Introdução aos Métodos Numéricos
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- Luiz Eduardo Leveck de Abreu
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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
3 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas
4 Erros Limitação na Representação Mudança de Base Numérica Problemas Mal-condicionados
5 Limitação de representação Computadores usam representação limitada: inteiros : 2 Baites ( ) 4 Baites ( )
6 Limitação de representação Computadores usam representação limitada: reais (ponto flutuante): 4 Baites 7 algarismos significativos (base 10) 8 Baites 15 algarismos significativos (base 10)
7 Calculando com precisão limitada Denominaremos Ruido Numérico aos valores gerados na computação de números de ponto flutuante e que tem como fonte os cálculos oriundos de usarmos precisão finita
8 Calculando com precisão limitada A= ~ A+δ A ; A, δ A R; ~ A Ponto Flutuante B= ~ B+δ B ; B, δ B R; ~ B Ponto Flutuante
9 Calculando com precisão limitada Todo sistema de cálculo numérico tem precisão limitada Para facilitar o entendimento, trabalharemos com um dispositivo de cálculo que representa 5 algarismos significativos Usaremos o formato 3, onde 123 são os algarismos não representáveis.
10 Soma A+B= ~ A+δ A+ ~ B+δ B= ~ A+ ~ B+δ A+δ b
11 Soma A+B= ~ A+δ A+ ~ B+δ B= ~ A+ ~ B+δ A+δ b A=3,1435 x 10 1 ; B=4,2356 x 10 2
12 Soma A+B= ~ A+δ A+ ~ B+δ B= ~ A+ ~ B+δ A+δ b A=3,1435 x 10 1 ; B=4,2356 x , , =31,
13 Soma Quanto maior for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico na soma.
14 Subtração A B= ~ A+δ A ( ~ B+δ B )= ~ A ~ B+δ A+δ B
15 Subtração Quanto menor for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico
16 Multiplicação A B=( ~ A+δ A ) (δ B+ ~ B )= ~ A ~ B+ ~ A δ b+ ~ B δ A
17 Multiplicação A B=( ~ A+δ A ) (δ B+ ~ B )= ~ A ~ B+ ~ A δ b+ ~ B δ A A=3,1435 x 10 1 ; B=4,2356 x 10 2
18 Multiplicação A B=( ~ A+δ A ) (δ B+ ~ B )= ~ A ~ B+ ~ A δ b+ ~ B δ A A=3,1435 x 10 1 ; B=4,2356 x ,435 0, =1,
19 Multiplicação Quanto maior for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico
20 Divisão A B = ~ A+δ A ~ B+δ B = ~ A/ ~ B+δ A / ~ B 1+δ B/ ~ B ;~ B 0
21 Divisão ~ ~ ~ ~ A A+δ A A/ B+δ A / B B = ~ = B+δ B 1+δ B/ ~ B ;~ B 0 Série Geométrica: 1 1+r =1 r+r2 r 3 + ; r <1
22 Divisão ~ ~ ~ ~ A A+δ A A/ B+δ A / B B = ~ = B+δ B 1+δ B/ ~ B ;~ B 0 Série Geométrica: 1 1+r =1 r+r2 r 3 + ; r <1 ~ A / ~ B+δ A / ~ B 1+δ B/ ~ B = ( ~ A ~B + δ A ~ B ) 1 1+δ B/ ~ B = ( ~ A ~B + δ A ~ B ) [ 1 δ B ~ B + ( δ B ~B ) 2 + ]
23 Divisão A B = ~ A~B + δ A ~ B ~ A ~ B δ B ~B δ A ~ B δ B ~B +
24 Divisão Quanto menor for o valor do divisor em relação ao dividendo, maior será o ruido numérico
25 Mudança de base numérica Números que não são dízima periódica em decimal podem o ser em binário: 0,1 10 e 0,01 10 são dízimas periódicas na base 2 usada pelos computadores, ou seja, 0,1 10 =0, ;0,01 10 =0, X 0,01 pode ser diferente de 1...
26 Mudança de base numérica Faça um programa em sua linguagem favorita somando 0, vezes e veja o resultado Use a função rationalize() do Maxima para ver qual é a representação como números racionais para os números 0,1 10 e 0,01 10 no computador
27 Problemas mal condicionados Um problema é dito malcondicionado se mudança em seus parâmetros produz uma mudança numa ordem de grandeza superior à mudança original
28 Um exemplo simples x 2 2 x+1=0 1,01 x 2 2 x+1=0 0,99 x 2 2 x+1=0
29 Um exemplo simples a x 2 +bx+c=0 ; x= b± b 2 4 a c 2 a
30 Um exemplo simples x 2 2 x+1=0 ; x=2± =1; raiz dupla
31 Um exemplo simples 1,01 x 2 2 x+1=0; x= 2± 4 4,04 2,02 = 1±0,1i 1,01
32 Um exemplo simples 0,99 x 2 2 x+1=0 ; x= 2± 4 3,96 1,98 = 1±0,1 0,99 ={1,11 0, 90
33 Problemas mal condicionados A natureza do problema (raiz dupla, raizes complexas conjugadas, raizes reais distintas) muda radicalmente com a variação que fizemos no coeficiente de segundo grau da equação
34 Problemas mal condicionados A natureza do problema (raiz dupla, raizes complexas conjugadas, raizes reais distintas) muda radicalmente com a variação que fizemos no coeficiente de segundo grau da equação De fato, haveria, neste caso específico, a mesma mudança de natureza do problema para qualquer pequena variação no coeficiente do segundo grau
35 Mais um exemplo simples ( ,5 7 ) x= ( 1 2 )
36 Mais um exemplo simples ( ,5 7 ) x= ( 1 2 ) x= ( )
37 Mais um exemplo simples ( ,5 7 ) x= ( 1 2 ) x= ( ) ( ,6 7 ) x= ( 1 2 )
38 Mais um exemplo simples ( ,5 7 ) x= ( 1 2 ) x= ( ) ( ,6 7 ) x= ( 1 2 ) x= ( 12,5 111,5 )
39 Mais um exemplo simples ( ,5 7 ) x= ( 1 2 ) x= ( ) ( 9 1 ) 62,6 7 x= ( 1 ) x= ( 12,5 ) 2 111,5 ( 9, ,5 7 ) x= ( 1 2 )
40 Mais um exemplo simples ( ,5 7 ) x= ( 1 2 ) x= ( ) ( 9 1 ) 62,6 7 x= ( 1 ) x= ( 12,5 ) 2 111,5 ( 9, ,5 7 ) x= ( 1 2 ) x ( 8, , )
41 Problemas mal condicionados Aqui temos novamente que uma pequena variação nos parâmetros do problema gera uma mudança muito maior na solução deste sistema
42 Problemas mal condicionados Problemas que envolvem Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Não-lineares Equações Diferenciais Integração Numérica Cálculo de funções Etc.
43 Problemas mal condicionados...podem ser mal-condicionados!
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