Podem ser calculados num número finito de operações aritméticas, ao contrário de outras funções (ln x, sin x, cos x, etc.)

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1 Interpolação polinomial 1 Interpolação Polinomial Slide 1 Definição simples Definição 1 Dados os conjuntos de valores x 0, x 1,..., x n e y 0, y 1,..., y n, determinar uma função f tal que: Slide 2 f(x i ) y i, i 0, 1,..., n Polinómios excelentes candidatos a função interpoladora f. Teorema de Weierstrass numa vizinhança de qualquer função contínua existe sempre um polinómio. Podem ser calculados num número finito de operações aritméticas, ao contrário de outras funções (ln x, sin x, cos x, etc.)

2 Interpolação polinomial 2 Porquê interpolação? No passado (antes da era dos computadores digitais) o cálculo de certas funções (ln x, sin x, cos x, etc.) era feito através de tabelas. Actualmente: Slide 3 Meio simples de aproximar funções mais complexas. Quando temos apenas pontos, e.g. fruto de medições experimentais. Fundamento de outros métodos numéricos. Definição completa Definição 2 Dados os conjuntos de valores x 0, x 1,..., x n e y 0j, y 1j,..., y nj, determinar uma função f que satisfaz as condições: f (j) (x i ) y ij, j 0, 1,..., m i i 0, 1,..., n Slide 4 em que: f (j) representa a derivada de ordem j da função f m i é o número de derivadas a interpolar no nó x i y ij são os valores a interpolar, sendo considerados como dados. Se todos os m i 0 Interpolação do tipo de Lagrange (caso inicial). Se os m i não forem todos iguais a zero Interpolação do tipo de Hermit (todas as derivadas até m i têm que ser interpoladas no nó x i ).

3 Interpolação polinomial 3 Formas polinomiais Forma de potências simples (ou centradas em zero) Forma de potências centradas p(x) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Slide 5 p(x) a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) a n (x c) n c centro do polinómio Forma de Newton p(x) a 0 +a 1 (x c 1 )+a 2 (x c 1 )(x c 2 )+ +a n (x c 1 )(x c 2 ) (x c n ) c i centros Cálculo do polinómio num ponto Algoritmo de Horner Corresponde a calcular o polinómio escrito nesta forma: p(x) (((a n x + a n 1 )x + a n 2 )x + + a 1 )x + a 0 Slide 6 y a n para i n 1 até 0 fazer y a i + y x p(x) y Algoritmo de Horner com centros y a n para i n 1 até 0 fazer y a i + y (x c i+1 ) p(x) y Apenas n somas ou subtracções e n multiplicações, contra n somas ou subtracções e 2n multiplicações, para a forma de potências. y a 0 ; w x; para i 1 até n fazer y y + a i w w w x p(x) y Este mesmo algoritmo permite passar de uma forma de Newton com centros c i para outra com centros c i.

4 Interpolação polinomial 4 Introdução de um centro c Slide 7 a n a n para i n 1 até 0 fazer a i a i + a i+1 (c c i+1) p(c) a 0 Demonstração Os coeficientes a i são os coeficientes da forma de Newton do polinómio p com centros c, c 1,..., c n 1 (sai o centro c n e entra o centro c). Pelo algoritmo, temos que: a i a i a i+1 (c c i+1) a i + a i+1 (c i+1 c) Substituindo na expressão do polinómio sob a forma de Newton, vem: p(x) a 0 + a 1 (c 1 c) + (a 1 + a 2 (c 2 c))(x c 1 ) + (a 2 + a 3 (c 3 c))(x c 1 )(x c 2 ) + + (a n 1 + a n (c n c))(x c 1 ) (x c n 1 ) + a n (x c 1) (x c n ) Agrupando os termos, vem: p(x) a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c)(x c 1) + + a n (x c)(x c 1) (x c n 1 ) Logo, retirou-se o centro c n e incluiu-se o centro c. Exemplo Passar o polinómio p(x) 2 x 2 + x 3 à forma de Newton com centros 1, -1 e 0. O centro 0 já existe. Para introduzir os outros dois centros vamos aplicar o algoritmo de Horner duas vezes. Começando pelo centro c 1: Slide 8 a 3 1; a 2 1+1( 1 0) 2; a 1 0 2( 1 0) 2; a 0 2+2( 1 0) 0 Obtemos o seguinte polinómio: p(x) novo centro {}}{ (x + 1) 2(x + 1)x + (x + 1)x 2 Aplicando agora o algoritmo para o centro c 1: a 3 1; a 2 2+1(1 0) 1; a 1 2 1(1 0) 1; a 0 0+1(1+1) 2 Assumindo o polinómio a seguinte forma: p(x) 2 + 1(x 1) 1(x 1)(x + 1) + 1(x 1)(x + 1)(x 0) 2 + (x 1) (x 1)(x + 1) + (x 1)(x + 1)x

5 Interpolação polinomial 5 Factorização de polinómios Teorema 1 Se z 1, z 2,..., z k forem zeros distintos do polinómio p então em que r é um polinómio. p(x) (x z 1 )(x z 2 ) (x z k )r(x) Demonstração: Utilizemos o algoritmo de Horner para introduzir um centro c qualquer em p, partindo da forma de potências deste: Slide 9 p(x) a 0 + a 1(x c) + a 2(x c)x + + a n(x c)x n 1 Uma vez que p(c) a 0, pode-se escrever: p(x) p(c) + (x c)q(x) sendo q um polinómio de grau < n. Tomando c z 1, e como p(z 1 ) 0, pois z 1 é um zero de p, obtém-se: p(x) (x z 1 )q(x) Este raciocínio poderia ser repetido para qualquer número de zeros de p, até só restar r(x). Este teorema tem como corolário imediato que o número de zeros distintos de um polinómio de grau n é n. Unicidade do polinómio interpolador Teorema 2 Se p e q forem dois polinómios de grau n que assumem os mesmos valores num conjunto de nós distintos x 0, x 1,..., x n, então os dois polinómios são iguais, i.e., p q. Demonstração: Construamos a diferença d dos polinómios p e q: d(x) p(x) q(x) Slide 10 que é um polinómio de grau n e que se anula nos nós x 0, x 1,..., x n. Então pelo Teorema 1 podemos factorizar d da seguinte forma: d(x) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n )r(x) (1) Suponhamos agora que r(x) tem grau m. Então o grau do polinómio d tem que verificar as seguintes relações: n grau d n m o que é obviamente falso. Então a representação (1) só será possível se r 0, e portanto, p q. Conclusão: O polinómio interpolador de grau n que interpola nos nós x 0, x 1,..., x n distintos, se existir, é único.

6 Interpolação polinomial 6 Existência do polinómio interpolador Slide 11 Se o polinómio p de grau n tem que interpolar os valores nodais y i nos nós distintos x i, i 0,..., n, então os coeficientes de p têm que satisfazer o seguinte sistema de equações lineares de ordem n + 1 ( passar por todos os pontos): n a k (x i ) k y i. i 0, 1,..., n k0 Para que este sistema tenha solução (e como é um sistema de n + 1 equações a n + 1 incógnitas, a solução será única) é condição necessária e suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes M seja diferente de zero. 1 x 0... x n 0 1 x 1... x n 1 n det M (x j x i ) 0 sse (i,j),j>i : x i x j.. i,j0 j>i 1 x n... x n n Portanto, det M só valerá zero se os nós de interpolação não forem distintos. Conclusão: O polinómio interpolador existe sempre e é único, pode é ser apresentado, e obtido, sob formas diferentes. Cálculo de um determinante de Vandermonde de 3 a ordem Slide 12 1 x 0 x x 1 x x 2 x 2 2 Multiplicando a segunda coluna por x 0 e subtraindo-a à terceira, e multiplicando a primeira coluna por x 0 e subtraindo-a à segunda, vem: x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) 1 ( 1) 1+1 x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x 1 x 2 x 0 x 2 (x 2 x 0 ) 2 x 0 x 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 0 )(x 1 x 0 ) Pode-se demonstrar por indução que este resultado é válido para um determinante de ordem n, justificando assim a igualdade do slide anterior.

7 Interpolação polinomial 7 Fórmula de Lagrange Slide 13 Definição 3 Os polinómios L k (x) n i0 i k x x i x k x i designam-se por polinómios de Lagrange relativos aos nós x 0, x 1,..., x n. Um polinómio de Lagrange anula-se em todos os nós excepto no nó x k, onde toma o valor 1. Demonstração: Comecemos por considerar o polinómio nodal (anula-se em todos os nós x i ): n W n (x) (x x i ) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) i0 Consideremos ainda um polinómio l k que se anula em todos os nós excepto em x k : n l k (x) (x x i ) (x x 0 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) i0 i k Slide 14 O valor num ponto x k de uma função contínua f(x) pode ser sempre calculado como lim x xk f(x). Aplicando esta propriedade ao cálculo de l k (x k ) obtemos: Então o polinómio l k (x k ) def lim x x k l k (x) L k (x) W n (x) lim x x k x x k l k(x) l k (x k ) anula-se em todos os nós, excepto x k. Para x k : L k (x k ) lim x x k regra de Cauchy W n(x k ) W n (x) W n(x k )(x x k ) W n (x) W n(x k )(x x k ) 1 W n(x k ) lim x x k 1 W n(x k ) lim 0 {}}{ W n (x k ) W n (x) x x k (x x k ) W n (x) (x x k ) W n(x k ) W n(x k ) 1 Nestas condições, podemos ainda dizer que os polinómios de Lagrange satisfazem a relação: L k (x j ) δ kj { 1 se k j em que δkj é o delta de Kronecker: δkj 0 se k j

8 Interpolação polinomial 8 Teorema 3 O polinómio interpolador p de grau n que interpola os valores y 0, y 1,..., y n nos nós distintos x 0, x 1,..., x n é dado por p(x) n L k (x)y k k0 Slide 15 Demonstração: n n p(x j ) L k (x j )y k δ kj y k y j, k0 k0 j 0, 1,..., n Portanto, este polinómio p interpola os valores dados. Exemplo Construir o polinómio interpolador de grau 3 que interpola os valores seguintes: Slide 16 Resolução: x y L 0 (x) (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) 1 (x 1)(x 3)(x 4) L 1 (x) 12 (x x 0 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1)(x 3)(x 4) (0 1)(0 3)(0 4) (x 0)(x 3)(x 4) (1 0)(1 3)(1 4) 1 x(x 3)(x 4) 6 L 2 (x) (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 0)(x 1)(x 4) (3 0)(3 1)(3 4) 1 x(x 1)(x 4) 6 L 3 (x) (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) 1 x(x 1)(x 3) 12 (x 0)(x 1)(x 3) (4 0)(4 1)(4 3)

9 Interpolação polinomial 9 Slide 17 Logo: p(x) 3 L k (x)y k k (x 1)(x 3)(x 4) 1 x(x 3)(x 4) x(x 1)(x 4) + 1 x(x 1)(x 3) 6 que constitui a forma de Lagrange do polinómio interpolador. Escrevendo-o sob a forma de potências simples: p(x) 1 4 x3 + 2x x + 1 Desvantagens da forma de Lagrange: É possível obter o polinómio interpolador com menos operações aritméticas. Os polinómios de Lagrange estão associados a um conjunto de nós. Uma mudança no número ou posição destes implica recalcular na totalidade o polinómio. Fórmula de Newton Baseia-se na escrita do polinómio interpolador na forma de Newton, tomando como centros os nós x 0, x 1,..., x n 1 : em que p n (x) a 0 + a 1 W a n W n 1 p n 1 (x) + a n W n 1 Slide 18 são polinómios nodais. W 0 x x 0,..., W n 1 (x x 0 ) (x x n 1 ) Os coeficientes a 0, a 1,..., a n serão determinados de forma a que p n (x) seja o polinómio interpolador nos nós x 0, x 1,..., x n dos valores nodais y 0, y 1,..., y n. Isto é, teremos que impor que: p n (x 0 ) y 0, p n (x 1 ) y 1,..., p n (x k ) y k,..., p n (x n ) y n donde se conclui que os coeficientes do polinómio devem satisfazer as igualdades seguintes, uma vez que para x x k, W i 0 i k :

10 Interpolação polinomial 10 Slide 19 a 0 y 0 a k y k p k 1 (x k ), k 1,..., n W k 1 (x k ) Nestas expressões é evidente que o coeficiente a k depende apenas dos valores x 0, x 1,..., x k e y 0, y 1,..., y k. Então para construir o polinómio p n+1, que interpola nos nós x 0,..., x n, x n+1 os valores nodais y 0,..., y n, y n+1, basta adicionar ao já calculado polinómio p n um termo da forma a n+1 W n, ou seja: p n+1 (x) p n (x) + a n+1 W n (x) construção indutiva do polinómio interpolador: começando pelo nó x 0, juntando depois x 1, e assim sucessivamente, mas aproveitando os a k s gerados numa fase para a fase seguinte. Exemplo Determinar o polinómio interpolador de grau 3, na forma de Newton, que interpola os valores seguintes: Slide 20 Resolução: a 2 x y a 0 y 0 1 p 0 (x) 1 a 1 y 1 p 0 (x 1 ) 1 1 x 1 x p 1(x) 1 2(x 0) y 2 p 1 (x 2 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) a 3 1 (1 2 3) (3 0)(3 1) 1 p 2(x) 1 2(x 0)+1(x 0)(x 1) y 3 p 2 (x 3 ) 2 ( ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (4 0)(4 1)(4 3) 1 4 p 3 (x) 1 2(x 0) + 1(x 0)(x 1) 1 (x 0)(x 1)(x 3) 4 Então, o polinómio interpolador será dado pela expressão: p(x) 1 2x + x(x 1) 1 x(x 1)(x 3) 4

11 Interpolação polinomial 11 Diferenças divididas Como já vimos o coeficiente a k depende apenas dos valores x 0, x 1,..., x k e y 0, y 1,..., y k, o que podemos descrever através da seguinte notação: a k y[x 0, x 1,..., x k ] (2) Usando esta notação o polinómio interpolador assume a seguinte expressão: Slide 21 p n (x) y[x 0 ]+y[x 0, x 1 ]W 0 +y[x 0, x 1, x 2 ]W 1 + +y[x 0, x 1,..., x n ]W n 1 (3) Ao coeficiente y[x 0, x 1,..., x k ] dá-se o nome de diferença dividida de ordem k. Teorema 4 Os coeficientes a k do polinómio p de grau n que interpola os valores y 0, y 1,..., y n nos nós distintos x 0, x 1,..., x n são dados indutivamente pela expressão a k y[x 0, x 1,..., x k ] y[x 1,..., x k ] y[x 0,..., x k 1 ] x k x 0 Demonstração Comparemos as expressões da fórmula de Newton normal : p n (x) a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Slide 22 com: a 0 y 0 com a que usa diferenças divididas: a k y k p k 1 (x k ), k 1,..., n W k 1 (x k ) p n (x) y[x 0 ]+y[x 0, x 1 ](x x 0 )+y[x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 )+ +y[x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )(x x 1 ) (x x Uma vez que os termos em x são iguais, então para o polinómio ser o mesmo também os coeficientes destes termos têm que ser iguais, isto é, começando por a 0 : A partir de a 1 podemos concluir: y[x 0 ] a 0 y 0 y[x 0, x 1 ] a 1 y 1 y 0 x 1 x 0 y[x 1] y[x 0 ] x 1 x 0

12 Interpolação polinomial 12 A partir de a 2 : Slide 23 y[x 0, x 1, x 2 ] y[x 2 ] {}}{ y 2 (y[x 0 ] + y[x 0, x 1 ](x 2 x 0 )) (somando e subtraindo y[x 1 ]) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) y[x 2] y[x 1 ] + y[x 1 ] y[x 0 ] y[x 0, x 1 ](x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) y[x 1, x 2 ](x 2 x 1 ) + y[x 0, x 1 ](x 1 x 0 ) y[x 0, x 1 ](x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) y[x 1, x 2 ](x 2 x 1 ) y[x 0, x 1 ](x 2 x 0 x 1 + x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) y[x 1, x 2 ] y[x 0, x 1 ] x 2 x 0 Generalizando: y[x 0, x 1,..., x k ] y[x 1,..., x k ] y[x 0,..., x k 1 ] x k x 0 csqd Forma tabular das diferenças divididas Usando então o teorema 4 virá: Slide 24 y[x 0 ] y 0 y[x 0, x 1 ] y[x 1] y[x 0 ] x 1 x 0 y[x 0, x 1, x 2 ] y[x 1, x 2 ] y[x 0, x 1 ] x 2 x 0,... Sob a forma de tabela, e tomando como um exemplo um caso com 4 nós: x i y[ ] y[, ] y[,, ] y[,,, ] x 0 y 0 y[x 0, x 1 ] x 1 y 1 y[x 0, x 1, x 2 ] y[x 1, x 2 ] y[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 y 2 y[x 1, x 2, x 3 ] y[x 2, x 3 ] x 3 y 3

13 Interpolação polinomial 13 Exemplo Determinar o polinómio interpolador de grau 3, na forma de Newton, que interpola os valores seguintes: x y Slide 25 Resolução: x i y[ ] y[, ] y[,, ] y[,,, ] / Então, o polinómio interpolador será dado pela expressão: p(x) 1 2(x 0) + 1(x 0)(x 1) 1 (x 0)(x 1)(x 3) 4 1 2x + x(x 1) 1 x(x 1)(x 3) 4 Notas 1. A ordem pela quais os nós são tomados é arbitrária. Tomando outra ordem (e.g., x 2, x 1, x 3, x 0 ) obter-se-ia uma expressão diferente mas do mesmo polinómio, como é óbvio. Slide Se pretendessemos acrescentar mais algum nó aos 4 usados, bastava acrescentá-lo no fundo da tabela e calcular mais uma linha de valores. Os cálculos realizados anteriormente não seriam afectados.

14 Interpolação polinomial 14 Forma de Aitken-Neville Slide 27 Considerem-se 3 pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ). Sejam ainda p 0,1 (x) o polinómio de grau 1 que interpola (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ), e p 1,2 (x) o polinómio que interpola (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ). Construa-se agora um polinómio p 0,1,2 (x) da seguinte forma: p 0,1,2 (x) (x x 0)p 1,2 (x) (x x 2 )p 0,1 (x) x 2 x 0 Quanto vale este polinómio em x x 0, x x 1 e x x 2? Slide 28 x x 0 p 0,1,2 (x 0 ) 0 (x 0 x 2 )p 0,1 (x 0 ) x 2 x 0 p 0,1 (x 0 ) y 0 x x 1 p 0,1,2 (x 1 ) (x 1 x 0 )p 1,2 (x 1 ) (x 1 x 2 )p 0,1 (x 1 ) x 2 x 0 (x 1 x 0 )y 1 (x 1 x 2 )y 1 x 2 x 0 x 1y 1 x 0 y 1 x 1 y 1 + x 2 y 1 x 2 x 0 y 1 x x 2 p 0,1,2 (x 2 ) (x 2 x 0 )p 1,2 (x 2 ) 0 x 2 x 0 p 1,2 (x 2 ) y 2 Ou seja, p 0,1,2 (x) interpola os 3 pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ).

15 Interpolação polinomial 15 Este polinómio pode ser escrito de uma forma mais simples com o auxílio de um determinante: p 0,1 (x) x x 0 p 1,2 (x) x x 2 p 0,1,2 (x) x 0 x 2 Slide 29 Esta expressão pode ainda ser generalizada para um polinómio de grau k (a passar por k + 1 pontos), incluindo a própria construção dos polinómios p 0,1 (x) e p 1,2 (x). O facto de p i (x i ) y i e p i,i+1(x i ) y i p i,i+1 (x i+1 ) y i+1 leva a que seja usual utilizar a seguinte notação: y i (x) em vez de p i (x) (polinómios de grau 0) e p i,i+1,i+2 (x i ) y i p i,i+1,i+2 (x i+1 ) y i+1 p i,i+1,i+2 (x i+2 ) y i+2 Slide 30 y i,i+1 (x) em vez de p i,i+1 (x) (polinómios de grau 1) y i,i+1,i+2 (x) em vez de p i,i+1,i+2 (x) (polinómios de grau 2) o que conduz às seguintes expressões: y 01 (x) y 0 x x 0 y 1 x x 1 y 12 (x) x 0 x 1 y 1 x x 1 y 2 x x 2 y 012 (x) x 1 x 2 y 01 (x) x x 0 y 12 (x) x x 2 x 0 x 2 Interpolação linear iterada.

16 Interpolação polinomial 16 Exemplo Determine o valor do polinómio interpolador de grau 3,no ponto x 2, que interpola os valores seguintes: x y Resolução: Slide y 01 (2) 3 y 12 (2) 0 y 23 (2) y 012 (2) 1 y 123 (2) y 0123 (2) Interpolação inversa Interpolação directa: x 0, x 1,..., x n nós pertencentes ao intervalo Ω. y 0, y 1,..., y n valores nodais de uma função f C(Ω), desconhecida. Slide 32 Se f possuir inversa, como é o caso de f ser estritamente monótona, pode-se escrever que g : x g(y), em que g é a função inversa, e pode-se fazer Interpolação inversa: y 0, y 1,..., y n nós. x 0, x 1,..., x n valores nodais da função g. O polinómio interpolador será tal que: p(y i ) x i

17 Interpolação polinomial 17 Exemplo de aplicação de interpolação inversa Determinar aproximadamente o zero da função f(x) ln(1 + x 2 ) e x no intervalo [0, 1]. Resolução: Slide 33 O zero de uma função é o valor de x para o qual y 0. Uma forma de resolver o problema seria pois achar g, a função inversa de f, que existe uma vez que f é estritamente crescente no intervalo dado, e calcular g(0). Em vez disso vamos fazer uma interpolação inversa e usar o polinómio assim obtido para achar o zero. Para tal vamos arbitrar alguns nós e determinar o respectivo valor nodal: x y f(x) Para fazer a interpolação inversa vamos usar a fórmula de Newton: Slide 34 y x Então, o polinómio interpolador (de grau 3) de g é: p(y) (y + 1) (y + 1)(y ) (y + 1)(y )(y ) Pelo que x g(0) p(0) Para verificar este resultado: f( ) Como aumentar a precisão?

18 Interpolação polinomial 18 Interpolação com nós equidistantes Em muitas aplicações os nós são equidistantes, isto é, designando por h a distância entre dois nós sucessivos: x k x 0 + kh, k 0, 1,..., n Slide 35 No caso da fórmula de Newton, esta pode ser simplificada pela consideração desta restrição da equidistância dos nós. Assim, em vez de diferenças divididas consideraremos diferenças finitas: Definição 4 A diferença finita de ordem k da função f no ponto x é dada por: 0 f(x) f(x) f(x) f(x + h) f(x) k f(x) k 1 f(x + h) k 1 f(x) Existe uma relação próxima entre as diferenças divididas e as finitas. Diferenças finitas Teorema 5 A diferença dividida de ordem k da função f nos nós equidistantes x i, x i+1,..., x i+k é dada por f[x i, x i+1,..., x i+k ] 1 k!h k k f i Slide 36 O polinómio que interpola os valores y i,..., y i+n nos nós equidistantes x i,..., x i+n, escrito sob a forma de Newton, terá a seguinte expressão: p(x) n k k 1 f i k!h k (x x i+j ) k0 j0

19 Interpolação polinomial 19 Erros de interpolação Qual é o erro que se comete quando se aproxima uma função por um polinómio? É possível estabelecer um majorante para o afastamento do polinómio interpolador da função original? Slide 37 Teorema 6 Seja f C n+1 (Ω) e p n o polinómio de grau n que interpola f nos nós distintos x 0, x 1,..., x n contidos no intervalo Ω. Então, para qualquer ponto x Ω, existe um valor ζ Ω dependente de x 0, x 1,..., x n, de x e de f, tal que e n (x) f(x) p n (x) 1 (n + 1)! f n+1 (ζ)w n (x) Demonstração: Seja x Ω x {x 0, x 1,..., x n }. Seja ainda p n+1 o polinómio que interpola f nos pontos x 0, x 1,..., x n, x. Slide 38 Recorrendo à expressão construtiva da fórmula de Newton e às diferenças divididas, pode-se escrever que p n+1 (x) p n (x) + f[x 0, x 1,..., x n, x]w n (x) de onde resulta directamente f(x) p n+1 (x) p n (x) + f[x 0, x 1,..., x n, x]w n (x) e n (x) f(x) p n (x) f[x 0, x 1,..., x n, x]w n (x)

20 Interpolação polinomial 20 Slide 39 É possível relacionar as diferenças divididas de ordem k com a derivada da mesma ordem de f: Para k 1 obtemos o bem conhecido teorema do valor médio. ζ Ω : f[x 0, x 1,..., x k ] 1 k! f (k) (ζ) Para o caso geral basta construir uma função e k (x) f(x) p k (x). Esta função anula-se em pelo menos k + 1 pontos (os pontos onde f(x) p n (x) os nós de interpolação), pelo que a sua primeira derivada se anula em pelo menos k pontos (se tem k + 1 zeros tem k máximos ou mínimos, que são pontos onde a primeira derivada se anula) e a sua derivada de ordem k tem pelo menos um zero: o ponto ζ. Utilizando esta relação entre f[x 0,..., x n ] e f n+1, obtemos directamente o teorema 6. Uma vez que o ponto ζ é desconhecido, o máximo que poderemos fazer é majorar a expressão: Slide 40 e n 1 (n + 1)! [f (n+1) (x)] max [W n (x)] max Sendo h o espaçamento máximo entre nós consecutivos este majorante para o erro toma a forma: e n 1 4(n + 1) [f (n+1) (x)] max h n+1

21 Interpolação polinomial 21 Exemplo Pretende-se construir uma tabela para a função f(x) ln x no intervalo [1, 2] com nós equidistantes e de modo a que o erro cometido quando se interpola linearmente nesta tabela não exceda em valor absoluto Determinar o espaçamento h dos nós. Slide 41 Resolução: Para a interpolação linear (n 1) temos: e [f (x)] max h 2 Como se pretende que e , basta fazer: [f (x)] max h Quanto à segunda derivada de f, f (x) 1 x 2, no intervalo em causa, é máxima para x 1. Então: h h Algumas questões Seja p n (x) um polinómio interpolador. Quando n o erro tende para zero? Slide 42 Não. Embora seja verdade que qualquer função contínua pode ser aproximada por polinómios com a precisão que se pretender, não é verdade que esses polinómios possam ser sempre obtidos por interpolação. ns elevados provocam garndes oscilações de p n (x): rigidez dos polinómios. O erro mantém-se constante dentro do intervalo de interpolação? Não. O erro depende de W n (x), pelo que depende da distância do ponto x aos nós de interpolação. Ora esta função apresenta maiores valores absolutos nos extremos do intervalo de interpolação. Então: preferencialmente deve-se usar p n (x) na zona central do respectivo intervalo de interpolação; a extrapolação deve ser encarada com muito cuidado.