CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 2 08/2014 Noções Básicas sobre Erros

3 A resolução de problemas numericamente envolve várias fases que podem ser assim estruturadas: Cálculo Numérico 3/55

4 Problema Real Levantamento de Dados Construção do Modelo Matemático Escolha do Método Numérico Adequado Implementação Computacional deste Método Análise dos Resultados Obtidos Se Necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico Cálculo Numérico 4/55

5 Mesmo que todas as fases sejam realizadas, é comum que os resultados obtidos estejam do que se esperaria obter. Isto porque os resultados dependem também: Da precisão dos dados de entrada; Das operações numéricas efetuadas. Cálculo Numérico 5/55

6 Sistemas Numéricos Cálculo Numérico 6/55

7 Representação de Números Questão de uma prova: Calcular a área de uma circunferência de raio 100m. Resposta de três alunos: a) A = m 2 b) A = m 2 c) A = ,92654 m 2 Cálculo Numérico 7/55

8 Representação de Números Porque esta diferença? Qual a resposta correta? É possível obter eatamente esta área? Cálculo Numérico 8/55

9 Representação de Números A representação de um número escolhida ou disponível na máquina em uso e do usados na sua representação. A área de uma circunferência é dada por: A R 2 O número não pode ser representado através de um número finito de dígitos decimais. Cálculo Numérico 9/55

10 Representação de Números Porque esta diferença? A diferença ocorreu na forma como cada aluno representou o número. a) = 3,14 b) = 3,1416 c) = 3, Neste caso, o erro depende da aproimação escolhida para. Cálculo Numérico 10/55

11 Representação de Números Qual a resposta correta? Não eiste uma resposta correta. Porém, quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. É possível obter eatamente esta área? Qualquer que seja a circunferência, o valor de sua área nunca será obtida eatamente. Cálculo Numérico 11/55

12 Sistema Decimal Sistema decimal (na base 10): Utiliza 10 algarismos para representar os números. Cálculo Numérico 12/55

13 Sistema Binário Sistema binário (na base 2): utiliza apenas dois estados (0 ou 1). Cálculo Numérico 13/55

14 Sistemas Numéricos Um computador opera normalmente no sistema binário. Portanto, a interação entre usuário e computador será da seguinte forma: O usuário envia ao computador dados no sistema decimal; Esta informação é convertida para o sistema binário; Todas as operações são efetuadas no sistema binário; Os resultados finais são convertidos novamente para o sistema decimal. Cálculo Numérico 14/55

15 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE Cálculo Numérico 15/55

16 Algarismos Significativos Os de um número são aqueles que podem ser usados com confiança. Corresponde ao número de algarismo estimado. Cálculo Numérico 16/55

17 Algarismos Significativos EXEMPLO: Quantos algarismos significativos tem o número ? Ele pode ter 3, 4 ou 5 algarismos significativos, dependendo de os zeros serem conhecidos com confiança. Resolvemos esta incerteza usando a notação científica: 4, , , Três Quatro Cinco algarismos significativos Cálculo Numérico 17/55

18 Aritmética de ponto flutuante Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado, onde: 0, d 1 d 2 d k b e Mantissa d 0 b 1, j 1,, k, 01 d j A parte fracionária é chamada mantissa ou significando; A parte inteira é chamada epoente ou característica (e). A base do sistema numérico é dado por b. Cálculo Numérico 18/55

19 Representação em ponto flutuante Em qualquer máquina, apenas um subconjunto dos números reais é representado eatamente e, portanto a representação de um número real será realizada através de truncamento ou arredondamento. Cálculo Numérico 19/55

20 Representação em ponto flutuante No sistema decimal, teremos que qualquer número com k dígitos decimais pode ser representado por:, 10 0 d d d d k n com 1 d1 9,0 di 9i 2,3,, k Esta é a representação truncada de um número real qualquer com k dígitos. Cálculo Numérico 20/55

21 Representação em ponto flutuante O arredondamento com k dígitos é dado pelo truncamento 510 n de. k 1 d k 1 5 Desse modo, ao arredondar, se, adicionamos 1 a d k, ou seja, arredondamos para cima. Quando d k+1 <5, simplesmente desconsideramos todos os valores, menos os primeiros k algarismos, ou seja, arredondamos para baio. Cálculo Numérico 21/55

22 Representação em ponto flutuante Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla. Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética de ponto flutuante, mas com aproimadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa. É importante lembrar que, nesse caso, o tempo de eecução e requerimentos de memória aumentam significativamente. Cálculo Numérico 22/55

23 Arredondamento Truncamento As discrepâncias introduzidas pela representação finita dos números reais é denominada erros de arredondamento, independente de ter sido feito um arredondamento ou truncamento de um número. Eles ocorrem quando números com uma quantidade limitada de algarismos significativos são usados para representar números eatos. Os erros de truncamento resultam de aproimações para representar procedimentos matemáticos eatos. Está associado ao método de aproimação empregado, como quando fazemos aproimações usando polinômios de Talor. Cálculo Numérico 23/55

24 Polinômios e Série de Talor Cálculo Numérico 24/55

25 EXTREMAMENTE IMPORTANTE PARA A ANÁLISE NUMÉRICA! SERÁ UTILIZADO EXAUSTIVAMENTE! Cálculo Numérico 25/55

26 Teorema 7: Teorema de Talor f C Suponha que n, que n1 eista em [a, b] e que. Para todo, eiste um número entre 0 e, tal que a, b [ a, ] [ a, b] 0 b f P R f n n, onde: P n f f ' 0 f 0 n n n! 0 0 f 0 0 " 2! 0 2 Cálculo Numérico 26/55

27 Teorema de Talor ou ainda: P n n k 0 f k 0 k! 0 k P n () é chamado polinômio de Talor de grau n de f em 0 e R R n () é chamado resto (ou erro de truncamento) relativo a P n (). n f n1 n1 n 1! 0 Erro envolvido na utilização de uma adição truncada ou finita Cálculo Numérico 27/55

28 ξ é um valor que depende de, porém não sabemos determiná-lo eplicitamente. O Teorema de Talor apenas garante que tal função eiste e que seu valor está entre e 0. PROBLEMA nos métodos numéricos: Determinar uma limitação realística para o valor de quando está definido em um intervalo específico, tal que a aproimação f () P n () seja razoável. 1 f n Cálculo Numérico 28/55

29 Série de Talor A série infinita obtida pelo limite de P n () quando é chamada Série de Talor de f em 0. n Quando 0 = 0, o polinômio de Talor é chamado polinômio de Maclaurin e a série de Talor é geralmente chamada Série de Maclaurin. Cálculo Numérico 29/55

30 ERROS Cálculo Numérico 30/55

31 Erro Absoluto Valor verdadeiro = aproimação + erro absoluto O erro numérico é igual à discrepância entre o valor verdadeiro e a aproimação, que é chamado erro absoluto. EA onde, é o valor verdadeiro e é o valor aproimado. PROBLEMA: não leva em conta a ordem de grandeza. Cálculo Numérico 31/55

32 Erro Relativo O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro: ER O erro relativo percentual é dado por: t 100% Cálculo Numérico 32/55

33 Eemplo 1 Suponha que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de uma ponte e de um parafuso e obteve as medidas cm e 9 cm, respectivamente. Se os valores verdadeiros forem cm e 10 cm, respectivamente, calcule para cada caso: a) O erro absoluto verdadeiro ( EA ); b) O erro relativo percentual verdadeiro ( t ). Cálculo Numérico 33/55

34 Aproimação para o erro Para os métodos numéricos, o valor verdadeiro será conhecido apenas ao se lidar com funções que podem ser resolvidas analiticamente. Nas aplicações do mundo real, não conhecemos a resposta verdadeira. Nestes casos, encontramos um limitante para o erro, o que fornece o pior caso de erro. a erroaproimado aproimação 100% Cálculo Numérico 34/55

35 Aproimação para o erro Nos métodos iterativos, uma aproimação atual é feita com base em uma aproimação prévia. Esse processo é realizado repetidamente (iterativamente) para se calcular aproimações cada vez melhores. Nestes casos, o erro relativo percentual é determinado por: a aproimação atualaproimação aproimação atual prévia 100% Cálculo Numérico 35/55

36 A grande preocupação é em saber se o valor absoluto percentual é menor que uma tolerância percentual préestabelecida s. a s Repete-se, então, os cálculos até que isto ocorra. Cálculo Numérico 36/55

37 É importante, também, relacionar esses erros ao número de algarismos significativos na aproimação. Pode ser mostrado que: s 2n 0,510 % Isto indica que o resultado é correto até pelo menos n algarismos significativos. Cálculo Numérico 37/55

38 Arredondamento e Truncamento Seja um sistema que opera em aritmética de ponto flutuante de k dígitos na base 10, e seja, escrito na forma: e f 10 g 10 ek onde: 0,1 f 1 e 0 g 1. EXEMPLO: Se k = 4 e = 234,57, então: 0, , onde: f 0,2345 e 0, 7. g Cálculo Numérico 38/55

39 Arredondamento e Truncamento ek Na representação de nesse sistema não pode ser incorporado totalmente à mantissa. Então surge a questão de como considerar esta parcela na mantissa e definir o erro absoluto ou relativo máimo cometido. g 10 Cálculo Numérico 39/55

40 Truncamento g 10 ek 10 é desprezado e. Neste caso: f e ek EA g ek g 1 visto que. e: ER EA g f ek ek k 10 e 0,1 10 e 1 Visto que 0,1 é o menor valor possível para f. Cálculo Numérico 40/55

41 Arredondamento f é modificado para levar em conta g. A forma mais comum é o arredondamento simétrico. f f e e, 10 ek, se se g g 0,5 0,5 g 0,5 Portanto, se, g é desprezado; caso contrário, somamos o número 1 ao último dígito de f. Cálculo Numérico 41/55

42 Arredondamento g 0,5 Então, se : EA ek ek g 10 0,510 e ER EA g f ek ek 10 0,510 k 0,510 e e 10 0, Cálculo Numérico 42/55

43 Arredondamento g 0,5 Agora, se : EA g 10 0,510 ek ek 10 e ek e ek f 10 g 10 f ek g e 1 10 ek ER f e ek ek ek 0,510 0,510 0,510 k 1 0,510 e ek e e f 10 0,1 10 Cálculo Numérico 43/55

44 Arredondamento Portanto, em qualquer caso, teremos: EA,510 e ek k 1 0 ER 0,510 Apesar do uso de arredondamento implicar erros menores, eige maior tempo de eecução e, portanto, o truncamento é mais utilizado nos sistemas. Cálculo Numérico 44/55

45 ANÁLISE DE ERROS NAS OPERAÇÕES Dada uma sequência de operações, como, por eemplo, u = [ ( + ) z t ] / w, é importante a noção de como o erro em uma operação propaga-se ao longo das operações subsequentes. O erro total em uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação. Cálculo Numérico 45/55

46 ADIÇÃO A adição em aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para isto, a mantissa do número de menor epoente deve ser deslocada para a direita. Este deslocamento deve ser um número de casas decimais igual à diferença entre os dois epoentes. Observe: Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação estejam representados eatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja eato. Cálculo Numérico 46/55

47 Na maioria dos sistemas, o resultado eato da operação (denotado por OP) é normalizado e, em seguida, arredondado ou truncado para k dígitos, obtendo assim, o resultado aproimado (denotado por na máquina. OP ) que é armazenado Então, o erro relativo de uma operação (supondo que as parcelas ou fatores estão representados eatamente) será: Truncamento: ER OP 10 k 1 Arredondamento: ER OP 0,510 k 1 Cálculo Numérico 47/55

48 Erro nas operações aritméticas Veremos as fórmulas para os erros absoluto e relativo nas operações aritméticas. Vamos supor que o erro final é arredondado. EA Sejam e, tais que e : EA Cálculo Numérico 48/55

49 Erro nas operações aritméticas ADIÇÃO: Erro absoluto: EA EA EA EA EA EA EA Erro relativo: ER EA ER ER Cálculo Numérico 49/55

50 Erro nas operações aritméticas SUBTRAÇÃO: Erro absoluto: EA EA EA EA EA EA EA Erro relativo: ER EA EA ER ER Cálculo Numérico 50/55

51 Erro nas operações aritméticas MULTIPLICAÇÃO: Erro absoluto: EA EA EA EA EA EA EA EA EA muito pequeno Erro relativo: ER EA EA ER ER Cálculo Numérico 51/55

52 Erro nas operações aritméticas DIVISÃO: Erro absoluto: EA EA EA 1 1 EA 1 1 EA Simplificação: EA 1 EA EA Desprezam-se os termos de potência >1 2 3 EA EA 2 EA EA 2 EA Erro relativo: ER ER ER Cálculo Numérico 52/55

53 Eemplo Suponha que,, z e t estejam representados eatamente, qual o erro total do cálculo de u = ( + ) z t? Calcularemos o erro relativo e denotaremos por RA, o erro relativo de arredondamento no resultado da operação (ER OP devido ao arredondamento do resultado). Cálculo Numérico 53/55