Métodos Numéricos em Equações Diferenciais Aula 02 - Método de Euler

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1 Métodos Numéricos em Equações Diferenciais Aula 02 - Método de Euler Profa. Vanessa Rolnik curso: Matemática Aplicada a Negócios

2 Introdução Método de Diferenças: { w0 = α w i+1 = w i + h φ(t i, w i ), i = 0, 1,..., N 1 O objetivo desse tipo de método é obter uma aproximação para o problema de valor inicial bem-posto (*) { dy = f (t, y), dt a y(a) = α t b w 0 recebe o valor de y(a) a equação de diferenças gera aproximações de y em vários valores no intervalo [a, b], w i y(t i )

3 Passos para resolução do PVI 1 Passo: discretização do domínio escolha um número inteiro positivo N, número de subintervalos no qual deseja dividir o domínio [a, b]; calcule um tamanho de passo h de forma que os pontos estarão igualmente espaçados h = b a N Domínio discreto: t i = a + ih, i = 0, 1, 2,..., N São N + 1 pontos t i chamados de pontos da malha

4 Passos para resolução do PVI 2 Passo: discretização da condição inicial y(a) = α y(a) = y(t 0 ) = w 0 w 0 = α Obs. que não há erro (associado à discretização) no primeiro ponto. 3 Passo: discretização da equação diferencial 4 Passo: iteração da equação de diferenças Esses dois últimos passos dependem do método escolhido.

5 Método de Euler Suponha que a solução do PVI y(t) tenha duas derivadas contínuas em [a, b]. Expandindo y em série de Taylor em torno de t i, até o termo com primeira derivada: y(t) = y(t i ) + (t t i )y (t i ) + (t t i) 2 y (ξ i ), 2! para algum ξ i entre t e t i. Calculando em t = t i+1 e fazendo h = t i+1 t i, y(t i+1 ) = y(t i ) + hy (t i ) + h2 2 y (ξ i ), ξ i [t i, t i+1 ] Como y = f (t, y), y(t i+1 ) = y(t i ) + hf (t i, y(t i )) + h2 2 y (ξ i ), ξ i [t i, t i+1 ] Suprimindo o termo do erro, obtemos o método de Euler. Usando a notação aproximada, w i+1 = w i + hf (t i, w i )

6 Exemplo { dy dt = y t2 + 1, 0 t 2 y(0) = 0, 5, N = 10. Obs. Solução exata: y(t) = (t + 1) 2 0, 5 e t. Solução do PVI pelo método de Euler: t i w i y(t i ) y(t i ) w i..

7 Interpretação geométrica Quando o problema for bem-posto, w i y(t i ). Isso implica Assim, o método de Euler, pode ser interpretado como: f (t i, w i ) y (t i ) = f (t i, w i ) w i+1 = w i + hf (t i, w i ) w i+1 w i + h y (t i ), ou seja, a aproximação w i+1 é obtida partindo de w i e dando um passo h (medido na horizontal) na direção da derivada de y no ponto t i.

8 Análise do erro Teorema: Suponha que f seja contínua e satisfaça uma condição de Lipschitz com constante L em D = {(t, y) a t b, < y < } e que exista uma constante M tal que y (t) < M para todo t [a, b]. Então as aproximações geradas pelo método de Euler w i, i = 0, 1,..., N satisfazem y(t i ) w i hm 2L y(t i ) é a solução do PVI (*) no ponto t i [ ] e L(t i a) 1. Deficiência: limitante para a segunda derivada. Porém, se f / t e f / y existirem, podemos usar a regra da cadeia y (t) = d dt y (t) = d f f f (t, y(t)) = (t, y(t)) + f (t, y(t)). dt t y

9 Análise do erro Exemplo: { dy dt = y t2 + 1, 0 t 2 y(0) = 0, 5, N = 10. t i w i y(t i ) y(t i ) w i limitante do erro......

10 Análise do erro Método de Euler com perturbação: { u0 = α + δ 0 u i+1 = u i + h f (t i, u i ) + δ i+1, i = 0, 1,..., N 1 Limitante para o erro: y(t i ) u i 1 ( hm L 2 + δ ) [ e L(t i a) 1] + δ 0 e L(t i a), h i = 0, 1,..., N, sob as hipóteses do teorema anterior e δ i < δ, i. Fazendo E(h) = hm 2 + δ h, o valor mínimo de h ocorre quando h = 2δ M.

11 Exercícios 1) Complete a última coluna da tabela do exmeplo da aula considerando δ = 5 10 (n+1) se você estiver usando uma aritmética de n algarismos, faça n = 6. t i w i y(t i ) y(t i ) w i limitante lim. com perturbação

12 Exercícios 2) No exemplo da aula, use interpolação linear para encontrar aproximações para y(0, 35) e y(1, 92). 3) Escreva um algoritmo para o Método de Euler.

13 Exercícios { dy 4) Dado o PVI dt = 2 t y + t2 e t, 1 t 2 y(1) = 0 com solução exata y(t) = t 2 (e t e): (a) use o método de Euler com h = 0, 1 para encontrar a aproximação para a solução e compare-a com os valores reais de y (b) compare o erro real em cada passo com o limitante de erro; (c) use a solução aproximada e a interpolação linear para encontrar a aproximação ara y(1, 04), y(1, 55) e y(1, 97). Compare co a solução exsta; (d) calcule o valor de h necessário para que y(t i ) w i 0, 1 usando a expressão para o limitante do método de Euler sem perturbação. (e) calcule o valor ótimo de h para o cálculo de y(2), considerando δ = 10 6.