Ele é composto de quatro algarismos 1, 5, 0 e O primeiro algarismo mais a direita representa 2 ( 2x10 0 ) unidades, 3. O segundo algarismo ( 0 ) representa 0 ( 0x10 1 ) unidades, 4. O terceiro ( 5 ) representa 500 ( 5x10 2 ) unidades 5. O quanto algarismo ( 1 ) representa 1000 ( 1x10 3 ) unidades.

16 Sistema Posicional e Não Posicional 12 Sistema posicional De forma geral, um número X qualquer é expresso da seguinte forma: X = d n 1 b n 1 + d n 2 b n d 1 b 1 + d 0 b 0 Onde : d : indica cada algarismo do número; n 1, n 2, 1, 0: indicam o índice/posição de cada algarismo; b : indica a base; n : indica a quantidade de dígitos; O valor total do número é obtido através da soma dos n valores, cada qual expressando o valor relativo do algarismo correspondente.

17 Decimal - Binário - Octal - Hexadecimal

18 Sistema Binário de Numeração 13 Composto por apenas dois algarismos: o 0 (zero) e o 1 (um).

19 Sistema Binário de Numeração 13 Composto por apenas dois algarismos: o 0 (zero) e o 1 (um). Representamos a quantidade zero utilizando o algarismo (0) Representamos a quantidade um utilizando o algarismo (1).

20 Sistema Binário de Numeração 13 Composto por apenas dois algarismos: o 0 (zero) e o 1 (um). Representamos a quantidade zero utilizando o algarismo (0) Representamos a quantidade um utilizando o algarismo (1). Mas para representarmos a quantidade dois (2), por exemplo, utilizamos o algarismo um seguido do zero, ou seja 10.

21 Sistema Binário de Numeração 13 Composto por apenas dois algarismos: o 0 (zero) e o 1 (um). Representamos a quantidade zero utilizando o algarismo (0) Representamos a quantidade um utilizando o algarismo (1). Mas para representarmos a quantidade dois (2), por exemplo, utilizamos o algarismo um seguido do zero, ou seja 10. Neste caso: O algarismo 1 significará que temos um grupo de dois elementos E o 0 um grupo de nenhuma unidade, Representando assim o valor dois.

22 Sistema Binário de Numeração 14 Na tabela ao lado temos a representação dos 16 primeiro números decimais; A primeira contem o valor na base decimal; A segunda o valor na base binária. Decimal Binário

23 Conversão de Binário para Decimal 15 O processo de conversão entre estas duas bases é bem simples, basta seguir os passos descritos na equação abaixo: X = d n 1 b n 1 + d n 2 b n d 1 b 1 + d 0 b 0 (1) Sendo que, a base em vez de ser a letra b será o valor 2.

24 Conversão de Binário para Decimal 15 O processo de conversão entre estas duas bases é bem simples, basta seguir os passos descritos na equação abaixo: X = d n 1 b n 1 + d n 2 b n d 1 b 1 + d 0 b 0 (1) Sendo que, a base em vez de ser a letra b será o valor 2. Por exemplo, dado o número ; qual o valor correspondente na base 10, ou seja : X 10 Decompondo o número binário temos que: X = (2) X = (3) X = (4) X = (5)

25 Conversão de Binário para Decimal 16 Outra maneira de realizar esta conversão é utilizando uma tabela, que contem os valores relativos de cada algarismo: Casa Numérica Peso Valor Relativo Binário Tabela: Conversão de Binario para Decimal

26 Conversão de Binário para Decimal 17 Como exemplo, realizaremos a conversão do número para base 10, neste caso, teríamos uma estrutura semelhante à tabela abaixo: Casa Numérica Peso Valor Relativo Binário Tabela: Conversao de para Decimal Somando os valores relativos de todos os números iguais a um (1) temos : =

27 Conversão de Binário para Decimal 18 Para realizar a conversão de decimal para binário, devemos dividir o número sucessivamente por dois (2) Até que o resto da divisão dê 0 ou 1; Como estes são menores do que a base, ou seja 2, eles não precisam ser divididos novamente.

28 Conversão de Binário para Decimal 18 Para realizar a conversão de decimal para binário, devemos dividir o número sucessivamente por dois (2) Até que o resto da divisão dê 0 ou 1; Como estes são menores do que a base, ou seja 2, eles não precisam ser divididos novamente. Para formar o novo número, em binário, basta obter o resto de cada divisão, do último para o primeiro. Desta forma, o último resto será o primeiro dígito do nosso número em binário.

29 Conversão de Binário para Decimal 19 Por exemplo, podemos converter o número para o correspondente na base 2.

30 Conversão de Binário para Decimal 19 Por exemplo, podemos converter o número para o correspondente na base 2. Realizando a divisões sucessivas obtemos: Figura: Conversão da base 10 para a base 2

31 Conversão de Binário para Decimal 19 Por exemplo, podemos converter o número para o correspondente na base 2. Realizando a divisões sucessivas obtemos: Figura: Conversão da base 10 para a base 2 Obtendo os restos da divisão do ultimo para o primeiro, temos que implica em

32 Conversão de Binário para Decimal 20 Dica Podemos concluir que a conversão da base 2 para a base 10 deve ser realizada por multiplicações e somas sucessivas, enquanto que a conversão de números da base 10 para a base 2 deve ser realizada através de divisões sucessivas seguida da serialização dos valores obtidos na forma de um número binário.

33 Sistema Octal de Numeração 21 Este sistema é uma evolução do binário; Permite realizar a compactação na representação dados; Foi largamente utilizado pois simplifica os processos de mapeamento de memórias de máquinas de 8 bits.

34 Sistema Octal de Numeração 21 Este sistema é uma evolução do binário; Permite realizar a compactação na representação dados; Foi largamente utilizado pois simplifica os processos de mapeamento de memórias de máquinas de 8 bits. O Octal é um sistema de numeração posicional formado por oito (8) símbolos válidos;

35 Sistema Octal de Numeração 21 Este sistema é uma evolução do binário; Permite realizar a compactação na representação dados; Foi largamente utilizado pois simplifica os processos de mapeamento de memórias de máquinas de 8 bits. O Octal é um sistema de numeração posicional formado por oito (8) símbolos válidos; Sendo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. E para representar valores maiores que sete (7) precisamos utilizar mais de um simbolo.

36 Conversão de Octal para Decimal 22 Para realizamos a conversão de um número na base 8 para o valos correspondente na base 10, devemos: 1. Multiplicar cada dígito do número por 8 elevado a posição da casa numérica do dígito ( d 8 n ) 2. Em seguida devemos somar o valor de cada uma destas multiplicações d d d d

37 Conversão de Octal para Decimal 23 Por exemplo, vamos pegar o número Utilizando o mesmo conceito aplicado à base binária, pegaremos cada dígitos do número Em seguida devemos multiplica-los pelo valor da base elevada à posição relativa do digito no número E finalmente devemos realizar ao soma dos valores relativos.

38 Conversão de Octal para Decimal 24 A figura abaixo, representa, o processo descrito anteriormente. Figura: Conversão da base 8 para a base 10 E como podemos observar, o valor convertido para a base 10 é

39 Conversão de Decimal para Octal 25 Para realizar a conversão de Decimal para Octal, basta dividir o número sucessivamente por oito (8) Até que o resto da divisão seja menor do que oito (8); Como este número não pode ser novamente dividido, chegamos ao ponto desejado. Para formar o novo número em Octal basta pegar o resto do último para o primeiro Ou seja o último resto será o primeiro dígito do nosso número em Octal.

40 Conversão de Octal para Decimal 26 Por exemplo, se pegarmos o valor 92 10, e realizarmos o processo descrito anteriormente teremos algo semelhante ao apresentado na figura a seguir:. Figura: Conversão da base 10 para a base 8 Desta forma, como se pode observar na figura acima o resultado da conversão de base é

41 Conversão de Octal para Binário 27 No processo de conversão de valores da base oito para a base dois, cada algarismo do número em octal é ser convertido para binário formando um novo número com 3 dígitos de tamanho. Isto se deve fato de que, o maior número representativo da base octal com apenas um dígito é o valor 7; Que ao ser convertido para binário se torna 111.

42 Conversão de Octal para Binário 28 Na figura abaixo temos um exemplo de conversão do numero 7 8 para binário. Figura: Conversão da base 8 p/ a base 2 Podemos observar, que o resultado da versão é ;

43 Conversão de Octal para Binário 29 Perceba que o 7 8 é o maior valor representável em octal, com apenas um dígito, e ao converte-lo foram gasto 3 dígitos Logo, para representar os demais valores também serão gastos no máximo estes mesmo 3 dígitos. Por este motivo, que cada dígito do número em octal gera 3 dígitos do número em binário. Figura: Conversão da base 8 p/ a base 2

44 Conversão de Octal para Binário 30 Para facilitar o processo de conversão podemos utilizar a tabela ao lado, que a apresenta as conversões dos números formados por apenas um dígito da base octal para binário. Octal Binario Tabela: Conversão Octal para Binário

45 Conversão de Octal para Binário 31 Utilizando as informações da tabela anterior, podemos facilmente converter o número para binário.

46 Conversão de Octal para Binário 31 Utilizando as informações da tabela anterior, podemos facilmente converter o número para binário. Primeiro, vamos separar os dígitos a serem convertido Octal Binário Tabela: Octal para Binário - Passo 1

47 Conversão de Octal para Binário 32 No próximo passo, verificamos os valores correspondentes em binário, para cada dígito o número em octal.

48 Conversão de Octal para Binário 32 No próximo passo, verificamos os valores correspondentes em binário, para cada dígito o número em octal. Octal Binário Tabela: Octal para Binário - Passo 2

49 Conversão de Octal para Binário 33 Agrupando os valores obtidos, temos que: Dica: Octal Binário Caso quantidade de dígitos do número convertido em binário for menor do que 3, complemente este número com zeros a esquerda até que o seu tamanho, em dígitos, seja igual a 3.

50 Conversão de Binário para Octal 34 Assim como no caso anterior, existe uma regra prática que auxilia o processo de conversão de binário para octal, esta consiste em: 1. Separar o número binário em grupos de 3 dígitos 2. Em seguida estes conjuntos serão convertidos, para um número entre 0 à 7, como segundo tabela ao lado 3. Finalmente os dígitos são reagrupados formando o número em binário Binário Octal Tabela: Conversão de Binário p/ Octal

51 Conversão de Binário para Octal 35 Vamos a um exemplo; converta , para octal. Inicialmente devemos separar o número em grupos de 3 dígitos ou seja:

52 Conversão de Binário para Octal 35 Vamos a um exemplo; converta , para octal. Inicialmente devemos separar o número em grupos de 3 dígitos ou seja: Utilizando-se da tabela anterior, temos que:

53 Conversão de Binário para Octal 35 Vamos a um exemplo; converta , para octal. Inicialmente devemos separar o número em grupos de 3 dígitos ou seja: Utilizando-se da tabela anterior, temos que:

54 Conversão de Binário para Octal 35 Vamos a um exemplo; converta , para octal. Inicialmente devemos separar o número em grupos de 3 dígitos ou seja: Utilizando-se da tabela anterior, temos que: Logo,

55 Sistema Hexadecimal 36 Este sistema simplifica os processo de mapeamento de memórias de máquinas digitais de 4, 8 e 16 bits. A tabela ao lado representa a conversão dos valores Hexadecimal, de 0 à F, para Decimal. Decimal Hexadecimal A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F

56 Conversão de Hexadecimal para Decimal 37 Para realizar esta conversão multiplique cada dígito do número por 16 elevado a posição da casa numérica do dígito. E em seguida devemos somar o valor de cada uma destas multiplicações, como na figura abaixo : Figura: Conversão da hexadecimal para decimal

57 Conversão de Decimal para Hexadecimal 38 Para realizar a conversão de Decimal para Hexadecimal basta dividir o número em decimal sucessivamente por dezesseis ( 16) Até que o resto da divisão seja menor do que dezesseis e como este número não pode ser novamente dividido, chegamos ao ponto desejado. Para formar o novo número, basta pegar os restos do último para o primeiro

58 Conversão de Decimal para Hexadecimal 39 Ou seja o último resto será o primeiro dígito do nosso número em Hexadecimal. Como pode ser observado na figura a seguir. Figura: Conversão de decimal para hexadecimal

59 Conversão de Hexadecimal para Binário 40 Cada algarismo do número em Hexadecimal dever ser convertido para Binário formando um novo número com 4 dígitos de tamanho; O maior número representativo da base Hexadecimal com apenas um dígito é o numeral F, que representa 15(10) Este valor quando convertido para binário se torna o numeral "1111" Logo, se para representar o maior número foram gastos 4 dígitos, para os demais serão utilizados, no máximo, estes mesmo 4 dígitos.

60 Conversão de Hexadecimal para Binário 41 Um exemplo desta conversão pode ser observado na figura abaixo: Figura: Conversão da hexadecimal para binário

61 Conversão de Hexadecimal para Binário 42 A tabela ao lado pode ser utilizada para facilitar esta conversão Dec. Hexa. Binário A B C D E F 1111

62 Conversão de Hexadecimal para Binário 43 Convertendo 125C h para decimal. Conforme a regra acima: 1. Temos que converter cada algarismo em seu correspondente de 4 dígitos em binário 2. Logo:

63 Conversão de Hexadecimal para Binário 43 Convertendo 125C h para decimal. Conforme a regra acima: 1. Temos que converter cada algarismo em seu correspondente de 4 dígitos em binário 2. Logo: Ou seja: 1 h h h C h

64 Conversão de Hexadecimal para Binário 43 Convertendo 125C h para decimal. Conforme a regra acima: 1. Temos que converter cada algarismo em seu correspondente de 4 dígitos em binário 2. Logo: Ou seja: 1 h h h C h C h

65 Conversão de Binário para Hexadecimal 44 Neste caso, o binário deve ser separado em grupos de 4 dígitos Depois, estes conjuntos serão convertidos, cada um deles, para um número entre 0 à F. Desta forma, qual deve ser valor em hexadecimal do número abaixo?

66 Conversão de Binário para Hexadecimal 45 Seguindo a regra acima tem-se que:

67 Conversão de Binário para Hexadecimal 46 Utilizando a tabela de conversado: h h h C h

68 Conversão de Binário para Hexadecimal 46 Utilizando a tabela de conversado: h h h C h Logo: C h

69 Exercícios

70 Exercícios Sistema de Numeração 47 1) Converta os seguintes números, da base original para as demais bases de numeração. Valor Original Binário Octal Decimal Hexadecimal

71 Exercícios Sistema de Numeração 48 2) Converta os seguintes números, da base original para as demais bases de numeração. Valor Original Binário Octal Decimal Hexadecimal

72 Exercícios Sistema de Numeração 49 3) Converta os seguintes números, da base original para as demais bases de numeração. Valor Original Binário Octal Decimal Hexadecimal 50A H 7F4 H 1D40 H 5E0 H 1F H 2A H 1E76 H 15B2 H 17A H C7 H

73 Exercícios Sistema de Numeração 50 4) Converta os seguintes números, da base original para as demais bases de numeração. Valor Original Binário Octal Decimal Hexadecimal

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