Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton

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1 Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton Marina Andretta ICMC-USP 16 de maio de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

2 Diferenças divididas Já vimos como construir aproximações sucessivas para um valor de f (x) através de polinômios interpoladores de Lagrange com graus cada vez maiores, usando o Método de Neville. Veremos agora como construir os polinômios interpoladores de maneira sucessiva. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

3 Diferenças divididas Suponha que P n (x) seja o n-ésimo polinômio interpolador de Lagrange que coincide com uma função f nos pontos x 0, x 1,..., x n. Embora este polinômio seja único, há diversas formas diferentes de representá-lo. As diferenças divididas de f em relação a x 0, x 1,..., x n são usadas para representar P n (x) na forma P n (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 )(x x 1 )+...+a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ), para constantes adequadas a 0, a 1,..., a n. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

4 Diferenças divididas Para determinar o valor de a 0, note que, quando calculamos P n (x 0 ), temos a 0 = P n (x 0 ) = f (x 0 ). Da mesma forma, calculando P n (x 1 ), temos f (x 0 ) + a 1 (x 1 x 0 ) = P n (x 1 ) = f (x 1 ). Daí, podemos calcular o valor de a 1 : a 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

5 Diferenças divididas Apresentamos, agora, a noção de diferença dividida. A diferença dividida de ordem zero da função f em relação a x i, denotada f [x i ], é o valor de f em x i : f [x i ] = f (x i ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

6 Diferenças divididas A primeira diferença dividida da função f em relação a x i e x i+1, denotada f [x i, x i+1 ], é definida como f [x i, x i+1 ] = f [x i+1] f [x i ] x i+1 x i. (1) A segunda diferença dividida da função f em relação a x i, x i+1 e x i+2, denotada f [x i, x i+1, x i+2 ], é definida como f [x i, x i+1, x i+2 ] = f [x i+1, x i+2 ] f [x i, x i+1 ] x i+2 x i. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

7 Diferenças divididas Analogamente, depois das k 1-ésimas diferenças divididas f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] e f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] serem calculadas, a k-ésima diferença dividida com relação a x i, x i+1, x i+2,..., x i+k é dada por f [x i, x i+1,..., x i+k 1, x i+k ] = f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

8 Diferenças divididas O processo continua até que a única n-ésima diferença dividida f [x 0, x 1,..., x n ] = f [x 1, x 2,..., x n ] f [x 0, x 1,..., x n 1 ] x n x 0 seja calculada. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

9 Diferenças divididas Usando esta notação, podemos escrever polinômio interpolador como P n (x) = f [x 0 ] + a 1 (x x 0 )+ a 2 (x x 0 )(x x 1 ) a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ), com a k = f [x 0, x 1,..., x k ], para 0 k n. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

10 Diferenças divididas Portanto, o polinômio interpolador pode ser escrito como n P n (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1,..., x k ](x x 0 )(x x 1 )...(x x k 1 ). k=1 Note que o valor de f [x 0, x 1,..., x k ] não depende da ordem dos números x 0, x 1,..., x k. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

11 Algoritmo Diferenças divididas de Newton: dados os números distintos x 0, x 1,..., x n, os valores f (x 0 ), f (x 1 ),..., f (x n ) como a primeira coluna F 0,0, F 1,0,..., F n,0 de F, calcula a tabela F tal que F i,i = f [x 0, x 1,..., x i ] e P(x), polinômio interpolador de f nos pontos x 0, x 1,..., x n, dado por P(x) = n i=0 F i,i i 1 j=0 (x x j). Passo 1: Para i = 1,..., n, execute o passo 2: Passo 2: Para j = 1,..., i, faça Passo 3: Devolva F e pare. F i,j F i,j 1 F i 1,j 1 x i x i j. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

12 Diferenças divididas de Newton - exemplo A tabela a seguir fornece os valores de uma função em vários pontos: x f (x) Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

13 Diferenças divididas de Newton - exemplo A tabela a seguir fornece os valores obtidos aplicando o Método de diferenças divididas de Newton: i x i f [x i ] f [x i 1, x i ] f [x i 2,..., x i ] f [x i 3,..., x i ] f [x i 4,..., x i ] Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

14 Diferenças divididas de Newton - exemplo Os coeficientes do polinômio interpolador são obtidos usando os elementos em vermelho da tabela: P 4 (x) = (x 1) (x 1)(x 1.3) (x 1)(x 1.3)(x 1.6) (x 1)(x 1.3)(x 1.6)(x 1.9). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

15 Diferenças divididas de Newton - exemplo Pontos Polinomio Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

16 Diferenças divididas de Newton Se aplicarmos o Teorema do Valor Médio à equação (1), para i = 0, f [x 0, x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0, temos que, se f existe, então f [x 0, x 1 ] = f (ξ) para algum número ξ entre x 0 e x 1. Vejamos uma generalização deste resultado. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

17 Diferenças divididas de Newton Teorema 1: Suponha que f C n [a, b] e x 0, x 1,..., x n sejam números distintos em [a, b]. Então, existe um número ξ (geralmente desconhecido) em (a, b) tal que f [x 0, x 1,..., x n ] = f (n) (ξ). n! Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

18 Diferenças divididas de Newton A fórmula de diferenças divididas de Newton pode ser expressa de maneira simplificada se os números x 0, x 1,..., x n estiverem ordenados e igualmente espaçados. Denotamos h = x i+1 x i, para i = 0,..., n 1, e x = x 0 + sh. Assim, a diferença x x i pode ser escrita como (s i)h. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

19 Diferenças divididas de Newton O polinômio interpolador pode ser escrito como P n (x) = P n (x 0 + sh) = f [x 0 ] + shf [x 0, x 1 ]+ s(s 1)h 2 f [x 0, x 1, x 2 ] s(s 1)...(s n + 1)h n f [x 0, x 1,..., x n ] = n f [x 0 ] + s(s 1)...(s k + 1)h k f [x 0, x 1,..., x k ]. k=1 Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

20 Diferenças divididas de Newton Utilizando a notação de coeficiente binomial ( s k ) = s(s 1)...(s k + 1), k! temos que P n (x) = P n (x 0 + sh) = f [x 0 ] + n k=1 ( s k ) k!h k f [x 0, x 1,..., x k ]. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

21 Fórmula de diferenças progressivas de Newton Usando a notação f (x 1 ) f (x 0 ) = f (x 0 ), temos que f [x 0, x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) = 1 x 1 x 0 h f (x 0), ( ) f (x1 ) f (x 0 ) f [x 0, x 1, x 2 ] = 1 2h h = 1 2h 2 2 f (x 0 ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

22 Fórmula de diferenças progressivas de Newton No caso geral, f [x 0, x 1,..., x k ] = 1 k!h k k f (x 0 ). Como f (x 0 ) = f [x 0 ], temos que a fórmula de diferenças progressivas de Newton é dada por P n (x) = f (x 0 ) + n k=1 ( s k ) k f (x 0 ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

23 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Se ordenarmos os pontos interpoladores de maneira reversa, x n, x n 1,..., x 0, podemos escrever P n (x) = f [x n ] + f [x n, x n 1 ](x x n )+ f [x n, x n 1, x n 2 ](x x n )(x x n 1 ) f [x n, x n 1,..., x 0 ](x x n )(x x n 1 )...(x x 1 ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

24 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Se, além disso, os pontos forem espaçados igualmente entre si, com x = x n + sh e x = x i + (s n i)h, então P n (x) = P n (x n + sh) = f [x n ] + shf [x n, x n 1 ]+ s(s + 1)h 2 f [x n, x n 1, x n 2 ] s(s + 1)...(s + n 1)h n f [x n,..., x 0 ]. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

25 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Definição 1: Dada uma sequência {p n } n=0, definimos a diferença regressiva p n como p n = p n p n 1. Potências mais altas são definidas de forma recursiva por k p n = ( k 1 p n ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

26 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Usando a Definição 1, temos que f [x n, x n 1 ] = 1 h f (x n), e, no caso geral, f [x n, x n 1, x n 2 ] = 1 2h 2 2 f (x n ) f [x n, x n 1,..., x n k ] = 1 k!h k k f (x n ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

27 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Consequentemente, temos P n (x) = f [x n ] + s f (x n ) + s(s + 1) 2 f (x n ) s(s + 1)...(s + n 1) n f (x n ). n! Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

28 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Usando a notação ( s k ) = s( s 1)...( s k + 1) k! k s(s + 1)...(s + k 1) = ( 1), k! temos P n (x) = f [x n ] + ( 1) 1 ( s 1 ) f (x n ) + ( 1) 2 ( s 2 ) 2 f (x n ) ( 1) n ( s n ) n f (x n ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

29 Fórmula de diferenças regressivas de Newton Isto nos leva à definição da fórmula de diferenças regressivas de Newton, dada por P n (x) = f [x n ] + n ( ( 1) k s k k=1 ) k f (x n ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

30 Fórmulas de diferenças de Newton - exemplo A tabela a seguir é a mesma obtida no exemplo anterior após a aplicação do Método de diferenças divididas de Newton: i x i f [x i ] f [x i 1, x i ] f [x i 2,..., x i ] f [x i 3,..., x i ] f [x i 4,..., x i ] Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

31 Fórmulas de diferenças de Newton - exemplo Se for necessária uma aproximação para f (1.1), a escolha razoável para os pontos seria x 0 = 1, x 1 = 1.3, x 2 = 1.6, x 3 = 1.9 e x 4 = 2.2, já que usa o mais rápido possível os números mais próximos de 1.1, além de usar a quarta diferença dividida. Isso implica que h = 0.3 e s = 1 3. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

32 Fórmulas de diferenças de Newton - exemplo Assim, a fórmula de diferenças divididas progressiva de Newton é usada com os elementos marcados em vermelho na tabela, obtendo P 4 (1.1) = P 4 (1 + ( 1 3 ( ) ( ( ) ) = ( ) ( 1 2 ) ( )+ 3 3 ) ( 2 3 ) ( 5 3 ) ( 5 ) ( )+ 3 ( ) 1 0.3( )+ 3 ) ( 8 ) ( ) = Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

33 Fórmulas de diferenças de Newton - exemplo Para obter uma aproximação para f (2), é preferível utilizar o mais cedo possível os valores do fim da tabela. Para isso, definimos h = 0.3, s = 2 3 divididas regressiva de Newton. e usamos a fórmula de diferenças Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

34 Fórmulas de diferenças de Newton - exemplo Usando os elementos marcados em azul na tabela, obtemos ( P 4 (2) = P 4 ( ) ) ( 0.3 = ) 0.3( )+ 3 3 ( 2 3 ) ( 1 3 ( 2 ) ( ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ) ( )+ ) ( ) = Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

35 Fórmula de diferenças centradas Quando desejamos calcular uma aproximação de f em um ponto que está próximo do meio dos números x 0, x 1,..., x n, as fórmulas de diferenças progressiva e regressiva não são as mais adequadas. Daí surge a necessidade de usar fórmulas de diferenças centradas. Existem várias fórmulas de diferenças centradas, mas apresentaremos apenas uma: a Fórmula de Stirling. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

36 Fórmula de de Stirling Usaremos a notação de x 0 para o ponto mais próximo do ponto x a ter o valor de f (x) aproximado, x 1, x 2,... para os pontos seguintes a x 0 e x 1, x 2,... para os pontos anteriores a x 0. Usando esta notação, a Fórmula de Stirling é dada por P n (x) = P 2m+1 (x) = f [x 0 ]+ sh 2 (f [x 1, x 0 ]+f [x 0, x 1 ])+s 2 h 2 f [x 1, x 0, x 1 ]+ s(s 2 1)h 3 (f [x 2, x 1, x 0, x 1 ] + f [x 1, x 0, x 1, x 2 ]) s 2 (s 2 1)(s 2 4)...(s 2 (m 1) 2 )h 2m f [x m,..., x m ]+ s(s 2 1)...(s 2 m 2 )h 2m+1 (f [x m 1,..., x m ] + f [x m,..., x m+1 ]). 2 Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

37 Fórmula de de Stirling Se n = 2m for par, basta eliminar a última linha da fórmula. Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

38 Fórmula de de Stirling - exemplo Considere a mesma tabela obtida no exemplo anterior pelo Método de diferenças divididas de Newton: i x i f [x i ] f [x i 1, x i ] f [x i 2,..., x i ] f [x i 3,..., x i ] f [x i 4,..., x i ] Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

39 Fórmula de de Stirling - exemplo Para obter uma aproximação para f (1.5), consideramos x 0 = 1.6, h = 0.3 e s = 1 3. Aplicando a Fórmula de Stirling, usando os elementos da tabela marcados em vermelho, obtemos a aproximação f (1.5) P 4 (1.6 + ( 1/3)0.3) = ( 1/3)(0.3/2)( ) + ( 1/3) ( )+ ( 1/3)(( 1/3) 2 1)(0.3 3 /2)( )+ ( 1/3) 2 (( 1/3) 2 1)0.3 4 ( ) = Marina Andretta (ICMC-USP) sme cálculo numérico 16 de maio de / 39

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