CÁLCULO NUMÉRICO (CN)

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1 CÁLCULO NUMÉRICO (CN) OBJETIVO: O estudo dos métodos de resolução numérica de problemas de matemática. 1. INTRODUÇÃO: A resolução de problemas envolve várias fases que podem ser assim estruturadas: Problema Real Levantamento de Dados Construção do Modelo Matemático Escolha do Método Numérico Adequado Implementação Computacional deste Método Análise dos Resultados Obtidos Se Necessário Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido realizadas corretamente. 1

2 2. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS: Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100m A c = r 2 Resultados Obtidos: a) A c = m 2 = 3,14 b) A c = m 2 = 3,1416 c) A c = 31415,92654m 2 = 3, Como justificar as diferenças entre os resultados? É possível obter exatamente esta área? Exemplo 2: Efetuar o somatório seguinte em uma calculadora e em um computador: S = x i para x i = 0,11 i=1 Resultados Obtidos: a) Na calculadora: S = 3300 b) No computador: S = 3299,

3 Como justificar as diferenças entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo computador? Os erros ocorridos nos dois problemas dependem da representação dos números na máquina utilizada. A representação de um número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação. O número, por exemplo, não pode ser representado através de um número finito de dígitos decimais. Em cada um deles (a, b e c) foi obtido um resultado diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximação escolhida para. Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida exatamente, uma vez que é um número irracional. Como neste exemplo, qualquer cálculo que envolva números que não podem ser representados através de um número finito de dígitos não fornecerá como resultado um valor exato. Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. Por isso, ( c ) é a melhor aproximação para o valor da área da circunferência. Além disso, um número pode ter uma representação finita em uma base e não- finita em outras bases. 3

4 3. INTERAÇÃO ENTRE O USUÁRIO E O COMPUTADOR Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e as operações todas serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos. 4. OS ERROS: ORIGENS Em computação numérica existem três fontes possíveis de erros: a. Nos dados: Os obtidos experimentalmente, através de medida, contêm erros inerentes. Tem origem na limitação dos instrumentos de medida. Exemplo: no caso de medidas de corrente e tensão num circuito elétrico, ou então podem ser dados resultantes de pesquisas ou levantamento, como no caso de dados populacionais obtidos num recenseamento. b. Nos métodos: Um método numérico é uma aproximação da solução de um problema de matemática. A aproximação eqüivale a truncar uma solução em série, considerando apenas um número finito de termos. 4

5 Por exemplo, e x = 1 + x + (x 2 / 2!) + (x 3 / 3!) + é o erro de truncamento c. No computador: Ao representar um número de d dígitos usando t < d dígitos comete-se um erro de arredondamento. Surge de duas formas: Conversão de base Operações aritméticas: multiplicando-se dois números x e y de t dígitos, o resultado precisa de 2t dígitos. Representando esse resultado com t dígitos comete-se um erro de arredondamento. 5. REPRESENTAÇÃO DE INTEIROS NO COMPUTADOR Os números utilizados no nosso dia a dia são baseados no sistema decimal. 5.1 NOTAÇÃO POSICIONAL BASE DECIMAL Um dos princípios de um sistema de numeração eqüivale ao emprego da Notação Posicional. Esse princípio determina que, cada algarismo dentro de um número assume dois valores. Um é o próprio valor do algarismo; o outro, é o valor da posição que ele ocupa, iniciando de 0, contado da direita para a esquerda. Vamos exemplificar o conceito: Dado o número (10), qual seria a 1 A representação da base 10 é facultativa. 5

6 posição de cada algarismo dentro do número e como ele seria representado? Como dito anteriormente, cada algarismo possui um valor de posição contado de 0 e da direita para a esquerda. Vejamos como ficaria a posição dos algarismos: Para verificar que número cada algarismo representa, devemos proceder da seguinte forma: x 10 0 = 9 Tomamos cada algarismo, multiplicamos pelo valor da base na qual estamos trabalhando elevada ao valor da posição do algarismo. E para cada algarismo, o procedimento se repete. Ao final, somamos os resultados das multiplicações e obtemos o número que o de origem representa. seria: x 10 0 = 9 4 x 10 1 = 40 3 x 10 2 = x 10 3 = Outra forma de esquematizar os cálculos para o exemplo acima (2 x 10 3 ) + (3 x 10 2 ) + (4 x 10 1 ) + (9 x 10 0 )

7 2349 nº 10 é chamado a base do sistema. Qualquer inteiro no sistema decimal pode ser expresso como um polinômio na base 10 com coeficientes inteiros que pertencem ao conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Estes símbolos são chamados de dígitos. O maior dígito no sistema decimal é 9 = b, em que b é a base. Dado um número Nb não negativo na base b é simples de obter o seu equivalente na base 10. n Basta utilizar Nb = (dndn-1 d1d0)b = d i b i. i = SISTEMA BINÁRIO b = 2 Dígitos = {0, 1} n Basta utilizar N2 = (dndn-1 d1d0)2 = d i 2 i, com d i = 0 ou d i = 1. i = 0 A maioria dos computadores utilizados em processamento científico opera internamente no sistema binário; Os usuários de computadores preferem trabalhar com o sistema decimal. (familiaridade) 6. CONVERSÃO DE BASE 5.1 CONVERSÃO DE BASE b NÃO DECIMAL PARA DECIMAL b =10 Para converter números de qualquer outro sistema para a o sistema decimal, basta utilizar o conceito da Notação Posicional visto no item 6.1. Ou seja, numerar cada algarismo, iniciando a contagem a 7

8 partir do 0 e numerando da direta para a esquerda, multiplicar cada algarismo individualmente pelo valor da base elevado ao valor da posição do algarismo DA BASE 2 PARA A BASE 10 Exemplo 1: (2) = (? ) (10) (1 x 2 4 ) + (0 x 2 3 ) + (1 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (0 x 2 0 ) = Exemplo 2: (2) = (? ) (10) = 22(10) (1 x 2 4 ) + (1 x 2 3 ) + (1 x 2 2 ) + (0 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ) = = 29(10) Exemplo 3: 11,01 (2) = (? ) (10) (1 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ) + (0 x 2 ) + (1 x 2 2 ) = ,25 = 3,25(10) 5.2 CONVERSÃO DE BASE DECIMAL PARA UMA BASE ARBITRÁRIA Utiliza-se o método das divisões sucessivas DA BASE 10 PARA A BASE 2 Exemplo 1: 45 (10) = (? ) (2) Exemplo 2: 27 (10) = (? ) (2) (10) = (2) 8

9 (10) = (2) PARA TRANSFORMAR UM NÚMERO FRACIONÁRIO NA BASE 10 PARA BASE 2 Método das multiplicações sucessivas: multiplicar o número fracionário por 2. Enquanto a parte posterior a vírgula não for nula, ignora-se a parte inteira e reinicia-se o processo. Exemplo1: 7,75 (10) = (? ) (2) Desmembramos o número em duas partes: parte inteira e parte fracionária 7,75 = 7 + 0,75 Parte inteira: divisões sucessivas (10) = 111 (2) Parte fracionária: método das multiplicações sucessivas 9

10 0, , 50 enquanto a parte posterior a vírgula não for nula, ignora-se a parte inteira e reinicia-se o processo. 0, 5 2 1, 0 0, 75 (10) = 0,11 7,75 (10) = (111,11) (2) Exemplo2: 0,11 (10) = (? ) (2) Resposta: 0, Logo 0,11 10 não tem representação finita no sistema binário. Supondo que um computador que trabalhe com apenas 6 dígitos na mantissa, o número 0,11 10 seria armazenado como 0, e este número representa 0, Portanto, todas as operações que envolvem o número 0,11 10 seriam realizadas com esta aproximação. OBS.: Embora sistema binário tenha uma série de vantagens para utilização em sistemas digitais, também apresenta algumas desvantagens. Uma delas requer um nº maior de bites para representação. Em outras palavras, requer maior espaço físico para armazenar o mesmo nº. Exemplo: Seja o nº binário = 2 12 = 4096 (10) São necessários cerca de 13 binários para representarmos o nº equivalente em decimal, o qual é escrito com apenas quatro dígitos. RELAÇÃO ENTRE O Nº DE DÍGITOS: log 2 2 N N 10 = 10 =10 0,3N, onde N corresponde o nº de dígitos na representação binária. Logo um nº binário requer aproximadamente 0,3N dígitos em decimais, que se reflete na maior necessidade de memória física dos computadores. 10

11 6. SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE Nos computadores, o processamento da informação é realizado em quantidades fixas, tendo como base uma unidade-padrão. Essa unidade recebe o nome de palavra, e o número de dígitos que compõe uma palavra é chamado de comprimento da palavra do computador. Atualmente, os computadores utilizam diferentes arquiteturas, que empregam palavras de comprimentos distintos. Os microcomputadores utilizam uma palavra de comprimento de 16 bites (dígitos binários), as estações de trabalho usam uma palavra de 32 bites e os supercomputadores usam palavras de comprimento de 64 bites, para a representação de números reais. Em um computador, apenas uma quantidade finita de números pode ser representada. Os números inteiros podem ser representados de forma exata, desde que o comprimento da palavra seja suficiente para o armazenamento de todos os seus dígitos. Por outro lado, os números reais não são completamente representados no computador. Dessa forma, erros surgem, em virtude da conversão numérica de um sistema de numeração para outro, em particular de decimal para binário como já vimos, ou mesmo devido a erros de arredondamentos, em virtude do comprimento finito da palavra do computador. As primeiras arquiteturas de computador empregavam uma representação de ponto fixo, em que, para cada operação, o usuário tinha que especificar quantos dígitos deveriam ser usados em uma palavra, para representar as partes inteiras e fracionárias de um 11

12 número real. Um dos problemas dessa arquitetura é a representação simultânea de números grandes e pequenos nesse sistema. Por exemplo, se tivermos um computador cujo comprimento da palavra é sete bites, e usarmos quatro dígitos para a parte inteira e três para a parte fracionária, o maior número representado por esse computador no sistema decimal será 9999,999, e o menor, 0000,001, respectivamente. Para possibilitar maior representatividade dos números, esse problema foi melhorado por meio da aritmética em ponto flutuante. 6.1 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE O computador representa um nº real x usando um modelo inspirado na notação científica. x = (.d 1 d 2 d t ) e, em que: a base utilizada na representação da mantissa (parte decimal de um logaritmo); t o nº de dígitos, na base, da mantissa, chamada precisão; 0 d j ( 1), j = 1, 2,, t, d 1 0 (normalização, para assegurar a unicidade na representação); m o menor expoente representável; M o maior expoente representável. Como dissemos, os nºs reais são representados no computador imitando a notação científica a e, armazenando a e e. Utiliza-se comumente a seguinte disposição: 12

13 s a s e e Sinal de a ou sinal da mantissa Valor da mantissa Sinal do expoente Valor do expoente ou característica Obs.: Em geral, a, e e s são contidos em uma palavra do computador. O conjunto dos nºs reais representáveis em ponto flutuante num computador é finito e interessa-nos saber quais são o menor e o maior positivo desse conjunto. Se o ponto decimal ficar a esquerda da mantissa fixados, t, m e M valem as seguintes relações: Menor positivo: = m 1 Maior positivo: = (1 t ) M Nº de elementos: N = 2( 1) t 1 (M m+1)+1 Exemplo1: Uma máquina que opera no sistema = 10, t = 3 e e [ 5, 5 ]. Encontre o menor e o maior nº em valor absoluto, representado nesta máquina. Como são representados os nºs nesse sistema? Solução: São representados: 0.d 1 d 2 d 3 10 e, e [ 5, 5 ]. Menor nº: = m = 10 = 10 6 Maior nº: = (1 t ) M = = ( ) 10 5 = Nº de elementos: N = 2( 1) t 1 (M m+1)+1 =

14 Exemplo 1.1: Dado o sistema de aritmética de ponto flutuante F, t, m, M, onde a precisão da máquina na com o sistema F é definida pelo nº de dígitos da mantissa t. Assim, F 10, 3, 4, 4, represente o nº x. X Representação 3 279,15 0, ,35 0, , , ,093 0, , Exemplo1.2: Dado o sistema de aritmética de ponto flutuante F 2,10, 15,15, represente o nº x. x Representação = 0, = 0, ,01= 0, = 0, , (10) = (2) Qual o menor nº positivo representável neste sistema? = m = = = , O primeiro número negativo representável no sistema é 0, O maior nº representável neste sistema? = (1 t ) M = ( ) = = O menor nº negativo é obtido nesse caso tomando-se o simétrico já que o valor mínimo é m= 15, temos, então, Logo o

15 intervalo de representação dos nºs incluindo o zero, é de 32736, 32736, para o sistema F 2,10, 15,15. Quantos números podemos representar? N = 2( 1) t 1 (M m+1)+1= (2 1)2 ( ) Exemplo 1.3: Dado o sistema de ponto flutuante ( 2, 3, 1, 2) F, determine quantos e quais são os números representados por esse sistema. Vamos lá, agora você consegue... :-). = m = / 4 0, 25(O menor nº + representável). O 1º negativo 0,25 ). (10. = (1 t ) M = ,5 3, 5 nesse sistema). O simétrico (O maior representável 3.5,3.5 3,5(o menor nº negativo). N = 2( 1) t (M m+1)+1= 2(2 1)2 (2 1 1) 2(1) (4) 8 Exemplo 2: Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha = 2, t = 10, m = 15 e M=15, o nº 25 na base decimal é, assim representado: Solução: = 11001= = = (10) = (2) 15

16 (10) = 101 (2) ou, da seguinte forma: s a s e e Sinal de a ou sinal da mantissa Valor da mantissa Sinal do expoente Valor do expoente ou característica Sinal de a ou sinal da mantissa Obs.: Valor da mantissa Sinal do expoente Valor do expoente ou característica Cada dígito é chamado de bit, portanto, nesta máquina são utilizados 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e mais 1 bit para o sinal da mantissa (se bit = 0 positivo, se bit = 1 negativo) e um bit para o sinal do expoente, resultando, no total, 16 bits, que são assim representados: Exemplo 3: Utilizando a mesma máquina do exemplo anterior, a representação de 3,5 10 seria dada por : Solução: 3,5 10 = = = 11.1 = =

17 (10) = 11 (2) , 5 2 1, 0 0,5 (10) = 0,1 (2) Exemplo 4: O nº 7, (na mesma máquina) : Soluçãoº 7, = ( ) = ( ) = = = ,125 2= 0, ,250 2= 0, ,5 2= 1, ,125 (10) = 0,001 7 (10) = 111 (2) 7,125 (10) = (111,001) (2) Seja = 10, t = 3 e e [ 5, 5 ]. Considere o conjunto dos nºs reais e o seguinte conjunto: G = { x x } Dado um nº real x, várias situações poderão ocorrer: Caso 1: x G : Exemplo: x = 235,89 = 0, Observe que este nº possui 5 dígitos na mantissa. Estão representados exatamente nesta máquina os nºs : 0, e 0, Se for usado o truncamento, x será 17

18 representado por 0, e, se for usado o arredondamento, x será representado por 0, Caso 2: x Exemplo: x = 0, Este nº não pode ser representado nesta máquina porque o expoente e é menor que 5. A máquina acusa erro de underflow; Caso 3: x Exemplo: x = 0, Este nº não pode ser representado nesta máquina porque o expoente e é maior que 5. A máquina acusa erro de overflow(transbordamento); Obs.: Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla. Neste caso, esta variável será representada no sistema de P. F. da máquina, mais com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa. O tempo de execução e requerimentos de memória aumentam significativamente. 7. ERROS: ABSOLUTO, RELATIVO E PERCENTUAL x Seja x o valor exato também chamado de grandeza verdadeira e um valor aproximado de x. Então: Definição 1: O erro absoluto é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado. EAX x x 18

19 Problema1: Uma pessoa A cometeu um engano de 1 cm ao medir o comprimento de uma mesa de 2,50m e uma segunda pessoa B cometeu o mesmo engano de 1 cm ao medir o comprimento de um prédio de 25 m. Qual a qualidade de medição melhor da pessoa A ou da pessoa B? Solução: O nosso bom senso diz que a qualidade de medição de B foi melhor que a de A. O erro absoluto cometido por ambas as pessoas é o mesmo, não sendo assim capaz de dar uma boa idéia da qualidade de medida. Essa idéia é fornecida pelo erro relativo. Definição 2: O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor exato. ERX EA X x x x x x x x Continuação do problema 1: Dados: ER A = ER B = 1 cm = 0,01 m 0,01 2,5 0,01 25 ER A = 0, 004 ER B = 0, 0004 ER A = 10 ER B, indicando que B efetuou uma medição melhor. Definição 3: O erro percentual é obtido multiplicando-se o erro relativo por 100. Exemplo: EP A = 0,4% EP B = 0,04% 8. ANÁLISE DE ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE PONTO FLUTUANTE O erro total de uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação. 19

20 Vamos supor que as operações são efetuadas num sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, na base 10 e com acumulador de precisão dupla. Exemplo5: Dados x = 0, e y = 0, , obter x+y. Alinhamento dos pontos decimais dos dois números (a mantissa do nº de menor expoente deve ser deslocada para a direita). Este deslocamento deve ser de um nº de casas decimais igual à diferença entre os dois expoentes. Solução: Assim, exp= 4 2 = 2, x = 0, e y = 0, Portanto: x+y = (0,937+0,001272) 10 4 = 0, , resultado exato. Dado que em nosso sistema t = 4, este resultado deve ser arredondado ou truncado. Então, x y 0, (arredondamento) e x y 0, (truncamento). Exemplo6: Obter xy, para x e y dados no exemplo 1. Solução: xy = (0, ) (0, ) = (0,937 0,1272) 10 6 xy =0, , resultado exato. Assim, para t = 4: xy 0, xy 0, (arredondamento) (truncamento) 20

21 Exemplo7: Sejam x = 0, números em decimal com precisão t = 4. Solução: Assim, exp= 5 ( 1) = 6, x = 0, e y = 0, Portanto: e y = 0, , dois x+y = (0,1547+0, ) 10 5 = 0, , resultado exato. x y 0, (arredondamento) e (truncamento). Exemplo8: Sejam x = 0, e y = 0, , dois números em decimal com precisão t = 4. Solução: x+y=0, , =0, =0, x y 0, Exemplo9: Sejam x = 0, e y = 0, , dois números em decimal com precisão t = 4, o produto é dado por: xy =0, =0, (valor exato) xy 0, Exemplo10: Sejam x = 0, e y = 0, , dois números em decimal com precisão t = 4, a divisão é dada por: q x y 4, , ,

22 Estes exemplos mostram que ainda que as parcelas ou fatores de uma operação estejam representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato. 8.1 DISTRIBUTIVIDADE E ASSOCIATIVIDADE Em sistemas de ponto flutuante, as propriedades de Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão não obedecem necessariamente as mesmas regras da aritmética sobre o conjunto dos números reais. Vejamos o exemplo a seguir: 4 Exemplo 1: Tomemos 0,3491 precisão da máquina dada por t=4. Assim, a x2 x1 1 1 x = 0, , , = 0, , , = ( 0, ,3491) 10 = 0,0000 Agora, tomando-se: a x x 0 x1 10 e x 2 0, x = 0, (0, , ) 0 = 0, Vemos, portanto, que a1 a2, o que é um absurdo. 8.2 OS ARREDONDAMENTOS Os arredondamentos podem ser de dois tipos:. Seja a Arredondamento do tipo corte (cancelamento): os dígitos além da precisão t do sistema de ponto flutuante são automaticamente abandonados (desprezados); 22

23 Arredondamento para o número mais próximo da máquina: suponha a precisão da máquina como t. Então, analisamos o algarismo de ordem t+1: o Se o algarismo for maior ou igual a 5, somaremos uma unidade ao algarismo de ordem t; o Se o algarismo de ordem t+1 for menor que 5, então o algarismo de ordem t permanecerá inalterado. PROPOSTA DE ATIVIDADES (COMPLEMENTAR): Assunto: Sistema de Numeração 1) Converter os números a seguir conforme a base que se pede: a) 47 (10) Para as bases: =2, 8, 16 b) (2) Para as bases: =10, 8, 16 c) (2) Para a base: =10, 8 d) 69 (10) Para as bases: =2, 16 23

24 Exercícios 1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: x = 37, y = 2345 e z = 0, Converta os seguintes números binários para sua forma decimal: x = (101101) 2, y = ( ) 2 z = (0,1101) 2 e w = (0, ) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: x = 0, y = 0, e z =0, efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados: a) x+y+z c) x/ y e)x(y/z) b) x y z d)(xy)/z f) 4. Considere uma máquina cujo sistema de representação de nºs é definido por: = 10, t = 4, l= 5 e u=5. Pedese: a) Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina? b) Como será representado o número 73,758 nesta máquina, se for usado arredondamento? E se for usado truncamento? c) Se a = e b = 3 qual o resultado de a+b? 24

25 Fim. 25