étodos uméricos RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

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1 étodos uméricos RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016

2 Conteúdo Problemas com condições de fronteira Método das diferenças finitas

3 Problemas com Condições de Fronteira É comum o estudo de equações diferenciais ordinárias no contexto dos sistema dinâmicos em que a variável independente natural é o tempo. Pode-se também considerar o estudo orientado para regimes estacionários para determinar a distribuição espacial de uma grandeza. Exemplo: Um problema comum em Engenharia Civil tem a ver com a deflexão de uma barra de seção retangular sujeita a uma carga uniforme quando os extremos estão fixos. Os problemas físicos que dependem de uma posição no espaço, em vez de um instante no tempo, são muitas vezes descritos em termos de equações diferenciais com condições impostas em mais do que um ponto: problemas com condições de fronteira (PCF).

4 Problemas com Condições de Fronteira Os PCF a serem considerados aqui envolvem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem do tipo: E as condições de fronteira: Estas condições de fronteira podem ser de três tipos: 1. Dirichelet, se 1 = 2 = 0; 2. Neumann, se 1 = 2 = 0; 3. Robin ou mistas, se e Quando 1 = 2 = 0 as condições de fronteira são homogêneas.

5 Um método muito usado para determinar soluções aproximadas do PCF consiste em substituir as derivadas por formulas de diferenças finitas. Supondo que o problema admite só uma solução e considerando a partição: a = x 0 < x 1 <... < x n-1 < x n = b do intervalo [a, b]. O método das diferenças finitas permite obter aproximações y i, i = 1,..., n-1, para os valores da solução nos pontos da partição, isto é, y i y(x i ), i = 1,..., n-1. Por uma questão de simplificação a partição será considerada uniforme, ou seja, tal que x i x i-1 = h, i = 1,..., n.

6 Exemplo: Obter a solução aproximada do problema a seguir usando o método das diferenças finitas com uma malha uniforme de espaçamento h = 1/n. O PCF dado pode ser escrito, para cada ponto da partição na forma: com x i = ih. Aproximando y pela fórmula de diferenças centradas de segunda ordem (três pontos) tem-se:

7 com y i y(x i ), i = 1,..., n - 1. Substituindo na equação tem-se, em cada ponto da partição, o problema (linear) aproximado O sistema linear obtido é da forma: A matriz do sistema é tridiagonal, simétrica e estritamente diagonal dominante por linhas, logo é inversível. Fica deste modo garantida a existência e unicidade de solução.

8 Considerando n = 4, ou seja h = ¼: /64 2/64 3/64

9 Considerando o problema: Com Condições de fronteira de Dirichelet: ( 1 = 2 = 1 e 1 = 2 = 0). O problema pode ser escrito, para cada ponto da partição, na forma: com x i = ih, i = 0,..., n. Substituindo as derivadas pelas fórmulas de diferenças centradas de segunda ordem: e

10 Assim obtém-se: Tomando y i y(x i ), i = 1,..., n - 1, um método de diferenças finitas com erro O(h 2 ) pode ser definido pelo sistema linear:

11 Ou de forma equivalente: Repetindo para verificar:

12 Note que o sistema linear obtido é da forma: O sistema tem solução única.

13 Um caso muito frequente é quando as condições de fronteira não são de Dirichlet mas de Neumann. Supondo que tem-se o PCF: Considerando, tal como para o caso anterior, a substituição das derivadas que aparecem na equação diferencial pelas fórmulas de diferenças centradas de segunda ordem obtém-se: com y i y(x i ), i = 1,..., n - 1. Quanto às equações de fronteira, o mais comum é considerarem-se diferenças progressivas na discretização de y (a) e regressivas na descretização de y (b). Usando diferenças progressivas e regressivas com dois pontos (ordem um) obtém-se:

14 onde y 0 y(x 0 ) e y n y(x n ). Deste modo, o sistema linear a resolver difere, em relação ao caso em que considera-se condições de Dirichlet, apenas nas primeira e última linhas. Toda a análise para Problemas LINEARES!

15 Este método apresenta boas características de estabilidade, apesar de requerer um esforço computacional elevado para obter uma precisão especificada. Basicamente, o método consiste em substituir as derivadas que aparecem na equação diferencial por uma aproximação adequada do quociente de diferenças, com base na fórmula de aproximação de séries de Taylor, como por exemplo: Denominadas aproximações centradas para as derivadas de primeira e segunda ordens, respectivamente. O parâmetro h é escolhido para manter numa determinada ordem de erro de truncamento. Contudo, h não pode ser demasiadamente pequeno, pois isso causa a chamada instabilidade das aproximações derivadas.

16 Para a aplicação do método de diferenças finitas, deve-se conhecer o valor da função nos extremos do intervalo no qual se aplica a equação diferencial. Esta classe de problemas é denominada Problema de Valor de Contorno (PVC) como, por exemplo, o seguinte problema de segunda ordem: Essa equação requer a utilização de aproximações do quociente de diferenças para aproximar tanto y quanto y.

17 Em primeiro lugar, deve-se fazer a discretização da malha, que consiste em escolher um inteiro positivo N e dividir o intervalo [a, b] em N+1 subintervalos, cujos extremos são os pontos da malha (mesh points) x i = a + ih, para i=0,1,...,n+1 e h = (b-a)/(n+1). Com h selecionado desta forma, facilita a montagem do sistema matricial linear de ordem NxN, resultante da aproximação discretizada da equação diferencial, para os pontos interiores da malha, ou seja, para i = 1, 2,..., N, dada por:

18 O seguinte teorema estabelece condições sob as quais o sistema tridiagonal possui solução única. tem

19 A algoritmo para o método linear de diferenças finitas:

20 Os passos seguintes referem-se à resolução de qualquer sistema tridiagonal.

21 Use o algoritmo acima para resolver o seguinte PVC:

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23 Referencias Bibliográficas 1. Apostila: UFMT ICET MATEMÁTICA Cálculo Numérico Prof. Geraldo L. Diniz