Fundamentos IV. Introdução a análise de erros. Gustavo Vinhal. August 12, Escola de Ciências Exatas e Computação

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1 Fundamentos IV Introdução a análise de erros Gustavo Vinhal Escola de Ciências Exatas e Computação August 12, 2016

2 Como aparecem os erros na matemática?

3 Objetivos da ciência Entender, modelar e simular um fato real

4 Modelagem matemática Fases da modelagem matemática

5 Erros intrísicos aos modelos Erros inerentes aos modelos Erros nos instrumentos de medida Erros em medições experimentais Erros de conversão numérica Erros das operações aritméticas

6 Erros numéricos - erro absoluto Diferença entre o valor exato e o valor aproximado de um número E x = x x Onde, x é o valor exato e x é o valor aproximado

7 Erros numéricos - Erro relativo Diferença entre o valor exato e o valor aproximado de um número, dividida pelo valor exato R x = x x x = R x x Onde, x é o valor exato e x é o valor aproximado

8 Exemplo 1 Se x = 5 e x = 4 E x = x x = 5 4 = 1 R x = x x x = = 1 5 = 0, 2 = 20%

9 Exemplo 2 Se y = e ȳ = 9999 E y = y ȳ = = 1 R y = y ȳ y = = 0, 0001 = 0, 001%

10 Conclusão O erro relativo é uma medida melhor do erro, pois leva em consideração a ordem de grandeza da quantidade

11 Erros na resolução do modelo matemático Erro de conversão do sistema decimal (humano) para o sistema binário (computador) No computador existe uma quantidade finita (muito grande) de números As operações aritméticas são realizadas com essa quantidade finita de números O conjunto de números usados pelo computador chama sistema aritmético de ponto flutuante

12 Sistema aritmético de ponto flutuante Conjunto de números que depende de vários parâmetros β - base do sistema de numeração t - número de algarismos de uma mantissa m - mentor potência de β permitida M - Maior potência de β permitida Denotamos o sistema por F (β, t, m, M)

13 Quais são os elementos de um sistema aritmético de ponto flutuante?

14 Os elementos do sistema 0 Números da forma ±(0, d 1 d 2... d t ) β β exp, onde m exp M e β é a base do sistema de numeração Os algarismos d 1 d 2... d t, são números inteiros escolhidos entre os números {0, 1,..., β 1}, com d 1 0 O conjunto {0, 1,..., β 1} é a mantissa

15 Quantidade de elementos Quantos elementos contém um sistema aritmético de ponto flutuante? 2(β 1)(M m + 1)β t 1 + 1

16 Exemplo 3 No sistema F (2, 4, 4, 5), temos β = 2, t = 4, m = 4, M = 5 Então F, possui 2 (2 1)(5 ( 4) + 1) = = 161 elementos

17 Maior número num sistema Qual é o maior número num sistema aritmético de ponto flutuante? β t 1 β t β M Todo número real, com valor maior que este número, é considerado + pelo computador Todo número real, com valor menor que é o oposto deste número, é considerado pelo computador

18 Exemplo 4 No sistema F (2, 4, 4, 5) O valor do maior elemento é = 30 Nesse sistema, todo número real maior que 30 é tido como + Todo número menor que -30 é tido como

19 Qual é o menor número num sistema aritmético de ponto flutuante?

20 Menor número β m 1 Todo número real com valor maior que zero e menor que este número, é considerado zero pelo computador/calculadora Todo número real com valor menor que zero e maior que o oposto deste número, é considerado zero pelo computador

21 Exemplo 5 No sistema F (2, 4, 4, 5) O valor do menor elemento é = 1/32 Nesse sistema, todo número real 0 < x < 1/32 é tido como zero Todo número real 1/32 < x < 0 é tido como zero

22 Diversos sistemas aritméticos de ponto flutuante

23 Erros de aproximação numérica

24 Erros de aproximação numérica Truncamento Arredondamento

25 Truncamento Consiste em aproximar o valor de um número mantendo os k primeiros dígitos na sua representação decimal Se x = 0, d 1 d 2... d k+1 d k n, com d 1 0 Usamos x = 0, d 1 d 2... d k 10 n como valor aproximado de x O erro relativo que se comete não é sempre conhecido, mas pode ser estimado R trunc 10 k+1, no máximo

26 Exemplo 6 Sabemos que 7 = 2, Assim, 7 = 0, Truncando com três dígitos 7 0, Então, 7 = 2, 64 O erro relativo não é maior que = 10 2 = 0, 01 ou 1%

27 Arredondamento Consiste em aproximar o valor de um número mantendo os k 1 dígitos na sua representação decimal Mantém-se o dígito d k se o dígito d k+1 é menor do que 5, ou acrescenta em uma unidade se o dígito d k+1 é maior ou igual a 5: Se x = 0, d 1 d 2... d k d k+1 d k n, como d 1 0 Usamos x = 0, d1 d 2... d k 10 n como valor aproximado de x se d k+1 {0, 1, 2, 3, 4} Ou x = 0, d1 d 2... (d k + 1) 10 n como valor aproximado de x se d k+1 {5, 6, 7, 8, 9} O erro relativo desse processo é estimado por R trunc 0, 5 10 k+1

28 Exemplo 6 Sabemos que 7 = 2, Assim, 7 = 0, Arrendondando com três dígitos, 7 0, Então, 7 = 2, 65 O erro relativo não é maior que 0, = 0, = 0, 005 ou 0, 5%

29 Outros tipos de erros: perda de significância e propagação de erro

30 Perda de significância Considere os números p = 3, e q = 3, p e q são números quase iguais com 11 dígitos A diferença p q = 0, , produz um número com cinco dígitos decimais de precisão Esse fenômeno é conhecido como perda de significância ou cancelamento subtrativo

31 Exemplo 7 Compare os resultados do cálculo f (0, 01) e P(0, 01), utilizando seis dígitos de arredondamento, onde f (x) = ex 1 x x 2 e P(x) = x 6 + x 2 24

32 Cálculos Para f (x) f (0, 01) = e0,01 1 0, 01 1, , 01 (0, 01) 2 = = 0, 5 0, 01 P(x) é um polinômio de Taylor de grau n = 2. Para f (x) expandindo sobre x = 0, 01 P(0, 01) = , ,01 24 = 0, 5 + 0, , = 0, Conclusão: P(0, 01) = 0, contém menos erro e deveria ter o mesmo resultado nos dois casos, a perda significância com a subtração é o problema

33 Propagação de erro Suponha que o computador trunca todos os valores numéricos para 4 dígitos a = 2/3 deve ser armazenado como 0,6666 com R a = 0, 0001 Somando a a ele mesmo seis vezes temos 0, , 6666 = 1, 333 1, , 6666 = 1, 999 1, , 6666 = 2, 665 2, , 6666 = 3, 331 a = 3, , 6666 = 3, 997 Cada vez a soma é truncada para 4 dígitos O valor verdadeiro para 6(2/3)=4 O erro relativo é R a = 4 3,997 4 = 0, 00075

34 Dicas para evitar grande erros Para diminuir a magnitude dos erros de arredondamento e para reduzir a possibilidade de overflow/underflow Faça o resultado intermediário tão perto de 1 quanto possível nos processos de multiplicação/divisão consecutivos

35 Usando a regra De acordo com esta regra, ao calcular xy/z, podemos programar a fórmula como: (xy)/z quando x e y na multiplicação são muito diferentes em magnitude x(y/z) quando y e z na divisão são próximos em magnitude (x/z)y quando x e z na divisão são próximos em magnitude

36 Exercícios 1 Calcule o erro absoluto e o erro relativo nas aproximações de p e p (a) p = π, p = 22/7 (b) p = e 10, p = Execute o cálculo: ( ) (i) exatamente, (ii) usando aritmética com números de três dígitos e o método de truncamento, (iii) usando a aritmética com três dígitos e o método de arredondamento e (iv) calcule os erros relativos dos itens (ii) e (iii)

37 Exercícios, cont. 3 Seja f (x) = x cos x senx x senx (a) Use aritmética com arredondamento para valores de quatro dígitos para calcular f (0, 1) (b) O valor real é f (0, 1) = 0, Encontre o erro relativo para o valor obtido no item (a). 4 Complete o cálculo 1/4 0 e x2 dx = 1/4 0 (1 + x 2 + x 2 2! + x 6 ) dx = p 3! Estabeleça que tipo de erro está presente nessa situação. Compare sua resposta com o valor verdadeiro p = 0,