Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área Interdepartamental de Matemática

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1 Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área Interdepartamental de Matemática Análise Numérica Licenciaturas em Engenharia Ambiente,Civil e Química I - Equações Não Lineares. Localize graficamente as raízes reais das equações dadas, no intervalo [, 2π]: (a) sin x x = x; (b) cos x = x 3 ; (c) x cos x = 2 sin x. 2. Considere o método da bissecção. Sejam L a amplitude do intervalo [a,b] que contém uma e uma só raiz de f, e {x, x 2,...} a sucessão de pontos médios gerada pelo método. Mostre que: (a) x i+ x i = L 2 i+ ; (b) O número N de iterações necessárias para obter uma aproximação da raiz com uma precisão δ verifica a desigualdade N > log δ L log Calcule uma aproximação para 3 25 efectuando duas iterações do método da bissecção. Indique a precisão do resultado. 4. Localize graficamente as raízes das equações que se seguem, e determine um valor aproximado de uma delas utilizando o método da bissecção, com um erro que não exceda.5: (a) log (x ) x = ; (b) x ex =. 5. Determine o número de iterações necessárias para resolver f(x) = x 3 + 4x 2 = pelo método da bissecção com uma precisão ɛ = 3 no intervalo [, 2]. 6. Use o método da bissecção para determinar soluções da equação x 3 7x 2 + 4x 6 = com uma precisão ɛ = 2 em (a) [, ]; (b) [, 3.2]; (c) [3.2, 4]. 7. Use o método da bissecção para determinar uma solução com uma precisão ɛ = 5 para os seguintes problemas (a) x 2 x = para x ; (b) e x x 2 + 3x 2 = para x. 8. A componente forçada de uma tensão transitória de um dado circuito pode ser traduzida pela expressão: f(t) = e.6πt sin(2t π). Usando o método da bissecção duas vezes determine a tensão máxima deste circuito quando t varia no intervalo [, π 4 ]. 9. Considere a região do plano definida por x 2 + 4y 2 4, y e x. (a) Determine um intervalo de amplitude.5 que contenha a menor abcissa x r dos pontos de intersecção das curvas que limitam esta região.

2 (b) Quantas vezes deve usar o método da bissecção para obter uma aproximação da referida abcissa com um erro que não exceda.7? (c) Nas condições da alínea anterior obtenha uma aproximação de x r.. Os três métodos seguintes são propostos para calcular 2 /3. Ordene-os, baseados na aparente velocidade de convergência, assumindo x = (a) x n = 2x n +2/x 2 n 2 ; (b) x n = x n x3 n 2 ; (c) x n = x n x4 n 2x3 n x 2 n 2. 3x 2 n. Use o método do ponto fixo para determinar uma solução com uma precisão ɛ = 2 para 2 sin(πx) + x = em [, 2]. Use x =. 2. Determine a solução de x 3 x = em [, 2] usando o método do ponto fixo. Obtenha uma aproximação da raiz com uma precisão ɛ = Mostre que g(x) = π +.5 sin(x) tem um único ponto fixo em [, 2π]. Use o método do ponto fixo para determinar uma aproximação com uma precisão ɛ = Use o método do ponto fixo para aproximar 3 a menos de ɛ = Determine um valor aproximado para π usando o método do ponto fixo. 6. Considere a seguinte equação x 3 3 x =, x R. (a) Localize graficamente a raiz real α desta equação, num intervalo I = [a, b] de amplitude não superior a.5, e faça a sua confirmação analítica. (b) Mostre que o método iterativo x n+ = 3 xn 3, n =,, 2,..., gera uma sucessão que converge para a solução da equação dada. Determine, depois, uma aproximação para α, executando 3 iterações, partindo de x =.5 ( α x 3 ). 7. Mostre que a equação x = 2 cos x, tem uma raiz real α. Obtenha em seguida um intervalo [a, b] que a contenha, e tal que, para qualquer ponto x [a, b], a sucessão x n+ = 2 cos x n, (n =,, 2,... ) convirja para α. Justifique. 8. (a) Localize graficamente as raízes reais positivas da equação cosh x 2 + 2x =. (b) Aproxime a menor delas, usando o método de Newton (Secante) em 2 a aproximação e dando o resultado arredondado na 3 a casa décimal. 9. Considere a equação x log x 4 =, x. (a) Localize graficamente as suas raízes; (b) Aproxime a maior delas efectuando duas iterações do método da bissecção. (c) Aproxime a menor delas usando o método da Secante em 2 a aproximação e dando o resultado arredondado na 3 a casa décimal. 2. Use o método de Newton (Secante) para determinar as soluções com uma precisão ɛ = 4 para os seguintes problemas (a) x 3 2x 2 5 = em [, 4]; (b) x 3 + 3x 2 = em [ 3, 2]; (c) x cos(x) = em [, π 2 ]; (d) x.8.2 sin(x) = em [, π 2 ]. 2. O seguinte polinómio P (x) = 23x 4 + 8x 3 + 9x 2 22x 9 tem dois zeros reais, um em [, ] e outro em [, ]. Determine uma aproximação destes zeros com uma precisão ɛ = 6 usando: (a) o método de Newton; 2

3 (b) o método da Secante; (c) o método da Corda Falsa. 22. Use o método da Corda Falsa para determinar todas as raízes da equação x 2 cos(x) = com uma precisão ɛ = Localize graficamente todas as raízes reais das equações que se seguem, e aproxime a maior delas efectuando duas iterações dos métodos da bissecção e de Newton. Compare os resultados obtidos. (a) cos x.5 sin x = ; (b) x 2 log (x + ) = ; (c) x cos x =. 24. Pretende-se calcular a área limitada superiormente pela recta que passa pelos pontos de coordenadas (e, ) e (, 2) e inferiormente pela curva y = ln x. (a) Determine um intervalo de amplitude não superior a que contenha a menor abcissa dos pontos de intersecção das referidas curvas. (b) Calcule um valor aproximado do limite inferior do intervalo de integração necessário para calcular aquela área. 25. Use o método de Newton para aproximar, com erro inferior a 4 o valor de x correspondente ao ponto do gráfico de y = x 2 mais próximo de (, ). 26. Utilizando o método de Newton-Raphson determine a menor raiz positiva de cos x xe x =, ( x em radianos ) em segunda aproximação, partindo de um intervalo com amplitude inferior a um. 27. Considere a função f tal que f(x) = e x log x. x >. Determine a abcissa do seu ponto de inflexão, usando o método da Corda Falsa (duas aproximações). 28. Considere um parâmetro real k > e a função definida por { 2x se x k f(x) = log x se x > k (a) Estabeleça a equação que garante a continuidade da função f. (b) Determine o valor de k para qual f é uma função contínua, utilizando o método de Newton em segunda aproximação. 29. Considere a equação xe x x 2 + 2x = (a) Localize graficamente as suas raizes. (b) Determine uma aproximação, para a menor das raízes, efectuando duas iterações do método da Corda Falsa. (Obs: Caso não resolva a alínea anterior, utilize o intervalo [, ] para aplicar o método da Corda Falsa à equação.) 3. Considere a equação f(x) =, com f(x) = (log x) 2 x. (a) Mostre que a equação f(x) = tem uma e uma só raíz x no intervalo ], [. (b) Poderá aproximá-la pelo método iterativo de Newton? Em caso afirmativo, determine um valor positivo b tal que o método convirja para x, tomando x = b. 3

4 3. (a) Prove que a equação (x ) 2 sin x = tem uma única raíz em [, ]. (b) Aproxime essa raíz usando o método de Newton em segunda aproximação. II - Sistemas de Equações Não Lineares 32. Aplicando o método de Newton, resolva os sistemas (a) (b) (c) { x 2 y = xy = com (x, y ) = (, ) xy 3 y 4 = { 2x 3 y 2 = com (x, y ) = (.2,.7) {.x 2 +.y x =.x +.xy y = com (x, y ) = (, ) 33. O sistema não linear { x(x + 2) + 2y = 7 x 2 + (y 3) 2 = 9 tem duas soluções. Localize-as graficamente e determine-as usando o método de Newton em 2 a aproximação. 34. O sistema { x 2 2x + y 2 3 = x(6 x) + y 9 = tem duas soluções, uma das quais é [x, y] T = [3, ] T. Determine a outra solução do sistema usando o método de Newton em 2 a aproximação. 35. Aplique duas iterações do método de Newton para aproximar a solução dos seguintes sistemas de equações não lineares nos domínios dados: (a) (b) 5x + x 2 2 4x 3 = 3 x 2 + x 2 x 3 = x x 3 = 22 x 3 + x 2 x 2 x x = e x + e x 2 x 3 = x 2 2 2x x 3 = 4 com D = {(x, x 2, x 3 ): x i 2, i =, 2, 3}. com D = {(x, x 2, x 3 ): 2 x, x 2, x 3 }. { x 36. O sistema não linear 2 + y 2 = 4 y = (x ) 2 + admite duas soluções em R2. Sabendo que uma delas é (x, y ) = (, 2), localize e aproxime a outra solução usando o método de Newton em segunda aproximação. 37. Efectuando duas iterações do método iterativo de Newton para sistemas não lineares, obtenha uma aproximação para a solução do sistema F(X) = { x 2 + y 2 2x 2y + = x + y 2xy = mais próxima de [x, y ] T = [2, ] T. 4

5 38. Considere o seguinte sistema de equações não lineares { x 2 + y 2 = 4 y log x =. (a) Localize graficamente todas as soluções do sistema. (b) Determine um valor aproximado da solução do sistema com ordenada positiva, aplicando duas vezes o método de Newton. (c) Utilizando o método de Newton, determine, em segunda aproximação, a maior raiz positiva de x 2 + (log x) 2 = 4. (d) Comente os resultados obtidos nas duas alíneas anteriores. 39. Considere o seguinte sistema de equações não lineares 3x x 2 x 3 + 4x x 2 5x x 3 3 = 5 4x 2 + 5x 2 2x x x 2 3 = 4 2x x 2 + 5x 2 x x 2 x 3 = Determine um valor aproximado da solução do sistema, aplicando duas vezes o método de Newton, com x i =.5, i =, 2, 3. III - Equações Polinomiais 4. Sabendo que c é uma das raízes da equação determine as restantes. ax 5 + (b ac)x 4 bcx 3 bx 2 (a bc)x + ac =, 4. Determine a coroa circular que contém todos os zeros dos seguintes polinómios: (a) p(x) = x 4 + 4x 3 3x 3; (b) q(x) = x 3 3x 2 + x Localize, separe e calcule os zeros dos seguintes polinómios: (a) p(x) := 2x 3 64x x + 33; (b) q(x) := 27x 3 72x 2 + 6x 6; (c) r(x) := x 4 x 2 2; (d) s(x) := x 5 2x 4 + x 3 x 2 + 2x ; (e) t(x) := x 3 8x x.24; (f) u(x) := x 3 2.2x x.264; (g) v(x) := 2x 5 x 2 + 2x ; (h) w(x) := 3x 3 x 2 + 3x. Para cada um dos polinómios anteriores aplique o método da Corda Falsa para obter um valor aproximado (3 a aproximação) do maior zero. 43. Considere a equação x 3 3 x =. (a) Utilizando a regra de sinal de Descartes, que pode dizer quanto ao número de raízes reais (positivas e negativas) da equação? (b) Determine um intervalo de amplitude que contenha a maior delas. (c) Aplicando o método de Newton na determinação de uma aproximação para essa raiz, pode-se chegar a um resultado não desejável se o intervalo não for convenientemente escolhido. Explique esta afirmação no caso concreto da equação dada. (d) Determine um valor aproximado dessa raiz aplicando o método de Newton. 5

6 44. Determine m e n por forma a que a equação 2x 9 3x 8 + 9x 7 + 3x 6 7x x 4 + 6x 3 36x 2 + mx + n = admita zero como raiz dupla. Resolva, depois, a equação. 45. Considere as seguintes equações transcendentes: (a) (4 x)(5 x) = ; (b) 2 x + 4 x = 2; (c) 5 log x log(288) 3 log x 2 =. Transforme-as em equações algébricas e determine as suas soluções. 46. Considere a equação polinomial x 3 + kx 2 + 2x =, k. (a) Determine o conjunto de todos os valores de k para os quais a equação tem uma única raiz real no intervalo [,]. (b) Tome para k o menor valor inteiro positivo do conjunto obtido na alínea anterior. Faça a separação completa das raízes reais da equação dada. (c) Aproxime a menor raiz real usando o método de Newton em segunda aproximação. 47. Considere a equação polinomial x 2 + cx 2 =, c >. (a) Aplicando o método de Fourier, determine entre que valores pode variar c para que a equação tenha uma única raiz no intervalo [, 2]. (b) Aproxime essa raiz pelo método de Newton. 48. Mostre que a equação x n x n + k = não pode ter soluções inteiras quando k é ímpar. 49. Faça a separação, em intervalos de amplitude não superior a uma unidade, de todos os zeros reais de cada um dos seguintes polinómios utilizando o método de Sturm: (a) p(x) := x 3 9x 2; (b) q(x) := 2x 3 3x 2 + 6x + ; (c) r(x) := x 4 4x 2 5. Em cada alínea, determine aproximações (com duas casas decimais correctas) para os zeros localizados, utilizando um método iterativo à sua escolha. 5. Considere o polinómio p(x) := x 3 3x + k, com k R. Discuta o número e a localização das suas raízes reais em função do parâmetro k. 5. Indique, pelo método de Sturm, intervalos onde se situam as raízes da equação x 4 4x =. 52. Localize as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos dos polinómios p(x) := x 3 e q(x) := x Determine aproximações para esses pontos. 53. Discuta, em função dos parâmetros reais p e q, a natureza das raízes de p(x) := x 3 + px + q. 54. Usando o método de Sturm, determine os zeros de cada um dos seguintes polinómios: (a) p(x) := x 3 x ; (b) q(x) := x 3 + x 2 + x Considere a seguinte equação x 3 x =. (a) Utilizando a regra de sinal de Descartes faça a contagem do número de raízes reais, positivas e negativas, da equação dada. (b) Prove que todas as suas raízes reais estão no intervalo ], [. (c) Mostre que a equação tem uma raiz real no intervalo [,.2] e que todas as raízes da equação são reais. 6

7 56. Seja α a solução de x 6 = x 4 + x 3 + mais próxima de. (a) Separe α num intervalo de amplitude não superior a, justificando o procedimento. (b) Aproxime α pelo método de Newton-Raphson, efectuando duas iterações. 57. Considere o polinómio definido por p(x) := x 3 4 x x 9 6. (a) Localize e separe todos os zeros de p. (b) Determine duas aproximações para o menor zero de p usando o método de Newton. Indique o erro da aproximação. 58. Considere o polinómio P (x) = x x x 2. (a) Faça a contagem e a separação de todas as raízes reais do polinómio. (b) Utilize o método de Newton, em segunda aproximação, para aproximar a maior raíz real. 59. Considere o polinómio dado por P (x) = 9x 4 5x 3 2x 2 + 5x. (a) Localize e separe todas as raízes reais do polinómio. (b) Efectue duas iterações para aproximar a maior delas, usando o método de Newton. 6. Mostre que o polinómio p(x) = x 3 3ax possui pelo menos uma raíz real negativa, qualquer que seja o valor do parâmetro a. Para que valores de a é que as outras raízes são reais e estão no intervalo [, ]? 6. Considere a seguinte equação algébrica: x 3 + 2x 2 + x 2. (a) Utilizando a regra de Descartes, faça a contagem das raízes desta equação. (b) Mostre que existe uma única raiz daquela equação no intervalo [, 2]. (c) Pretende-se calcular um valor aproximado da raiz considerada na alínea anterior, utilizando um método iterativo, definido por uma das seguintes funções iteradoras: 2 g (x) = x 2 + 2x + ; g 2(x) = x x3 + 2x 2 + x 2 3x x + Tomando como aproximação inicial x = 2, verifique se estão satisfeitas as condições de convergência para cada um dos métodos. 62. Considere o polinómio dado por P (x) = 7x 3 3x x + 5. (a) Localize e separe todas as raízes reais do polinómio. (b) Efectue duas iterações para aproximar uma delas, usando o método da corda falsa. 63. Usando o método de Bairstow, determine os zeros de cada um dos seguintes polinómios: (a) p(x) := x 3 x ; (b) q(x) := x 3 + x 2 + x +. 7

8 IV - Sistemas de Equações Lineares 64. Considere o sistema de equações lineares: x + 5x 2 + 2x 4 = 8 x + x 2 + 3x 3 = 4x x 2 + x 3 x 4 = 3 2x x 2 + x 3 + 8x 4 =. Verifique, a partir da matriz do sistema, se pode aproximar a sua solução usando o método de Jacobi. Em caso negativo, reescreva-o por forma a poder determinar a sua solução usando o referido método. 65. Resolva o sistema de equações lineares 2x 2 3x 3 + 4x 4 = x + x 3 + x 4 = 3 2x x 2 + 3x 4 = 25 x x 2 + 3x 3 = 8 (a) usando o método de Gauss-Seidel. (b) usando o método de Jacobi. 66. Dado o sistema de equações lineares 4x + 2x 2 2x 3 = x + 3x 2 = 2x + 4x 2 + x 3 = 2 determine a sua solução usando o método de Jacobi (Gauss-Seidel). 67. Dado o sistema de equações lineares 8x + x 2 + x 3 = x 5x 2 + x 3 = 6 x + x 2 4x 3 = 7 e partindo do vector inicial x = (,, ), obtenha uma segunda aproximação para a sua solução usando o método de Jacobi (Gauss-Seidel). 68. Considere o sistema de equações lineares: α x x 2 x 3 = (a) Diga, justificando, que valores pode tomar o parâmetro real α por forma a poder aplicar o método de Jacobi à resolução do sistema dado. (b) Da análise directa da matriz dos coeficientes (e considerando α = ), que pode concluir quanto à convergência da sucessão de aproximações gerada pelo método? (c) Mostre que a sucessão referida na alínea anterior é convergente para a solução do sistema, e determine o seu valor aproximado, aplicando duas vezes o método. 6x 2 + 3x 3 = Considere o sistema de equações lineares ax + 3x 2 + 2x 3 = 4. x + 2x 2 + 8x 3 = 4. 8

9 (a) Poderá aplicar o método de Gauss-Seidel ao sistema anterior? reescreva-o de forma conveniente. Em caso negativo, (b) Determine valores de a que garantam a convergência do método de Gauss-Seidel. [ ] α 7. Pretendemos resolver o sistema x = b usando o seguinte método iterativo: α (a) Deduza o método. [ α ] [ x (k+) α = ] x (k) + b. (b) Para que valores de α é o método convergente? Justifique. (c) Considerando α = /2 e b = (, 3), determine a solução aproximada do sistema usando o método de Gauss-Seidel. Indique o erro ao fim de duas iterações. [ ] 3 7. Usando um método iterativo, determine uma aproximação para a inversa da matriz Pretende-se resolver o sistema [ 2 2 a 3 ] [ ] x = x 2 [ 5/2 /2 ] por um dos métodos iterativos estudados. (a) Justificando, determine o menor valor inteiro positivo de a, por forma a poder garantir que a sucessão de aproximações geradas pelos referidos métodos convirja para a solução. (b) A partir da aproximação [x, x 2 ] T = [5/4, /4] T, execute o número de aproximações necessárias para que o erro entre duas aproximações consecutivas não exceda 5 2 quando se utiliza o método de Jacobi. (c) Nas condições da alínea anterior, aplique o método de Gauss-Seidel e compare os resultados. [ ] [ ] Sendo A = e b =, determine todos os valores do parâmetro real α para α 4 os quais: (a) a matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas; (b) o método de Gauss-Seidel gera uma sucessão convergente para a solução do sistema. (c) Considerando α = determine uma aproximação para a solução do sistema da alínea anterior efectuando duas iterações do método de Gauss-Seidel tomando como aproximação inicial x () = (, ). 74. Considere o sistema linear Ax = b com A = 6 3 a 2 2, x = x x 2 e b =. a x 3 (a) Determine todos os valores do parâmetro a R por forma a garantir a convergência do método de Jacobi quando aplicado à resolução deste sistema. Justifique. (b) Para a = efectue duas iterações do referido método, usando a aproximação inicial x () = (,, /2). 9

10 75. Considere o sistema linear x y z = (a) Mostre que a aplicação do método de Jacobi gera uma sucessão convergente para a solução do sistema. (b) Aplique duas vezes o referido método, indicando uma estimativa para o erro cometido. 76. Considere o sistema linear x x 2 x 3 = 6 7. (a) Prove que o polinómio característico associado à matriz de iteração do método de Gauss-Seidel, quando aplicado ao sistema anterior, é (b) Localize e separe as raízes de P (λ) =. P (λ) = λ λ λ. (c) O método de Gauss-Seidel, aplicado ao sistema anterior, é convergente? Justifique. (d) Determine a segunda aproximação gerada pelo método de Gauss-Seidel, aplicado ao sistema anterior. 77. Considere um sistema de equações lineares Ax = b sendo [ ] 2 A = e b = k com k 3, cuja solução se pretende aproximar. (a) Escolha um valor para k de modo a que a aplicação do método de Jacobi gere uma sucessão convergente para a solução do sistema. Obtenha-a em segunda aproximação. (b) Determine todos os valores reais de k para os quais o método de Gauss-Seidel gera uma sucessão convergente, para a solução, independentemente do ponto inicial. 78. (a) Deduza o método de Jacobi. (b) Averigue se o método deduzido na alínea anterior gera uma sucessão convergente para a solução do sistema linear [ 2 x x 2 + 2x 3 = 6 x + x 2 x 3 + 3x 4 = 25 2x x 2 + x 3 = 3x 2 x 3 + 8x 4 = (c) Determine as duas primeiras iterações do método em questão para o sistema linear dado, partindo da aproximação inicial x = D b. 79. Pretende-se aproximar a solução do sistema de equações lineares 4x x 2 2x 3 = 2 2x + 2x 2 = 2, x + 8x 2 + 4x 3 = usando o método iterativo de Jacobi. ]

11 (a) Obtenha a matriz de iteração associada ao referido método. (b) Determine o polinómio característico correspondente a matriz calculada na alínea anterior. (c) Utilizando o resultado da alínea anterior verifique se o referido método iterativo gera uma sucessão convergente para a solução do sistema. Justifique a sua resposta. 8. Considere o sistema linear Ax = b onde A = 2 4 /2 4 6, x = x x 2 e b =. 3 6 x 3 (a) Construa a matriz de iteração ( T ) do método de Jacobi para o sistema dado. (b) Verifique se o método construído na alínea anterior é convergente e, se assim for, determine uma segunda aproximação da solução. 8. Considere um sistema de equações lineares Ax = b com 4 A = 4 e b = (a) Mostre que os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel são convergentes. (b) Determine uma segunda aproximação da solução utilizando o método de Gauss-Seidel. 82. Considere um sistema de equações lineares Ax = b sendo [ ] 2 k 4 A = e b = 3 4 com k, cuja solução se pretende aproximar. (a) Escolha um valor para k de modo a que a aplicação do método de Gauss-Seidel gere uma sucessão convergente para a solução do sistema. Obtenha-a em segunda aproximação. (b) Determine todos os valores reais de k para os quais o método de Jacobi gera uma sucessão convergente, para a solução, independentemente do ponto inicial. 83. Considere o sistema linear [ 2 x x 2 + kx 3 = 2 x + 2x 2 kx 3 = 3 kx + x 2 + x 3 = 2 Verifique se para k = o método iterativo de Gauss-Seidel é convergente e em caso afirmativo aplique-o (duas iterações), partindo da aproximação inicial [.5,.5,.5] T. 84. Pretendemos determinar uma aproximação para a solução do sistema de equações lineares Ax = b usando o método de Jacobi. Suponha que a matriz de iteração do referido método é T = k 2 (a) Determine k de modo a que o método seja convergente. (b) Escolha um valor para k, que garanta convergência do método, e determine um valor aproximado da solução do sistema linear aplicando duas vezes o método, sabendo que 2 D b = 3.. ]

12 V - Interpolação Polinomial 85. Usando a fórmula interpoladora de Lagrange, determine o polinómio P 3 (x) definido pelos pontos ( 3, ), ( 2, 2), (, ) e (3, ). Calcule depois P 3 (). 86. Determine uma aproximação de sin π 8 de grau 2 no intervalo [, π 2 ]. usando o polinómio interpolador na forma de Lagrange 87. Considere a função real f definida por f(x) := cos x, x [, π]. Determine o número de pontos a considerar no intervalo dado por forma a que o erro máximo da aproximação de f por um polinómio interpolador nesses pontos seja inferior a.5 no intervalo [, π 2 ]. 88. É dada a seguinte tabela de valores de uma certa função f: x i - -2 f(x i ) -3-4 Determine o polinómio interpolador na forma de Newton usando uma tabela de diferenças divididas. 89. É dada a seguinte tabela de valores de uma certa função f: x i f(x i ) Determine uma aproximação para o valor de f(.5) usando o polinómio interpolador na forma de Newton com: (a) diferenças divididas; (b) diferenças finitas. 9. Considere a função real f definida por f(x) := cos(πx), x D = [, 2 ]. (a) Determine os polinómios interpoladores de grau e 2 da função f, considerando em D pontos igualmente distanciados. (b) Usando a alínea (a), determine aproximações para cos ( ) π 3. (c) Qual das aproximações obtidas na alínea anterior é mais precisa? resposta. 9. Considere a tabela x i 3 4 f(x i ) a 2 4 b Justifique a sua Determine a e b por forma a que o polinómio interpolador dos dados expressos na tabela seja de grau três com coeficiente do termo de maior grau igual à unidade e tenha raízes simétricas. Escreva o polinómio. 92. Considere a seguinte tabela referente a um polinómio de grau 3: x i f(x i ) b + 3b + 2 a (a) Determine a e b. (b) Ampliando a tabela determine o valor do polinómio no ponto 4. (c) Determine o polinómio. (d) Determine uma estimativa para o erro no ponto x =.5. 2

13 93. De uma função f(x) conhece-se a tabela Determine x tal que f(x) =. x i -2-3 f(x i ) As classificações obtidas por cinco alunos num exame constituído por duas partes estão expressas na seguinte tabela: Parte I Parte II Usando interpolação polinomial, estime a classificação obtida, na Parte II, por um aluno que teve 7.5 na Parte I. 95. (a) Mostre que os valores da tabela que se segue x i r(x i ) satisfazem à equação cúbica r(x) = mx 3 + nx 2 + px + q e calcule m, n, p e q. (b) Sabendo que a equação r(x) = tem uma raiz real no intervalo [, 2], determine uma aproximação desta atendendo à tabela da alínea anterior. 96. Uma empresa apresenta os seguintes lucros em função das vendas N. de peças vendidas (milhares) Lucro (milhares de Euros) Sabendo que o lucro previsto era de 3 mil Euros, indique uma aproximação do número de peças que foi necessário vender para atingir esse lucro. 97. Considere uma função f da qual se conhecem os seguintes valores: x i -2-2 f(x i ) 6 2 β. (a) Construa a tabela que representa o polinómio interpolador; (b) Determine o valor de β R para o qual a tabela representa um polinómio de grau menor ou igual a três; (c) Determine o valor de β R para o qual o termo de maior grau do polinómio interpolador é igual a um. 98. Usando o polinómio interpolador de uma função f nos pontos (x i, f(x i )), i =,, 2, prove que onde h = x i+ x i, i =,. h f (x ) 2 [f(x 2) 4f(x ) + 3f(x )], 99. De uma função f(x) conhece-se a tabela tal que f(x ) =. x i -2 f(x i ) Determine x. Mostre que o polinómio P 3 (x) que toma os valores P 3 () = f, P 3 () = f, P 3() = f e P 3() = f, é dado por P 3 (x) = ( x) 2 ( + 2x)f + x( x) 2 f + x 2 (3 2x)f + x 2 (x )f. 3

14 . Considere a tabela x i P (x i ) Sabendo que é referente a um polinómio de grau 3 e que o valor de P (.4) vem afectado de um determinado erro: (a) determine esse erro; (b) corrija a tabela apresentada. 2. Seja α R. Os valores da tabela x i 3 4 p(x i ) α 2 4 2α dizem respeito a um polinómio p de grau três. (a) Determine α por forma a que o coeficiente do termo de maior grau do polinómio seja igual a um. (b) Nas condições da alínea anterior, calcule o valor de p(2). 3. A equação x 3 9x 2 = tem, no intervalo [3, 4], uma raiz x. Determine uma aproximação para x usando interpolação quadrática inversa. 4. Seja f uma função real de variável real da qual se conhecem os seguintes valores x i 2 f(x i ) 32 (a) Mostre que o polinómio p definido por p(x) = 5x 2 4x interpola f nos pontos (x i, f(x i )), i =, 2, 3. (b) Mostre que o polinómio q definido por q(x) = x 5 interpola f nos pontos (x i, f(x i )), i =, 2, 3. (c) Relacione e comente as afirmações das alíneas anteriores. 5. Determine o polinómio interpolador de Hermite de grau mínimo para a função f(x) = cos x em [, π 2 ]. Calcule, posteriormente, uma aproximação para cos π 4 e para sin π Determine o polinómio interpolador de Hermite de grau 5 para a função f(x) = cos x+sin x em [, π 2 ]. 7. Considere a seguinte tabela referente a uma certa função f(x) : x i f(x i ) (a) Construa o polinómio interpolador de maior grau de f(x) no intervalo [, 5]. (b) Sabendo que f () = e f () = 3, construa o polinómio interpolador de Hermite de grau 3 usando os dados da tabela que necessite. (c) Recorrendo aos três primeiros valores da tabela, obtenha o valor de x tal que f(x ) =. 8. Construa o polinómio interpolador de uma função f(x) para o suporte f() =, f () = 2, f() =, f () =, f () = 4.. 4

15 9. Afirma-se que é possível restabelecer na totalidade uma tabela de diferenças finitas conhecida apenas uma entrada em cada uma das suas colunas. Verifique esta afirmação completando a seguinte tabela: x y y 2 y 3 y 4 y 5 y Um automóvel, deslocando-se em linha recta ao longo de uma estrada, é cronometrado em determinados pontos do percurso. Os dados obtidos foram ordenados na seguinte tabela: tempo (s) 3 5 dist. (m) veloc. (m/s) Construa o polinómio de Hermite (de menor grau) que lhe permite aproximar a posição e a velocidade do veículo ao fim de 4 segundos.. Considere a seguinte tabela referente a uma certa função f(x) : x i f(x i ) (a) Verifique que a tabela corresponde a um polinómio de grau 4. Justifique. (b) Construa o polinómio interpolador para esta tabela, recorrendo à fórmula mais conveniente. (c) Sabendo que f () = e f () = 7, construa o polinómio interpolador de Hermite de grau 3, usando os dados da tabela que necessite. (d) Obtenha o valor de x para o qual f(x) =, por interpolação quadrática inversa, utilizando os dados da tabela mais convenientes. 2. Considere a seguinte tabela referente a uma certa função f(x) : x i f(x i ) (a) Sabendo que f () = e f () = 3, construa o polinómio interpolador de Hermite de grau 3 usando os dados da tabela que necessite. (b) Recorrendo aos três primeiros valores da tabela obtenha o valor de x f(x ) =. para o qual 3. Determine uma aproximação de sin π 8 usando o polinómio interpolador segmentado de grau 2 em 5 pontos no intervalo [, π]. Indique uma estimativa para o erro cometido. 5

16 4. Determine polinómios interpoladores segmentados de grau e 2 para a função f(x) = x 3 no intervalo [, ]. VI - Derivação e Integração Numérica 5. É dada a seguinte tabela de valores de uma certa função v: t i v(t i ) (a) Determine uma aproximação para v (8) usando: i. Diferenças progressivas; ii. Diferenças regressivas; iii. Diferenças centradas. (b) Como poderia proceder para determinar uma aproximação para v (3)? Justifique. 6. É dada a seguinte tabela de valores de uma certa função f: x i f(x i ) (a) Determine aproximações para f (3.3) usando interpolação linear e interpolação quadrática. (b) Determine aproximações para f (3.) e f (3.5) usando interpolação linear. (c) Determine o polinómio interpolador de Hermite de f no suporte {3., 3.5}. 7. Deduza a regra do rectângulo para o cálculo aproximado do integral I := indique o erro cometido. 8. Mostre que a regra dos trapézios é exacta para o cálculo de b a a x + a dx. 9. Mostre que a regra de Simpson é exacta para o cálculo de b 2. Determine um valor aproximado para (a) a regra dos trapézios; (b) a regra de Simpson. a a x 2 + a x + a 2 dx. e x dx, usando: Indique um limite superior para o erro cometido em cada um dos casos. 2. Considere a função real f definida por { f(x) := x, se x /2 x, se /2 < x. b a f(x) dx e Determine f(x) dx, usando: 6

17 (a) a regra dos trapézios; (b) a regra de Simpson. 22. Seja I := 2 xe 2x dx. (a) Qual o menor número de pontos que deve considerar em [ 2, ] por forma a que o erro cometido no cálculo aproximado de I não exceda.5 3, quando se utiliza a regra dos trapézios? (b) Calcule o valor aproximado de I de acordo com a alínea anterior. (c) Repita as alíneas anteriores para a regra de Simpson. 23. É dada a seguinte tabela de valores de uma certa função f: x i f(x i ) Determine, usando a regra dos trapézios, uma aproximação para o integral I := e indique um limite superior para o erro cometido nessa aproximação. 24. Seja f(x) dada pela seguinte tabela: 5 f(x) dx x i f(x i ) Usando a regra dos trapézios, determine um valor aproximado para o integral I = e indique um limite superior para o erro cometido nessa aproximação. 25. Considere o integral I = e x cos x dx. f(x) dx (a) Qual o menor número de pontos que deve considerar no intervalo [, ] por forma a que o erro cometido no cálculo de um valor aproximado de I, pela regra de Simpson, não exceda 3? (b) Calcule o valor aproximado de I de acordo com a alínea anterior. 26. Pretende-se calcular um valor aproximado para o integral I = 2 log x dx. (a) Use a regra de Simpson para obter I com 3 casas decimais correctas. (b) Sem calcular o valor exacto de I diga, justificando, se a aproximação calculada é por defeito ou por excesso (em valor absoluto). 27. Considere a função f(x) = 3x 2/3. (a) Estabeleça o integral que permita calcular o comprimento de arco do gráfico da função, dada entre os pontos (8, 2) e (27, 7). (b) Obtenha uma aproximação para o integral anterior usando a regra de Simpson simples. 28. Determine o comprimento aproximado do arco do gráfico da função f(x) = x 3 x, entre os pontos (, ) e (2, 6), usando a regra dos trapézios composta, com quatro subintervalos. 29. (a) Prove que a equação 3x 2 3 e x = tem uma única raiz em [ 2, ]. (b) Aproxime essa raiz usando o método de Newton com duas iterações. 7

18 (c) Calcule a área limitada por y 3x 2 3 x y e x. (d) Usando a regra de Simpson simples, aproxime o valor da área obtido na alínea anterior, indicando o número de casas decimais correctas dessa aproximação. 3. É dada a seguinte tabela de valores de uma certa função f: x i f(x i ) (a) Será possível calcular um valor aproximado para o integral I := erro de truncatura que não exceda 3 usando: i. a regra de Simpson? ii. a regra dos trapézios? f(x) dx com um (b) Calcule um valor aproximado para I indicando um limite superior para o erro cometido. 3. Construa uma regra de integração da forma I(f) := f(x)dx A f( 2 ) + A f() + A 2 f( 2 ) de modo a ser exacta para polinómios de grau menor do que ou igual a Pretende-se calcular o valor aproximado de I = π/3 π/4 log (sin x)dx por aplicação da regra dos Trapézios, com erro de truncatura não superior a 4. Determine o menor número de pontos onde deve conhecer o valor da função bem como o valor aproximado de I pela referida regra. 33. Calcule aproximadamente o valor do integral I = π 2 x sin x dx, usando a regra de Simpson, por forma a que a aproximação obtida tenha 3 casas decimais correctas. x Considere o integral I = 48 x6 dx. Utilizando a regra dos trapézios aproxime I, com 6 um erro inferior a Para o exercício 24 e usando a regra dos Trapézios simples, aproxime o valor da área da região considerada, indicando o número de casas decimais correctas dessa aproximação. 36. Para o exercício 28 e usando o valor obtido na alínea b) arredondado às décimas, determine uma aproximação para I =.5.5 f(x)dx com duas casas decimais correctas, recorrendo à regra de Simpson. 8

19 37. Qual o menor número de pontos a considerar no intervalo [, π 3 ] por forma a que a aproximação obtida para π/3 (sin x + x 2 )dx pela regra dos trapézios composta tenha pelo menos duas casas decimais correctas. Calcule o valor dessa aproximação. 38. Considere a seguinte tabela x i f(x i ) referente a uma determinada função f. (a) Determine um valor aproximado de 2 f(x) dx, recorrendo à integração numérica que achar mais conveniente. Justifique. (b) Indique uma estimativa do erro cometido. O que pode concluir? (c) Sabendo que f () =.2, f () = e f (2) = determine o polinómio interpolador para f(x) que achar mais conveniente. 39. (a) Recorrendo ao método da bissecção determine uma aproximação do ponto de intersecção das curvas definidas por y = x 3 e y = x 2, com um erro inferior a.2. (b) Utilizando a regra de Simpson com 5 pontos, determine um valor aproximado da área da região definida por x 2 y x 3 e x. (c) Sem efectuar cálculos indique, justificando, o erro cometido na aproximação calculada na alínea anterior. 4. Considere a seguinte tabela de valores: (a) Determine um valor aproximado de x -3-3 f(x) uma estimativa do erro cometido nessa aproximação. 3 f(x) dx, usando a regra dos trapézios e indique (b) Supondo que, para x, a função é da forma f(x) = 3x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a e que f[,, 2] = 4, escreva, recorrendo ao polinómio interpolador nos últimos três pontos da tabela, uma expressão que permita obter f(x). 4. Determine um valor aproximado para 6 que a aproximação tenha um erro inferior a x dx, usando a regra de Simpson, por forma a 42. Qual o menor número de pontos a considerar no intervalo [, π 4 ] por forma a que a aproximação obtida para π/4 cos x dx pela regra de Simpson tenha pelo menos quatro casas decimais correctas. Calcule o valor dessa aproximação. 9

20 VII - Problemas de Condições Iniciais 43. Considere o problema de condição inicial y = 2x + y, y() =, x [, ]. Determine uma aproximação para y() usando o método de Euler explícito e: (a) h =.2; (b) h = Considere o problema de condição inicial y = xy, y() =, x [, ]. Determine uma aproximação para y() usando o método de Euler explícito e: (a) h =.5; (b) h =.; (c) h = Considere o problema de condição inicial y = xy 2, y() = 2, x [, 2]. (a) Determine uma aproximação para y(2) usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com h =.. (b) Sabendo que a solução exacta do problema é y(x) = 2 x 2, determine o erro de que vem afectada a aproximação obtida na alínea anterior. 46. Determine a solução aproximada do problema de condição inicial y = y x, y() = 2, em x =, usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem e h =.. Compare o resultado obtido com a solução exacta, dada por y(x) = e x + x Para x [, ], considere o sistema de equações diferenciais [ ] [ ] [ ] [ ] y (x) y(x) z = + (x) z(x) e x, com as condições iniciais y() = e z() =. Determine uma aproximação para a solução deste sistema em x = usando o método de Euler explícito e: (a) h =.5; (b) h = Para x [, ], considere o sistema de equações diferenciais [ ] [ ] [ y (x) y(x) z = (x) z(x) com as condições iniciais y() = e z() =. Determine uma aproximação para a solução deste sistema em x = usando o método de Euler explícito e: ], (a) h =.5; (b) h = Considere a equação diferencial y + y =, y() =, y () =, x [, ]. Determine uma aproximação para y() usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com h =.25. 2