- Métodos numéricos. - Métodos analíticos versus métodos numéricos. - Necessidade de se usar métodos numéricos. - Métodos iterativos

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1 Tópicos Tópicos - Métodos numéricos - Métodos analíticos versus métodos numéricos - Necessidade de se usar métodos numéricos - Métodos iterativos - Resolução de problemas - Problemas com equações não lineares - Problemas com equações lineares - Interpolação polinomial - Aproximação polinomial Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 1/11

2 Métodos numéricos Métodos numéricos - Conduzem com eficiência - a soluções aproximadas de um modelo matemático (e de um sistema real) - São usados pelos modelos matemáticos para se obter soluções numéricas de problemas quando, - não se pode ou - não se deseja usar métodos analíticos. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 2/11

3 Métodos analíticos versus métodos numéricos Métodos analíticos versus métodos numéricos - Um método analítico para resolver um dado modelo matemático é qualquer método - baseado na análise matemática rigorosa, e - cuja aplicação conduz a uma solução verdadeira (exata) ou analítica do modelo. - Método numérico para resolver um dado modelo matemático é qualquer método - baseado na análise matemática rigorosa, - cuja aplicação, na maioria dos casos, conduz a uma solução aproximada (não exata) ou numérica. - Em alguns casos (mas raros) um método numérico pode dar uma solução exata. - Em resumo: - soluções analíticas são exatas, enquanto que - soluções numéricas são aproximadas Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 3/11

4 Necessidade de se usar métodos numéricos Necessidade de se usar métodos numéricos - Porquê aprender métodos numéricos? - Os métodos numéricos são necessários? - A partir da distinção apresentada antes (método analítico vs método numérico), pode-se ser levado a concluir que - é suficiente usar métodos analíticos na resolução de modelos matemáticos, ou que - não há necessidade de aprender métodos numéricos pois eles conduzem apenas a soluções aproximadas. - Tal conclusão é enganadora. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 4/11

5 Necessidade de se usar métodos numéricos - Precisamos de aprender métodos numéricos pelas seguintes razões: - Porque existem situações em que é preferível um método numérico ao analítico; por exemplo, se a solução para um modelo envolve vários cálculos muito demorados. - Porque a maioria dos problemas reais são, em geral, complexos e envolvem fenómenos não lineares, pelo que os conhecimentos matemáticos podem não ser suficientes para se obter uma solução do problema. - Porque quando os dados do problema requerem um tratamento que inclua, por exemplo, diferenciação ou integração, terá de ser feito através de um método numérico. - Como em geral o problema real é demasiado complexo para ser tratado analiticamente, deve-se - construir modelos aproximados ou - obter soluções aproximadas. - Nos modelos aproximados, - implica alterar e simplificar o modelo por forma a torná-lo tratável e, assim, - obter uma solução exata de um modelo aproximado. - Para se obter soluções aproximadas, deve-se - usar métodos numéricos e assim - produzir soluções aproximadas para o sistema real. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 5/11

6 Métodos iterativos Métodos iterativos - Os métodos iterativos estão associados aos conceitos de - iteração e - aproximação local. - Iteração (ou aproximação sucessiva) significa a repetição sucessiva de um processo. - Aproximação local - consiste em aproximar uma função por outra que seja de manuseio mais simples; - exemplo: aproximar uma função não linear por uma função linear num determinado intervalo. - Um método iterativo caracteriza-se por envolver os seguintes elementos: - aproximação inicial, que consiste numa primeira aproximação para a solução do problema numérico, e - teste de paragem, que é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado. - Define-se sequência de números, { x k } k = 1, 2,, como uma transformação do conjunto dos inteiros positivos no conjunto dos reais. - Sequência iterativa gerada por f é a sequência resultante: x k = f( x k 1,... ) Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 6/11

7 Métodos iterativos - Este processo gera uma sucessão de aproximações x k, cada uma com erro associado: e k = a - x k, sendo a um zero da função f; isto é, f(a) = 0. - A sequência iterativa diz-se convergente se lim k ou seja, lim k x k = α e k = 0. - Um método iterativo - é definido por uma equação iterativa, - com a qual se constrói aproximações à solução do problema. - A implementação da equação iterativa obriga - ao conhecimento de uma aproximação inicial e - à definição de um conjunto de condições que garantam que a aproximação calculada, numa certa iteração, se encontra suficientemente próxima da solução. - Quando estas condições forem verificadas, pode-se parar o processo. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 7/11

8 Métodos iterativos - Antes de se iniciar o processo iterativo, deve-se ter resposta para as seguintes questões: 1. Interessa saber se o método iterativo converge ou não para a solução procurada. Devem-se analisar as condições necessárias e suficientes de convergência do método. 2. Tendo a garantia da convergência do método, deve-se saber qual a razão de convergência. 3. A implementação de um método iterativo exige a realização de um número infinito de operações para se chegar à solução - critério de paragem. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 8/11

9 Métodos iterativos - Razão de convergência: - seja {x k } uma sucessão convergente para a; - se existirem constantes positivas P e C tais que, - Quanto lim k α x k+1 α x k P = C então diz-se que a sucessão {x k } é convergente para a de ordem P com uma constante de convergência assimptótica igual a C: - P = 1, linear/1ª ordem (C < 1); dígitos ganhos por iteração: constante. - P > 1, super-linear; dígitos ganhos por iteração: aumenta. - P = 2, quadrática/2ª ordem; dígitos ganhos por iteração: duplica. maior for a ordem de convergência de um método iterativo, menor será, em princípio, o número de iterações necessárias para atingir uma dada precisão. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 9/11

10 Métodos iterativos - Critério de paragem: - Face aos recursos limitados disponíveis, o processo iterativo deve terminar após um número finito de operações. - As condições de paragem, se verificadas, dão mais garantia de proximidade à solução. - O valor obtido na última iteração é a melhor aproximação calculada. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 10/11

11 Resolução de problemas Resolução de problemas - Os problemas reais que podem ser resolvidos usando métodos numéricos podem ser modelados matematicamente das seguintes forma: - através de uma equação não linear; - através de uma equação linear; - através de um sistema de equações não lineares; - através de um sistema de equações lineares. - As funções associadas às equações matemáticas podem ser obtidas de 3 formas: - diretamente (já conhecidas); - por interpolação a partir de vários pontos conhecidos; - por aproximação a partir de vários pontos conhecidos. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos 11/11

12 Tópicos Tópicos - Forma geral do problema - Características do problema - Raízes e multiplicidade - Métodos iterativos - Localização e separação das raízes - Estimativa para o erro de truncatura - Critérios de paragem - Método da Bissecção - Método da Falsa Posição (ou da Corda Falsa) - Método do Ponto Fixo - Método de Newton-Raphson - Método da Secante Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 1/41

13 Forma geral do problema Forma geral do problema - Uma equação não linear na variável x é representada na forma f(x) = 0, em que f : R R é uma função contínua não linear em x R; a variável x diz-se independente, e a variável y = f(x) é a variável dependente. - Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar - as raízes da equação f(x) = 0, ou - os zeros da função f(x). - Na representação gráfica da função f(x) no plano XOY, - os pontos de interseção da curva f(x) com o eixo dos XX definem as raízes reais de f(x) = 0. - As raízes podem ser - raízes reais e/ou - complexas. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 2/41

14 Características do problema Características do problema - Existem dois tipos de de equações não lineares: - as algébricas e - as transcendentes. - As equações algébricas - envolvem apenas as operações aritméticas básicas, - um caso particular é a forma polinomial p n (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x +a 0 = 0, em que a i são números reais ou complexos. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 3/41

15 Características do problema - As equações transcendentes - Envolvem funções - polinomiais - trigonométricas, - exponenciais, - logarítmicas, Exemplos: - f(x) = x e x = 0, - f(x) = (2x + 1) 2 4cos(πx) = 0. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 4/41

16 Características do problema - Um problema diz-se direto, - se para x = p, pretende-se calcular o correspondente valor de f(p); - problema que não oferece qualquer dificuldade - Um problema diz-se inverso, - se o objetivo é determinar os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 0; - problema que requer, na maioria dos casos, a utilização dum método numérico. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 5/41

17 Zeros (raízes) e multiplicidade Zeros (raízes) e multiplicidade - Se f(a) = 0 diz-se que a é - uma raiz da equação f(x) = 0 (ou um zero da função f(x)) - um zero pode ser de três tipos: a) simples: f(a) = 0 b) duplo: f(a) = f'(a) = 0 c) triplo: f(a) = f'(a) = f''(a) = 0 lim x α f(x) x α k = c < - Definição: A multiplicidade de um zero a da função f(x) é o supremo m dos valores k tais que, Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 6/41

18 Zeros (raízes) e multiplicidade Se m = 1 o zero diz-se simples, se m = 2 o zero diz-se duplo, - Teorema: Se a for um zero da função f(x) e se f(x) for m vezes diferenciável em a então a multiplicidade de a é m se e só se, f(a) = f'(a) =... = f (m-1)' (a) = 0, mas f (m)' (a) 0. - Exemplos: - f(x) = sin(x), f(0) = 0 mas f'(0) 0, portanto m = 1. - f(x) = 1 - cos(x), f(0) = f'(0) = 0 mas f''(0) 0, portanto m = 2. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 7/41

19 Utilização de métodos iterativos Utilização de métodos iterativos - A maior parte dos métodos numéricos pertence à classe dos métodos iterativos. - Os métodos para resolver o problema f(x) = 0 podem ser classificados em dois grupos: - os métodos de encaixe e - os métodos de intervalo aberto. - Os métodos de encaixe caracterizam-se por - definir, em cada iteração, um intervalo que contém a raiz e - construir, para a iteração seguinte, um intervalo encaixado neste que contém a raiz. - Como os intervalos estão encaixados uns nos outros, têm amplitudes sucessivamente menores. - Exemplos de métodos de encaixe: da Bissecção e da Falsa Posição. - Nos métodos de intervalo aberto - não é necessário definir um intervalo que contenha a raiz. - O processo iterativo pode ser iniciado com uma única aproximação à raiz (ou duas). - A convergência destes métodos depende dos valores iniciais atribuídos na primeira iteração. - Exemplos: do Ponto Fixo, de Newton-Raphson e da Secante. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 8/41

20 Utilização de métodos iterativos - Independentemente do método utilizado, muitas vezes é possível obter um majorante para o erro. - Teorema: Seja Se a a raiz exata e x k um valor aproximado da raiz da equação f(x) = 0 com a, x k [a, b]. f(x) for diferenciável em [a, b] e f'(x) m > 0, x [a, b] então, α x k f(x k ) m. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 9/41

21 Localização e separação das raízes Localização e separação das raízes - Para se aplicar um método iterativo é necessário conhecer uma aproximação inicial. - Para certos métodos, para haver convergência, a aproximação inicial deve estar suficientemente próxima da raiz. - Deste trabalho de análise feito à priori depende do sucesso na resolução do problema. - Assim, antes de se aplicar um método iterativo, - é necessário obter uma aproximação inicial, - o que exige a separação das possíveis raízes em intervalos tão pequenos quanto possível. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 10/41

22 Localização e separação das raízes - O método mais prático consiste em analisar - a representação gráfica de f(x), ou - a combinação dos termos que formam a sua expressão analítica. - Se o gráfico de f pode ser esboçado facilmente, então são obtidas geometricamente estimativas para os zeros da função. - Se a equação f(x) = 0 pode ser escrita na forma g(x) = h(x) onde g e h são facilmente representadas graficamente, então os pontos a tais que g(a) = h(a) verificam f(a) = 0. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 11/41

23 Localização e separação das raízes - O processo consiste no seguinte: - escolher um intervalo [a, b] onde se estima estar um zero da função (ou seja, que contenha um ponto de interseção das duas funções); - verificar que existe um ponto de interseção das duas funções no intervalo (a, b). Confirmar esta observação, com base nos dois resultados seguintes: 1. Se f(x) - é uma função real e contínua em [a, b], sendo a e b números reais, - tendo f(a) e f(b) sinais contrários, f(a).f(b) < 0, então - existe pelo menos uma raiz real entre a e b. 2. Se f'(x) - existe, - é contínua e - mantém o sinal no intervalo [a, b], então - existe no máximo uma raiz em [a, b]. Portanto, se estas duas condições se verificarem, então existe uma raiz em [a, b] e é única. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 12/41

24 Localização e separação das raízes - Por exemplo, para f(x) = x - e x, - escolher o intervalo (-1, 0) como contendo o ponto de interseção das duas funções; - verificar que existe um ponto de interseção de x com e x no intervalo (-1, 0), com base nos dois resultados mencionados: f(x) C((-1, 0)) f(-1) = > 0 e f(0) = -1 < 0 f'(x) = -1 e x < 0 em todo o intervalo (-1, 0) Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 13/41

25 Localização e separação das raízes - Chamam-se números de Rolle da equação f(x) = 0, definida em D R, ao conjunto - dos pontos fronteira de D e - dos zeros da função derivada de f (ou seja, as raízes de f'(x)). - Quando ordenados por ordem crescente, - entre dois números de Rolle consecutivos existe no máximo uma raiz real da equação. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 14/41

26 Estimativa para o erro de truncatura Estimativa para o erro de truncatura - Seja { x k } k = 1,2,... uma sequência de aproximações convergindo para uma raiz real simples a de f(x) = 0. - Aplicando o TVM deduz-se uma expressão que dá um limite para o erro na aproximação x k para a : k f(x k ) M 1, em que a constante M 1 > 0 com f'(x) M 1 para x N r (a) = [ a - r, a + r ] [a, b] Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 15/41

27 Critérios de paragem Critérios de paragem - Há duas possíveis interpretações computacionais para resolver a equação f(x) = 0: - calcular um valor x k muito próximo de a onde f(a) = 0; - calcular x k tal que f(x k ) é muito pequeno (muito próximo de zero). - Assim, o critério de paragem dos métodos iterativos contém três parâmetros: 1, 2 e kmax. - O objetivo é terminar o processo após o cálculo de x k quando x k x k 1 1 ( ou x k x k 1 1 x k ) ou f(x k ) 2 ou k = kmax em que, - e 1, serve para verificar a proximidade de x k em relação a a (um zero da função), - e 2, serve para verificar se f(x k ) está próximo de 0 (f(x k ) 0), e - k, serve para verificar se atingiu o máximo de iterações predefinido, kmax. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 16/41

28 Método da Bissecção Método da Bissecção - Método baseado no teorema do valor intermédio - Consiste no seguinte: - partir de um intervalo [a, b] que contém a raiz, - construir uma sucessão de intervalos, sendo cada um deles é o semi-intervalo do anterior que contém a raiz. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 17/41

29 Método da Bissecção Seja [a, b] D e f(a).f(b) < 0. Então (a, b) contém uma raiz real de f(x) = 0. Seja I 0 = [a, b] e x 0 o ponto médio de I 0. Se f(a).f(x 0 ) < 0 então (a, x 0 ) contém uma raiz senão (x 0, b) contém uma raiz. Suponha-se que f(a).f(x 0 ) < 0. Seja I 1 = [a, x 0 ] e x 1 o ponto médio de I 1. Se f(a).f(x 1 ) < 0 então (a, x 1 ) contém uma raiz senão (x 1, x 0 ) contém uma raiz. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 18/41

30 Método da Bissecção - Algoritmo para o método da Bissecção - Objetivo: Calcular uma raiz real de f(x) = 0 em [a, b], a (a, b) - Parâmetros de entrada: a, b, e 1, e 2 R +, kmax N; com f(a).f(b) < 0 fa f(a) k 0 repita m (a + b) / 2 fm f(m) se fa.fm < 0 então { a (a, m) } b m senão { a (m, b) } a m fa fm fim_se k k + 1 se ( a b < e 1 ) ou ( fm < e 2 ) ou (k > kmax) então escolher a (a, b) interromper fim_se fim_repita { a (a, b) e a b < e 1 ou fm < e 2 ou k > kmax } Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 19/41

31 Método da Bissecção - Para um dado erro absoluto e 1, em cada iteração k, utilizou-se o teste: b k a k de modo a que o erro cometido seja inferior à semi-amplitute do intervalo. - Deste modo, sendo c k os sucessivos pontos médios, c 1 α b a ; 2 c 2 α b a 2 2 ;... ; c n α - é possível estimar o número n de iterações necessárias, b a 2 n - para garantir uma aproximação da raiz com um erro absoluto máximo de e: b a 2 n 1. - Ou seja, 2 n b a ln ( ln(2 n ) ln( (b a)/ 1 1) (b a) / 1) n ln 2. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 20/41

32 Método da Bissecção - Exemplo: f(x) = x - e x, com e 1 = 10-6 e tomando [a, b] = [-1, 0]: k a k b k k a k b k A raiz da equação em estudo encontra-se no intervalo ( , ); - O ponto médio é que é um valor aproximado da raiz com um erro absoluto menor que 10-6 ; - O processo terminou na iteração k = 20, em que b a 2 n = , ou seja, n ln ( (b a) / 1) ln 2 = Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 21/41

33 Método da Bissecção - As vantagens do método da Bissecção são: - converge sempre (desde que exista raiz no intervalo inicial); - possibilidade de prever um majorante para o erro cometido ao fim de um certo número de iterações; - custo computacional de cada iteração muito baixo. - As desvantagens do método da Bissecção: - a maior está na sua convergência, que é muito lenta (muitas iterações) relativamente a outros métodos: - a ordem de convergência do método da Bissecção é linear (P = 1), - a constante de convergência é igual a 1/2 (C = 1/2). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 22/41

34 Método da Falsa Posição (da Corda Falsa) Método da Falsa Posição (da Corda Falsa) - Pode ser encarado como um melhoramento do método da Bissecção. - Em vez de se determinar o ponto médio, é determinado um ponto c k resultante da interseção - da secante que passa pelos pontos (a k, f(a k )) e (b k, f(b k )) - com o eixo dos XX. - A partir da equação da secante, y f(b k ) = f(b k ) f(a k ) b k a k ( x b k) e fazendo y = 0 obtém-se, c k = b k f(b k ) f(b k ) f(a k ) ( b k a k) Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 23/41

35 Método da Falsa Posição (da Corda Falsa) Algoritmo para o método da Falsa Posição Objetivo: Calcular uma raiz real de f(x) em [a,b], a (a,b) Parâmetros de entrada: a, b, e 1, e 2 R +, kmax N; com f(a).f(b) < 0 fa f(a) k 0 repita m = b f(b) (b a) f(b) f(a) fm f(m) se fa.fm < 0 então { a (a, m) } b m senão { a (m, b) } a m fa fm fim_se k k + 1 se ( a b < e 1 ) ou fm < e 2 ) ou (k > kmax) então escolher a (a, b) interromper fim_se fim_repita { a (a, b) e a b < e 1 ou fm < e 2 ou k > kmax } Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 24/41

36 Método do Ponto Fixo Método do Ponto Fixo - Pretende-se determinar a solução a de uma equação não linear da forma, x = g(x). - Dada uma equação na forma f(x) = 0 é sempre possível fazer, x = x + f(x), em que g(x) = x + f(x). - De uma forma mais geral pode-se considerar, g(x) = x + c(x).f(x) onde c(x) é uma função - contínua, - não nula e - limitada no intervalo [a, b], contendo a raiz a de f(x) Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 25/41

37 Método do Ponto Fixo - Definição: Um ponto fixo de uma função g(x) é um número real a tal que a = g(a). Dada uma aproximação inicial x 0 [a, b], calcula-se uma sucessão { x k } a tal que, x k+1 = g(x k ), k = 0, 1, 2,... - Geometricamente os pontos fixos da função y = f(x) são os pontos de intersecção de y = g(x) com y = x. Assim, se f(x) = 0 x = g(x), então determinar a raiz de f(x) = 0 em [a, b] é procurar o ponto fixo de g(x) em [a, b]. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 26/41

38 Método do Ponto Fixo - Exemplo: o cálculo de a consiste na sucessão de aproximações x k+1 = 1 2( a x k + x k ) - Experimente-se para a = 16, começando com x 0 = 10: O método utilizado tem por base a equação, x = g(x) = 1 2( a x + x ) - que é equivalente a x 2 = a e - consiste na pesquisa de um ponto fixo da função g(x). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 27/41

39 Método do Ponto Fixo - Para a = 16 a função g(x) tem dois pontos fixos, em x = 4 e x = -4. Ao partir-se de uma estimativa inicial negativa, o método encontra a raiz negativa de Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 28/41

40 Método do Ponto Fixo Teorema (quando existe ponto fixo) Seja g(x) C([a, b]). Se para todo o x [a, b], se verifica que g(x) [a, b] (isto é, g é uma contração) então g(x) tem pelo menos um ponto fixo em [a, b]. Teorema (quando é único o ponto fixo): Se g'(x) está definida em [a, b] e existe uma constante positiva L < 1, tal que g'(x) L para todo o x [a, b], então g(x) tem um único ponto fixo em [a, b]. Teorema do Ponto Fixo (quando converge o método do ponto fixo): Sejam g(x), g'(x) C([a, b]), tais que g(x) [a, b] para todo o x [a, b], g'(x) < 1 para todo o x [a, b], x 0 [a, b]. Então a sucessão { x k } gerada por x k+1 = g(x k ), k = 0, 1, 2,... converge para o único ponto fixo a [a, b]. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 29/41

41 Método do Ponto Fixo Algoritmo do método do Ponto Fixo Objetivo: Calcular raiz real simples de f(x) = 0, a Parâmetros de entrada: x 0, e 1, e 2 e kmax; garantia de convergência k 0 repita k k + 1 x 1 g(x 0 ) se ( x 1 - x 0 < e 1 ) ou ( f(x 1 ) < e 2 ) ou (k = kmax) então a x 1 { aproximação obtida } interromper senão x 0 x 1 fim_se fim_repita Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 30/41

42 Método do Ponto Fixo Exemplo Determinar, com erro absoluto inferior a 5x10-5, o zero da função f(x) = 1 + x + e x no intervalo [-2, -1]. k x k x k+1 = g(x k ) d x x x x x x x x x 10-5 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 31/41

43 Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson - Em cada iteração x k - a curva y = f(x) é aproximada pela sua tangente, - a interseção da tangente com o eixo dos XX é a nova aproximação x k+1. - Equação tangente à curva no ponto (x k, f(x k )) é y = f(x k ) + f'(x k ) (x - x k ) - A interseção da tangente com o eixo dos XX determina a nova aproximação, x k+1 = x k f(x k ) f'(x k ) - A partir de uma aproximação inicial x 0 gera-se uma sucessão { x k } que deverá convergir para um zero da função. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 32/41

44 Método de Newton-Raphson - Por exemplo, para a função f(x) = x 2 a, f(x k ) x 2 x k+1 = x k f'(x k ) = x k k a 2x k = 1 2( a x k + x k ) para o caso particular de a = 16, e x 0 = 10, a sucessão das aproximações tende para um zero de f(x) = x k x k Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 33/41

45 Método de Newton-Raphson Teorema (Critérios de convergência): Seja f C 2 ([a, b]). Se (1) f(a).f(b) < 0 (2) f'(x) 0 para todo o x [a, b] (3) f''(x) não muda de sinal em [a, b] (4) f(a) f'(a) < b a e f(b) f'(b) < b a Então, para qualquer x 0 [a, b], a sucessão { x k } gerada pelo método de Newton-Raphson converge para o único zero de f em [a, b]. Observações: (1) + (2) garantem a existência de uma só solução em [a, b]; (2) + (3) garantem que a função é monótona, convexa ou côncava; (4) garante que as tangentes à curva em (a, f(a)) e (b, f(b)) intersetam o eixo dos XX em (a, b). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 34/41

46 Método de Newton-Raphson Algoritmo Objetivo: Calcular raiz real simples de f(x) = 0 Parâmetros de entrada: x 0, e 1, e 2, kmax e garantia de convergência k 0 f 0 f(x 0 ) repita x 1 x 0 f 0 / f'(x 0 ) k k + 1 f 0 f(x 1 ) se ( x 1 x 0 < e 1 )) ou ( f 0 < e 2 ) ou (k = kmax) então a x 1 { aproximação obtida } interromper fim_se x 0 x 1 fim_repita Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 35/41

47 Método de Newton-Raphson - Vantagens: - Quando converge, tem convergência quadrática. - Necessita apenas de um ponto, para estimativa inicial. - Desvantagens: - Exige uma boa aproximação inicial. Caso contrário pode divergir, ou encontrar outra raiz. - Exige o cálculo da derivada em cada iteração, o que pode ser lento ou mesmo impossível. - Exige que a derivada (no denominador) nunca se anule. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 36/41

48 Método da Secante Método da Secante - Baseia-se na aproximação de f(x) por uma reta, na vizinhança da raiz. - O ponto de interseção da reta com o eixo dos XX é uma aproximação à raiz de f(x) = 0. - Se ainda estiver longe da solução a, o processo é repetido iterativamente. - Para iniciar o processo iterativo são escolhidos dois pontos: x 0 e x 1. - O intervalo definido por eles não necessita de conter a raiz. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 37/41

49 Método da Secante - O ponto de interseção da reta, que passa pelos dois pontos, com o eixo dos XX obtém-se a partir da equação iterativa, cuja forma geral é x k+1 = x k (x k x k 1) f(x k ) f(x k 1 ) f(x ), k=1,2,... k - Embora sejam necessários dois pontos para iniciar o processo iterativo, em cada iteração são calculados - apenas um novo ponto, e - o correspondente valor da função Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 38/41

50 Método da Secante Exemplo: - Determinar aproximações para a raiz real da função x 3 2x 5 = 0, tomando como aproximações iniciais os pontos x 0 = 3 e x 1 = 2. - Foi calculada a seguinte sequência de iterações convergindo para a raiz real daquela função: x 2 = , x 3 = , x 4 = , x 5 = , x 6 = , x 7 = Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 39/41

51 Método da Secante - Para que a sequência gerada por este método convirja para uma raiz real simples de f(x) é, em geral, necessário que as aproximações iniciais, x 0 e x 1, estejam suficientemente próximas da raiz. Teorema: Seja f C 2 ([a,b]) e a uma raiz simples de f(x) = 0 em [a,b]. Então existe r > 0 tal que a sequência { x k } k = 2,3,... gerada pelo método da Secante converge sempre que x i - a < r (i = 0,1). Teorema: Seja f C 2 ([a,b]). Se (i), (ii), (iii) e (iv) do teorema sobre convergência do método de Newton-Raphson se verificam, então para x 0, x 1 [a,b] a sequência gerada pelo método da Secante converge para a único zero de f em [a,b]. Teorema (Ordem de convergência do método da Secante): A ordem de convergência é = (convergência superlinear). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 40/41

52 Método da Secante Algoritmo Objetivo: Cálculo de uma raiz real simples de f(x) = 0, a Parâmetros de entrada: x 0, x 1, e 1 (limite do erro absoluto), e 2 e kmax k 0 f 0 f(x 0 ) f 1 f(x 1 ) repita d x 1 - ( (x 0 x 1 ) / (f 1 f 0 ) ). f 1 ) x 2 x 1 d k k + 1 x 0 x 1 x 1 x 2 f 0 f 1 f 1 f(x 2 ) se ( x 1 x 0 < e 1 ) ou ( f 1 < e 2 ) ou (k = kmax) então a x 1 { aproximação obtida } interromper fim_se fim_repita Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equações Não Lineares 41/41

53 Tópicos Tópicos - Resolução de um sistema de equações linear - Utilização de métodos iterativos - Método de Jacobi - Método de Gauss Seidel Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 1/17

54 Resolução de um sistema de equações lineares Resolução de um sistema de equações lineares - Pretende-se calcular a solução de um sistema de equações lineares, cuja forma geral é, {a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n onde x 1, x 2,..., x n são as incógnitas do sistema, a ij (i, j = 1,2,..., n) são os coeficientes do sistema, b 1, b 2,..., b n são os termos independentes (ou segundos membros) do sistema. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 2/17

55 Resolução de um sistema de equações lineares - Problema: - Pretende-se determinar valores para x 1, x 2,..., x n de modo que as n equações do sistema sejam satisfeitas simultaneamente. - O sistema pode também escrever-se na sua forma matricial A x = b, ou A = [a 11 a a 1n x = a n1 a n2... a nn], [x 1... b = x n], [b 1... n] b sendo A = (a ij ) a matriz dos coeficientes, b = (b i ) o vetor dos termos independentes, e x = (x i ) o vetor das incógnitas. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 3/17

56 Resolução de um sistema de equações lineares Definição: Diz-se que um sistema de equações lineares é determinado se tem uma única solução. Teorema: Um sistema de equações lineares (escrito na sua forma matricial) é determinado se e só se verificar qualquer uma das duas condições (equivalentes): - A -1 existir (A é invertível) - det A 0 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 4/17

57 Métodos diretos Métodos diretos - Permitem calcular a solução exata com um número finito de operações aritméticas básicas. - Exemplos de métodos diretos: - Regra de Cramer, - Eliminação de Gauss, - Decomposição LU, e - Método de Choleski. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 5/17

58 Métodos iterativos Métodos iterativos - Teoricamente: - a solução é definida como um limite de uma sucessão (infinita) de vetores. - Na prática: - calcula-se apenas um número finito de vetores da sucessão, isto é, - calcula-se um número finito de iterações. - Exemplos de métodos iterativos: - método de Jacobi - método de Gauss Seidel. - Estes métodos são apropriados para sistemas de grande dimensão, cujas matrizes dos coeficientes são dispersas. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 6/17

59 Métodos iterativos - Seja A x = b um sistema de n equações em n incógnitas. (1) - A matriz A pode ser escrita na forma A = M N, (2) sendo - M e N matrizes de ordem n, e - M invertível. - Substituindo (2) na expressão (1), e mais alguns cálculos, obtém-se x = M -1 (N x + b) (3) - Assim, a solução de (3) é solução de (1). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 7/17

60 Métodos iterativos - Teorema: Se M 1 N < 1 então a sequência definida pela iteração x k+1 = M 1 (Nx (k) + b), (k = 0, 1,...) (4) converge para a solução de (3) qualquer que seja x (0) R n. - Os métodos de Jacobi e de Gauss Seidel definem-se com escolhas especiais para M e N. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 8/17

61 Método de Jacobi Método de Jacobi - Considerando a matriz dos coeficientes de (1), A = (a ij ), definem-se - D = (d ij ) uma matriz diagonal, - L = (l ij ) uma matriz estritamente triangular inferior e - U = (u ij ) uma matriz estritamente triangular superior, tais que d ij = { a ij, se i = j 0, se i j, l ij = { a ij, se i > j 0, se i j, u ij = { a ij, se i < j 0, se i j (5) - Então, A = D + (L + U) - A escolha de M = D e N = L + U resulta no método de Jacobi. - Do teorema anterior conclui-se que (e assumindo que D é invertível), se D 1 (L + U) < 1 (6) então a sequência definida pela iteração x (k+1) = D 1 ( (L + U) x (k) + b ), (k = 0, 1,...) (7) converge para a solução de (1), qualquer que seja x (0) R n. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 9/17

62 Método de Jacobi Teorema: Se a matriz dos coeficientes do sistema Ax = b de n equações em n incógnitas é estritamente diagonal dominante, então o método de Jacobi converge. Isto é, se a ii a ij j i - As componentes da iteração x (k+1) de (7) são dadas por x (k+1) n (k) = a' ij x j + b'i, (i=0,1,2,...,n) (8) j=1 j i onde, a' ij = a ij a ii, e b' i = b i a ii Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 10/17

63 Método de Jacobi Algoritmo Objetivo: resolução de Ax = b supondo satisfeitas as condições de convergência Parâmetros de entrada: x (0), e e kmax para i de 1 até n fazer x i x i (0) fim_para k 0 repita para i de 1 até n fazer y i x i fim_para para i de 1 até n fazer x i b' i a' ij y j j=1; j i fim_para k k + 1 n se (( x y < x ) ou (k=kmax)) então a x { aproximação obtida } interromper fim_se fim_repita Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 11/17

64 Método de Gauss Seidel Método de Gauss Seidel - Considere-se novamente as matrizes D, L e U, definidas em (5). - Tem-se A = (D + L) + U. - A escolha M = D + L e N = U dá o método de Gauss Seidel. - Sendo (D + L) x (k+1) = -U x (k) + b, (k = 0, 1, ) obtém-se x (k+1) = D -1 (-L x (k+1) - U x (k) + b), (k = 0, 1, ) (9) - Se (D + L) 1 U < 1 (10) então a sequência definida por (9) converge para a solução de (1) qualquer que seja x (0) R n. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 12/17

65 Método de Gauss Seidel - Se A for estritamente diagonal dominante é garantida a convergência do método de Gauss Seidel qualquer que seja x (0) R n. - As componentes de x (k+1) de (9) são dadas por i 1 (k+1) x i = j=1 n (k+1) a' ij x j (k) a' ij x j + b'i, (i = 0, 1,..., n) (11) j=i+1 - A diferença entre (11) e (8) é que no método de Gauss Seidel, no cálculo da componente i da iteração k+1 são usadas as primeiras i-1 componentes já atualizadas. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 13/17

66 Método de Gauss Seidel Algoritmo Objetivo: Resolução de Ax = b supondo satisfeitas as condições de convergência Parâmetros de entrada: x (0), e e kmax para i de 1 até n fazer x i x i (0) fim_para k 0 repita para i de 1 até n fazer y i x i fim_para para i de 1 até n fazer fim_para k k + 1 i 1 x i b' i j=1 n (a' ij x j ) j=i+1 (a' ij y j ) se (( x y < x ) ou (k=kmax)) então interromper fim_se fim_repita Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 14/17

67 Método de Gauss Seidel Exemplo - Considere-se o seguinte sistema de equações lineares {7x 3x x 5 = 1 2x 1 +8x 2 = 1 x 3 = 1 3x 1 + 5x 4 = 1 x 2 + 4x 5 = 1 2x 4 + 6x 6 = 1 - A matriz dos coeficientes é estritamente diagonal dominante; - Logo, haverá convergência para a solução do sistema usando - o método de Jacobi ou - o método de Gauss Seidel. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 15/17

68 Método de Gauss Seidel - Tomando x (0) = [1/7 1/8 1 1/5 1/4 1/6] T foram obtidos os seguintes resultados: Iteração x i Método Jacobi Método Gauss Seidel Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 16/17

69 Método de Gauss Seidel Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Problemas com Equação Lineares 17/17

70 Tópicos Tópicos - Introdução - Polinómio interpolador - Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Lagrange - Fórmula de Newton Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 1/20

71 Introdução Introdução - Seja f uma função real definida em [a, b] R, sendo conhecidos os seus valores nos pontos x 0, x 1,, x n [a, b]. - Suponha-se que se pretende calcular o valor não tabulado f(x), sendo x [a, b]. - Por exemplo, dada a tabela de valores da função log 10 seguinte x log 10 (x) x log 10 (x) Considere-se os seguintes problemas: - calcular log 10 (2.45) - determinar x tal que log 10 (x) = Qualquer um destes problemas pode ser resolvido por interpolação. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 2/20

72 Introdução - Este processo consiste em - obter uma aproximação para o valor que se pretende conhecer representando a função f por uma função simples, a função interpoladora, que assume os mesmos valores que f para certos valores do argumento em [a, b]. - Um caso particular de interpolação com grande número de aplicações é a - interpolação polinomial. - Os polinómios interpoladores - Constituem meios de aproximação de funções muito usados. - Fórmulas desenvolvidas estão na base do desenvolvimento de métodos numéricos para - o cálculo de integrais, e - a resolução de equações diferenciais. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 3/20

73 Polinómio interpolador Polinómio interpolador Definição Seja f C([a,b]) e x i [a, b] (i = 0, 1,, n). Um polinómio p que assume os mesmos valores que f nos pontos x 0, x 1,, x n, isto é, que satisfaz p(x i ) = f(x i ), (i = 0, 1,, n) chama-se polinómio interpolador de f nos pontos x 0, x 1,, x n. Problema: Dado um conjunto de pontos, (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) com x i x j para i j, e com i, j = 0, 1,..., n determinar uma função interpoladora f tal que f(x i ) = y i, i = 0, 1,..., n Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 4/20

74 Polinómio interpolador - Para um dado o conjunto de pontos duas possíveis soluções seriam: Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 5/20

75 Polinómio interpolador - Terminologia associada a esta problemática: - Os valores x 0, x 1,, x n chamam-se nós de interpolação e - os respetivos y 0, y 1,..., y n são os valores nodais. - O conjunto { (x i, y i ), i = 0, 1,, n } chama-se suporte de interpolação. - { f(x i ) = y i, i = 0, 1,, n } é a função de interpolação nesse suporte. - Existem vários tipos de funções de interpolação, tais como: - Interpolação polinomial f(x) = a n x n a 1 x + a 0 - Interpolação trigonométrica f(x) = a -M e -imx a a M e imx onde M é um inteiro igual a n/2 se n é par e (n-1)/2 se n é ímpar, i é a unidade imaginária - Interpolação racional f(x) = a k x k a 1 x + a 0 a k+1 x n a k+n x +a k+n+1 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 6/20

76 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Lagrange Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Lagrange Definição: Designam-se por polinómios de Lagrange associados aos nós x 0,..., x n, os polinómios de grau n dados por, n L k (x) = i =0 i k x x i x k x i, k=0,1,...,n Teorema: O polinómio interpolador p n de grau menor ou igual a n que interpola os valores nodais y 0, y 1,..., y n nos nós distintos x 0, x 1,..., x n é dado por, Exemplo: n p n (x) = L k (x) y k. k = 0 - Construir o polinómio interpolador de grau menor ou igual a 3 que interpola os seguintes valores: x i y i Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 7/20

77 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Lagrange - Os polinómios de Lagrange associados aos nós: x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 4 obtêm-se diretamente da definição anterior, L 0 (x) = (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) (x 0 x 3 ) = 1 12 (x 1) (x 3) (x 4) L 1 (x) = (x x 0 ) (x x 2 ) (x x 3 ) (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) = 1 6 x (x 3) (x 4) L 2 (x) = (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 3 ) (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) (x 2 x 3 ) = 1 6 x (x 1) (x 4) L 3 (x) = (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) (x 3 x 0 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x 2 ) = 1 12 x (x 1) (x 3) - Assim sendo, nas condições do teorema, o polinómio interpolador é dado por: 3 p 3 (x)= L k (x) y k =L 0 (x)y 0 +L 1 (x)y 1 +L 2 (x)y 2 +L 3 (x)y 3 = k =0 =L 0 (x) L 1 (x)+l 2 (x)+2.l 3 (x)= = 1 12 (x 1) (x 3) (x 4) 1 6 x (x 3) (x 4) 1 6 x (x 1) (x 4) x (x 1) (x 3) Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 8/20

78 Interpolação polinomial de Lagrange - Algoritmo (fórmula de Lagrange) Interpolação polinomial de Lagrange - Algoritmo (fórmula de Lagrange) { Objetivo: cálculo de p n (z) sendo p n interpolador de f nos pontos distintos x 0, x 1,..., x n } q 0 para i desde 0 até n fazer p 1 para j desde 0 até n fazer se j i então p p.(z x j ) / (x i x j ) fim_se fim_para q q + p.y i fim_para Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 9/20

79 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Definição: A Fórmula de Newton para polinómios de grau n é dada por, p n (x) = a 0 + a 1 (x c 1 ) + a 2 (x c 1 ) (x c 2 ) + + a n (x c 1 ) (x c 2 )... (x c n ) onde os parâmetros c i, i = 1, 2,..., n são chamados centros do polinómio. Construção da Fórmula de Newton: Considerando os nós x 0, x 1,..., x n-1 como centros do polinómio, temos: p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + + a n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n-1 ) Os coeficientes a 0, a 1,..., a n vão ser determinados de modo que p n seja o polinómio interpolador nos nós x 0, x 1,..., x n dos valores nodais y 0, y 1,..., y n : p n (x 0 ) = y 0 ; p n (x 1 ) = y 1 ;... ; p n (x n ) = y n ou, se os valores nodais y i forem valores nodais de uma função f tem-se, p n (x i ) = f(x i ), i = 0, 1,..., n Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 10/20

80 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton - Partindo de, p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + + a n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n-1 ) e fazendo sucessivamente x = x 0, x = x 1,..., x = x n obtém-se os coeficientes: a 0 = f(x 0 ) a 1 = f(x 1 ) a 0 x 1 x 0 = f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 a 2 = f(x 2 ) a 0 a 1 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0... a n = f(x n ) a 0 a 1 (x n x 0 ) a 2 (x n x 0 )(x n x 1 )... a n 1 (x n x 0 )...(x n x n 2 ) (x n x 0 )(x n x 1 )...(x n x n 1 ) =... Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 11/20

81 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Cada coeficiente a k (k = 0, 1,..., n): - pode ser calculado a partir dos a i (i = 0, 1,..., k-1) já determinados. - depende exclusivamente - dos nós x 0, x 1,..., x n e - dos respetivos valores nodais y 0, y 1,..., y n - a k = f[x 0, x 1,..., x k ] em que f[x 0, x 1,..., x k ] é a diferença dividida de ordem k (k 1) entre os k+1 nós x 0, x 1,..., x k. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 12/20

82 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Definição: Para designar a diferença dividida de ordem k (k 1) entre os k+1 nós x 0, x 1,..., x k, são utilizadas indistintamente duas notações: D k f(x i ) f[ x i, x i+1,..., x i+k] onde D k f(x i ) = D k 1 f(x i+1 ) D k 1 f(x i ) x i+k x i ou f[ x i, x i+1,..., x i+k] = f[ x i+1,..., x i+k] f [ x i,..., x i+k 1] x i+k x i Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 13/20

83 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Teorema: Os coeficientes a k (k = 0, 1,..., n) do polinómio p n de grau menor ou igual a n, na forma de Newton que interpola os valores f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x k ) nos nós distintos x 0, x 1,..., x k são dados indutivamente pela expressão: a k = f[ x 0, x 1,..., x k] = f[ x 1,..., x k] f [ x 0,..., x k 1] x k x 0 - O Polinómio Interpolador com Diferenças Divididas tem assim a forma: p n (x) = f[x 0 ]+ f[x 0,x 1 ](x x 0 )+ f[x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f[x 0,x 1,...,x n ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 14/20

84 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton - Uma tabela de diferenças divididas de uma função f pode ser escrita da forma que segue (denotando-se por f i,i+j a diferença f[x i,..., x i+j ]). x D 0 / f[] D 1 / f [, ] D 2 / f [,, ] D 3 / f [,,, ]... x 0 f(x 0 ) f 0,1 x 1 f(x 1 ) f 0,2 f 1,2 f 0,3 x 2 f(x 2 ) f 1,3... f 2,3... x 3 f(x 3 ) f n-3,n f n-2,n x n f(x n ) f n-1,n Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 15/20

85 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Algoritmo (Diferenças divididas): { Objetivo: construir uma tabela de diferenças divididas de f por diagonais ascendentes sucessivas } f 0 f(x 0 ) para i desde 1 até n fazer f i f(x i ) para j desde (i-1) até 0 fazer f j,i (f j,i-1 - f j+1,i ) / (x j x i ) fim_para fim_para Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 16/20

86 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Exemplo: - Determinar o polinómio interpolador de Newton que interpola os seguintes pontos: x i y i A tabela de diferenças dividida para este caso é a seguinte: x D 0 / f[] D 1 / f [, ] D 2 / f [,, ] D 3 / f [,,, ] x 0 = 0 1 f 0,1 = -2 x 1 = 1-1 f 0,2 = 1 f 1,2 = 1 f 0,3 = -1/4 x 2 = 3 1 f 1,3 = 0 f 2,3 = 1 x 3 = 4 2 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 17/20

87 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton - Cálculo dos coeficientes a k (k = 0, 1,..., n) do polinómio interpolador na forma de Newton: f 0,1 = f[x 0,x 1 ] = f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 = = 2 1 = 2 f 1,2 = f[x 1,x 2 ] = f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 = 1 ( 1) 3 1 = 2 2 = 1 f 2,3 = f[x 2,x 3 ] = f(x 3 ) f(x 2 ) x 3 x 2 = = 1 1 = 1 f 0,2 = f[x 0,x 1,x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] = f 1,2 f 0,1 = 1 ( 2) x 2 x 0 x 2 x = 3 3 = 1 f 1,3 = f[x 1,x 2,x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 = f 2,3 f 1,2 x 3 x 1 = ( 1) = 0 5 = 0 f 0,3 = f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] = f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 0,x 1,x 2 ] x 3 x 0 = f 1,3 f 0,2 x 3 x 0 = = 1 4 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 18/20

88 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton - Depois de calculados os coeficientes do polinómio interpolador na forma de Newton, a 0 = f[x 0 ] = 1 a 1 = f[x 0, x 1 ] = -2 a 2 = f[x 0, x 1, x 2 ] = 1 a 3 = f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] = -1/4 - Determinar a fórmula geral do polinómio interpolador: p 3 (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 )(x x 1 ) +a 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) p 3 (x) = 1 + ( 2)(x 0) +1(x 0)(x 1)+( 1 4) (x 0)(x 1)(x 3) p 3 (x) = 1 2 x + x (x 1) 1 4 x (x 1)(x 3). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 19/20

89 Interpolação polinomial de Lagrange - Fórmula de Newton Observações: - A ordem pela qual os nós são tomados é arbitrária. - Se é necessário acrescentar mais algum nó aos anteriores, - basta colocá-lo no fundo da tabela e - calcular mais uma linha de valores (as diferenças divididas já obtidas mantém-se). - Se os valores nodais forem os de uma função, é possível estabelecer uma ligação importante entre - as diferenças divididas de ordem k e - a derivada da mesma ordem dessa função. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Interpolação Polinomial 20/20

90 Tópicos Tópicos - Introdução - Conceitos e resultados básicos - Aproximação dos mínimos quadrados para dados discretos Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Aproximação Polinomial 1/19

91 Introdução Introdução - Em linhas gerais, aproximar uma função é representá-la por uma outra mais simples. - Há a necessidade de aproximar uma função quando a forma com ela é definida dificulta ou impossibilita a resolução de problemas matemáticos envolvendo essa função. - São os casos de - funções conhecidas por uma tabela de alguns dos seus valores, - funções definidas como soluções de equações, ou - funções definidas explicitamente por expressões envolvendo funções transcendentes. - Pode-se estar interessado em - calcular o valor do integral da função e não conhecer a primitiva da função, ou - calcular um (ou mais) zeros da função não existindo uma fórmula que o permita fazer explicitamente, Uma forma de resolver estes problemas é - substituir a função dada por outra mais simples (por exemplo, um polinómio). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Aproximação Polinomial 2/19

92 Introdução - As classes de funções mais importantes são as - dos polinómios (incluindo polinómios segmentados), - das funções racionais (quocientes de polinómios) e - das funções de Fourier ({sen(nx), cos(nx)}, n = 0, 1, ). - Neste texto será considerada apenas a aproximação de funções por polinómios. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Aproximação Polinomial 3/19

93 Conceitos e resultados básicos Conceitos e resultados básicos - O teorema de Weierstrass estabelece que para uma certa classe de funções, as contínuas num intervalo fechado de R, existe um polinómio que aproxima a função tão bem quando se queira. Teorema (da aproximação de Weierstrass): Seja [a, b] R e f C([a,b]). Então, qualquer que seja e > 0 existe n = n(e) tal que f(x) p n (x) < e, para todo o x [a, b]. - É possível - construir aproximações polinomiais úteis sob o ponto de vista prático, e - estimar o erro de aproximação. Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Aproximação Polinomial 4/19

94 Aproximação dos mínimos quadrados para dados discretos Aproximação dos mínimos quadrados para dados discretos - Seja { (x i, y i ) }, i = 1, 2,..., m um conjunto de pares de números reais onde, y i f(x i ), i = 1, 2,..., m - A partir deste valores, pretende-se construir uma função que seja a melhor aproximação de f(x). Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Aproximação Polinomial 5/19

95 Aproximação dos mínimos quadrados para dados discretos - Tome-se como exemplo o caso linear, isto é, quando a função aproximante pretendida for uma reta y = a x + b. - Para calcular os parâmetros a e b, podem ser estabelecidos diferentes critérios, tais como: - Minimizar o erro máximo, max y i (ax i +b) i=1,...,m - Minimizar a soma dos erros, m i=1 y i (ax i +b) - Minimizar o erro quadrático, m i=1 ( y i (ax i +b)) 2 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos - Aproximação Polinomial 6/19