Cálculo Numérico. Conjunto de métodos utilizados para a obtenção de resultados de problemas matemáticos através de aproximações.

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1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Cálculo Numérico Conjunto de métodos utilizados para a obtenção de resultados de problemas matemáticos através de aproximações Problema Físico Modelo Matemático Solução

3 Cálculo Numérico Conjunto de métodos utilizados para resolver PROBLEMAS FÍSICOS através de aproximações PROBLEMA Problema FÍSICO Físico Modelagem MODELO MATEMÁTICO Modelo Matemático Resolução SOLUÇÃO Solução

4 Cálculo Numérico Conjunto de métodos utilizados para resolver PROBLEMAS FÍSICOS através de aproximações PROBLEMA Problema FÍSICO Físico Modelagem MODELO MATEMÁTICO Modelo Matemático Resolução SOLUÇÃO Solução Conversão Arredondamento Truncamento...

5 ERROS

6 Erros na Resolução Fortemente influenciados pela precisão Relacionados à Representação numérica Máquinas com precisão diferente com mesmo software

7 Avaliando o Erro Sendo x a solução real(exata) de um dado problema e x o valor aproximado desta solução, obtido por um dado método mumérico, temos: Erro absoluto: x x. Erro relativo: x - x / x.

8 Representação Numérica Computadores possuem memória finita. O conjunto de números que os computadores podem representar é finito. Cada computador possui uma precisão numérica diferente. Esta precisão é dependente do hardware, sistema operacional, compilador, etc.

9 Representação Numérica O sistema convencional é o de base 10 (dígitos de 0 a 9). Computadores modernos usam a base numérica 2 (dígitos 0 e 1).

10 Mudança de Base Divisões sucessivas (5) 10 = (?) 2 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto Logo (5) 10 = (101) 2

11 Mudança de Base (17) 10 = (?) 2 17/2 = 8 resto 1 8/2 = 4 resto 0 4/2 = 2 resto 0 2/2 = 1 resto 0 Logo (17) 10 = (10001)

12 Mudança de Base 5,25 = 5 + 0,25 5 sabemos como resolver Mas e a parte decimal?

13 Mudança de base Multiplicações sucessivas 0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1,0 0,25 x 2 0,50 x 2 1,00 Logo (0,25) 10 = (0,01) 2 E (5,25) 10 = (101,01) 2

14 Mudança de Base Conversão de base 2 para base 10: (100) 2 = 1x x x2 0 =4+0+0 = (4) 10 (101) 2 = 1x x x2 0 =4+0+1 = (5) 10 (100,1) 2 = 1x x x2 0 +1x2-1 = = ,5 = (4,5) 10

15 Representação Numérica Computadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado ±0,c 1 c 2 c 3 c n x b e c n dígitos entre 0 e b-1 (mantissa). c 1 diferente de zero. b número natural (base). e número Inteiro (expoente).

16 Representação Numérica Devido à questão da memória finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parâmetros bem definidos durante o projeto Número de caracteres da mantissa (n) Valor da base (b) Valores e 1 e e 2 : expoentes menor e maior, respectivamente, do sistema e 1 < 0 e e 2 > 0 SPF(b,n,e 1,e 2 )

17 Representação Numérica NSPF(b,n,e 1,e 2 ) Menor número positivo: x 1 =(0,10...0)xb e 1 Maior número: x 2 = (0,[b-1][b-1]...[b-1])xb e 2 Quantidade de números representáveis: 2x(b-1)xb (n-1) x(e 2 -e 1 +1)+1

18 Representação Numérica -x 2 -x 1 x 1 x 2

19 Representação Numérica underflow overflow -x 2 -x 1 x 1 x 2 overflow

20 Representação Binária sinal mantissa Sinal do expoente expoente

21 Representação Binária sinal mantissa Sinal do expoente expoente Sinal 0 = positivo, 1 = negativo

22 Representação Numérica A distribuição dos números na reta real não é uniforme. Há concentração de números em trechos da reta.

23 Representação Numérica Considerando os seguintes parâmetros, por exemplo: b=2, n=3, e 1 =-1 e e 2 =2.

24 Representação Numérica Resultados de operações aritméticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre estão corretos

25 Representação Numérica Ainda com os parâmetros b=2, n=3, e 1 =-1 e e 2 =2.

26 Representação Numérica Propriedades aritméticas nem sempre são verificadas Suponha x 1 =0,3491x10 4, x 2 =0,2345x10 0 (x 2 +x 1 )-x 1 = x 2 + (x 1 -x 1 ) A propriedade só se mantém com máquinas de precisão maior do que 7 dígitos com truncamento

27 Representação Numérica Para somar x 1 e x 2 precisamos colocá-los na mesma base decimal x 1 =0,3491x10 4 x 2 =0,2345x10 0 =0, x10 4 Máquinas com precisão 7 ou menos não são capazes de representar x 2

28 Representação Numérica (x 2 +x 1 )-x 1 =(0, x ,3491x10 4 ) -0,3491x10 4 = (0, x10 4 ) -0,3491x10 4 = (0, x10 4 ) = 0,234x10 x 2 +(x 1 -x 1 )=0,2345x10+(0,3491x10 4-0,3491x10 4 ) = 0,2345x = 0,2345x10

29 Tipos de Erro de Precisão Arredondamento. Truncamento. Para o Número de máquina mais próximo.

30 Erros de arredondamento Os erros de arredondamento dependem de como os números são representados na máquina. A representação depende da base em que os números são escritos e da quantidade máxima de dígitos usados nessa representação. Logo, os cálculos envolvendo números que não podem ser escritos de modo finito na base escolhida geram erros.

31 Erros de arredondamento Arredondar um número na casa é d i desconsiderar as casas tal forma que: d i + j, j = 1, 2, 3,..., de d i d i seja a última casa se d + < seja a última casa se d + ³. i i 1 5

32 Erro por Truncamento São erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos. Calculo de séries infinitas. Sen(x) =x - x 3 /3! + x 5 /5! x 7 /7!...

33 Erro por truncamento Dizimas periódicas binárias. (0,1) 10 = (0, ) 2 Calculadora do Windows sqrt(2).

34 Conclusão: Erros devem ser evitados quando possível. Não sendo possível evitá-los: Não devem ser ignorados, Devem ser minimizados.