CCI-22 FORMALIZAÇÃO CCI-22 MODOS DE SE OBTER P N (X) Prof. Paulo André CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTERPOLAÇÃO

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1 CCI - MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTERPOLAÇÃO Prof. Paulo André ttp:// pauloac@ita.br Sala 0 Prédio da Computação -Gregory DEFINIÇÃO Em matemática computacional, interpolar significa situar calcular o valor de uma função em ponto arbitrário dado um conjunto de pontos desta função Dados alguns valores discretos de uma determinada função, sua interpolação consiste em determinar outra função (em geral, um polinômio) que seja contínua e que coincida nesses pontos Exemplo: calor específico da água C Calor específico 0, ,9985 0,9986 0,9988 0,9988 0, ,99878 Esse processo também pode ser útil quando se deseja substituir uma função de difícil integração ou derivação FORMALIZAÇÃO Dados n+ valores distintos x 0, x,..., x n, camados nós ou pontos de interpolação, e os respectivos valores f(x 0 ), f(x ),..., f(x n ), deseja-se determinar um polinômio interpolador p n (x) de grau máximo n tal que p(x i ) = f(x i ), 0 i n Desde que x i x j, para 0 i,j n e i j, p n (x) é único Demonstração: Seja p n (x) = a 0 + a.x + a.x a n.x n Xa = y onde: X = M x0 x M xn n K x 0 n K x O M n L xn a0 a a = M an f(x0) f(x) y = M f(xn ) Matriz de Vandermonde Se os x i são distintos, então det(x) 0 MODOS DE SE OBTER P N (X) Há três modos de se calcular p n (x): Resolução do sistema linear com matriz de Vandermonde Forma de Lagrange Forma de Newton (diferenças divididas) Uma alternativa mais simples de interpolação é, ao invés de calcular p n (x), fazer interpolações em cada grupo de dois (interpolação linear) ou três (interpolação quadrática) pontos consecutivos -Gregory

2 FORMA DE LAGRANGE Sejam n+ pontos distintos x 0, x,..., x n e y i = f(x i ), 0 i n. Seja p n (x) o polinômio de grau máximo n que interpola f nesses pontos p n (x) pode ser representado do seguinte modo: p n (x) = y 0.L 0 (x) + y.l (x) y n.l n (x) L k (x) são polinômios de grau n, 0 k n Deseja-se que p n (x i ) = y i, 0 i n Modo simples de satisfazer essas condições: L k (x i ) = 0, se k i L k (x i ) =, se k = i Basta definir: ( x - x. 0) ( x- x)... ( x- xk- ).( x- xk+ )...( x - xn) Lk ( x) = ( x - x ).( x - x )... ( x - x - ).( x - x + )...( x - x ) k 0 k k k k k k n x : p (x) = y 0.L 0 (x) + y.l (x) + y.l(x) L 0 (x) = (x x )(x x )/[(x 0 x )(x 0 x )] = (x x)/ L (x) = (x x 0 )(x x )/[(x x 0 )(x x )] = (x x - )/(-) L (x) = (x x 0 )(x x )/[(x x 0 )(x x )] = (x + x)/6 p (x) = 4(x x)/ + (x x - )/(-) -(x + x)/6 p (x) = (7/)x + (/)x -Gregory OPERADOR DIFERENÇAS DIVIDIDAS Seja uma função tabelada em n+ pontos distintos x 0, x,..., x n Definimos o operador diferenças divididas por: f[x 0 ] = f(x 0 ) f[x 0, x ] = (f[x ] f[x 0 ])/(x x 0 ) f[x 0, x, x ] = (f[x, x ] f[x 0, x ])/(x x 0 ) f[x 0, x, x, x ] = (f[x, x, x ] f[x 0, x, x ])/(x x 0 ) Generalizando: Ordem 0 Ordem Ordem Ordem f[x 0, x, x,..., x n ] = (f[x, x,... x n ] f[x 0, x,... x n- ]) /(x n x 0 ) Dizemos que f[x, x,... x k ] é a diferença dividida de ordem k da função sobre os k+ pontos x 0, x,..., x k Pode-se provar que f[x, x,... x k ] é simétrica nos argumentos. Exemplo: f[x 0, x, x ] = f[x, x 0, x ] = f[x, x, x 0 ] TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS As diferenças divididas podem ser calculadas e armazenadas através da seguinte tabela: x Ordem 0 Ordem Ordem Ordem... Ordem n x 0 f[x 0] f[x 0, x ] x f[x ] f[x 0, x, x ] f[x, x ] f[x 0, x, x, x ] x f[x ] f[x, x, x ]... f[x, x ] f[x, x, x, x 4] x f[x ] f[x, x, x 4] f[x 0, x, x,..., x n] f[x, x 4] x 4 f[x 4]... f[x n-, x n-, x n-, x n] f[x n-, x n] x n f[x n]... f[x n-, x n-, x n] x x Ordem 0 Ordem Ordem Ordem Ordem 4 x 0 = - f[x 0] = f[x 0, x ] = 0 x = 0 f[x ] = f[x 0, x, x ] = -/ f[x, x ] = - f[x 0, x, x, x ] = /6 x = f[x ] = 0 f[x, x, x ] = 0 f[x 0, x, x, x, x 4] = -/4 f[x, x ] = - f[x, x, x, x 4] = 0 x = f[x ] = - f[x, x, x 4] = 0 f[x, x 4] = - x 4 = f[x 4] = -

3 FORMA DE NEWTON Seja contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias num intervalo [a,b]. Sejam n+ pontos nesse intervalo: a = x 0 < x <... < x n = b A construção do polinômio p n (x) que interpola nesses pontos é feita do seguinte modo: Calcula-se p 0 (x) que interpola em x 0 CÁLCULO DE P 0 (X) p 0 (x) é o polinômio de grau 0 que interpola em x = x 0. Então, p 0 (x) = f(x 0 ) = f[x 0 ] Para todo x [a,b], x x 0 : f[x 0,x] = (f[x] - f[x 0 ])/(x - x 0 ) f[x 0,x] = ( f(x 0 ))/(x - x 0 ) = f(x 0 ) + (x - x 0 ).f[x 0,x] = p 0 (x) + (x - x 0 ).f[x 0,x] Calcula-se p (x) que interpola em x 0 e x Calcula-se p (x) que interpola em x 0, x e x Assim por diante, até p n (x) E 0 (x) : erro de aproximação CÁLCULO DE P (X) p (x) é o polinômio de grau máximo que interpola em x 0 e x Para todo x [a,b], x x 0 e x x : f[x 0,x,x] = f[x,x 0,x] = (f[x 0,x] - f[x,x 0 ])/(x x ) f[x 0,x,x] = (( f(x 0 ))/(x - x 0 ) - f[x,x 0 ])/(x x ) f[x 0,x,x] = ( f(x 0 ) (x - x 0 )f[x,x 0 ])/((x - x 0 )(x x )) = f(x 0 ) + (x - x 0 )f[x,x 0 ] + (x - x 0 )(x x )f[x 0,x,x] p (x) p (x) = f(x 0 ) + (x - x 0 )f[x 0,x ] p 0 (x) q (x) E (x) GENERALIZAÇÃO Analogamente, é possível verificar que: p (x) = f(x 0 ) + (x - x 0 )f[x 0,x ] + (x - x 0 )(x x )f[x 0,x,x ] p (x) E (x) = (x - x 0 )(x x )(x x )f[x 0,x,x,x] q (x) Ao generalizarmos esses resultados, encontramos p n (x) e seu correspondente erro de aproximação: p n (x) = f(x 0 ) + (x - x 0 )f[x 0,x ] (x - x 0 )...(x x n- )f[x 0,x,...,x n ] E n (x) = (x - x 0 )(x x )...(x x n )f[x 0,x,...,x n,x] Podemos comprovar que, de fato, p n (x) interpola em x 0, x,..., x n : = p n (x) + E n (x) f(x k ) = p n (x k ) + E n (x k ) = p n (x k ), para 0 k n x x Ordem 0 Ordem Ordem x 0 = - f[x 0] = 4 f[x 0, x ] = - x = 0 f[x ] = f[x 0, x, x ] = / f[x, x ] = - x = f[x ] = - p (x) = 4 + (x +)(-) + (x + )(x 0)/ p (x) = (/)x - (7/)x + -Gregory

4 FORMA DE NEWTON-GREGORY Quando os nós da interpolação são igualmente espaçados, p n (x) pode ser obtido pela forma de Newton- Gregory Sejam x 0, x,..., x n pontos que se sucedem com passo. Camamos de operador de diferenças ordinárias : = f(x + ) = f(x + ) n = n- f(x + ) n- Naturalmente, 0 = TABELA DE DIFERENÇAS ORDINÁRIAS Analogamente às diferenças divididas, podemos usar uma tabela para armazenar as diferenças ordinárias: x... n x 0 f(x 0) f(x 0) x f(x ) f(x 0) f(x ) f(x 0) x f(x ) f(x )... f(x ) f(x ) x f(x ) f(x ) n f(x 0) f(x ) x 4 f(x 4)... f(x n-) f(x n-) x n f(x n)... f(x n-) x x 4 x 0 = - f(x 0) = f(x 0) = - x = 0 f(x ) = f(x 0) = f(x ) = f(x 0) = 0 x = f(x ) = f(x ) = 4 f(x 0) = 0 f(x ) = f(x ) = 0 x = f(x ) = 5 f(x ) = f(x ) = 5 x 4 = f(x 4) = 0 POLINÔMIO INTERPOLADOR Por indução, é simples demonstrar que, quando os pontos x 0, x,..., x n se sucedem com passo, então f[x 0,x,...,x n ] = n f(x 0 ) / ( n n!) Desse modo, é possível encontrar uma fórmula específica de p n (x) para este caso particular: p n (x) = f(x 0 ) + (x - x 0 )f[x 0,x ] + (x - x 0 )(x x )f[x 0,x,x ] (x - x 0 )...(x x n- )f[x 0,x,...,x n ] p n (x) = f(x 0 ) + (x - x 0 ) f(x 0 )/ + (x - x 0 )(x x ) f(x 0 )/( ) (x - x 0 )...(x x n- ) n f(x 0 )/( n n!) Uma mudança de variável pode simplificar a expressão de p n (x): s = (x - x 0 )/ x = s + x 0 Para 0 i n, (x - x i ) = s + x 0 (x 0 + i) = (s i) p n (x) = f(x 0 ) + s f(x 0 ) + s(s ) f(x 0 )/ s(s-)...(s-n+) n f(x 0 )/n! VOLTANDO AO ANTERIOR x x 4 -Gregory x 0 = -, = s = (x+) p 4 (x) = f(x 0 ) + s f(x 0 ) + s(s ) f(x 0 )/ + s(s-)(s-) f(x 0 )/! + s(s-)(s-)(s-) 4 f(x 0 )/4! p 4 (x) = + (x+)(-) + (x+)x/ p 4 (x) = x + Repare que o grau desse polinômio é... 4

5 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO Ao aproximarmos uma função por um polinômio p n (x) no intervalo [x n,x 0 ], comete-se um erro E n (x) = p n (x) Na figura abaixo, considere p (x) que interpola f (x) e f (x) no intervalo [x 0,x ]: f (x ) = f (x ) f (x 0) = f (x 0) p (x) f (x) f (x) E (x) = f (x) p (x) E (x) = f (x) p (x) E (x) > E (x), x (x 0,x ) ERRO DE INTERPOLAÇÃO Teorema: Sejam n+ pontos x 0, x,..., x n. Seja com derivadas até ordem n+ para todo x pertencente ao intervalo [x 0,x n ]. Seja p n (x) o polinômio interpolador de nesses pontos. Então, x [x 0,x n ], o erro é dado por E n (x) = p n (x) = (x - x 0 )(x x )...(x x n ) f (n+) (ξ)/(n+)!, onde ξ (x 0,x n ). Conclusões: Aumentar o grau do polinômio interpolador não é suficiente para aumentar a exatidão do resultado De modo geral, não se tem e não se pode calcular f (n+) (ξ)/(n+)! Esse valor pode ser estimado pelo máximo dos módulos das diferenças divididas de ordem n+ x 0 x x x 0 x x x 0, 0,4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,6 0, 0,7 0,9 0, 0,7 Deseja-se obter f(0,47) usando um polinômio de grau, com uma estimativa para o erro x Ordem 0 Ordem Ordem Ordem 0, 0,6 0,486 0,4 0,,05 0,8-7,896 0,4 0,7 -,70 0,667 8,494 0,5 0,9,045 0,75 -,60 0,6 0, 0,085 0,467 p (x) = f(x 0 ) + (x - x 0 )f[x 0,x ] + (x - x 0 )(x x )f[x 0,x,x ] p (x) = 0,7 + (x 0,4)0,667 + (x 0,4)(x 0,5),045 p (0,47) = 0,780 f(0,47) E(0,47) (0,47 0,4)(0,47 0,5)(0,47 0,6). 8,494 E(0,47) 8, Gregory 0,7 0,7 CONVERGÊNCIA Uma pergunta natural: à medida que aumenta o número de pontos de interpolação no intervalo [a,b], ou seja, quando n na sequência {(x 0,x,...,x n )}, os correspondente polinômios {p n (x)} também convergem para em [x 0,x ]? Teorema: Para qualquer sequência de pontos de interpolação {(x 0,x,...,x n )} que cobrem o intervalo [a,b], onde n, existe uma função contínua g(x) tal que p n (x) não converge para ela FENÔMENO DE RUNGE No caso em que os pontos de interpolação são igualmente espaçados, essa divergência pode ser ilustrada através de um exemplo conecido como Fenômeno de Runge Seja = /(+5x ) tabelada no intervalo [-,] nos pontos x i = - + i/n, 0 i n Veja abaixo duas interpolações de : p 9(x) p 5(x) É possível demonstrar que p n (x) torna-se arbitrariamente grande em pontos do intervalo [-5,5], quando n é suficientemente grande 5

6 ALTERNATIVAS Em casos como esse, á duas alternativas: Não aproximar através de polinômios, mas, por exemplo, pela função /p (x) Usar funções splines que têm convergência garantida -Gregory FUNÇÕES SPLINES Splines são astes flexíveis (de plástico ou de madeira), fixadas em certos pontos de uma mesa de deseno, para traçar curvas suaves A ideia deste método é interpolar a função em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômios de grau menor, e ao mesmo tempo impor condições para que a aproximação obtida e suas derivadas (até certa ordem) sejam contínuas s 0(x) s (x) s (x) s (x) FUNÇÕES SPLINES Spline linear: Uso de segmentos de retas (polinômios de ordem ) para interligar dois pontos Spline quadrático: Uso de polinômios de ordem para interligar dois pontos Grau de liberdade adicional utilizado para garantir continuidade da primeira derivada Spline cúbico: Uso de polinômios de ordem para interligar dois pontos Graus de liberdade adicional utilizados para garantir continuidade da primeira e segunda derivada Iremos detalar este tipo de spline... x 0 x x x x 4 x SPLINES CÚBICAS Dados n pontos distintos a=x 0, x,..., x n =b e seus valores f(x 0 ) = y 0, f(x ) = y,..., f(x n ) = y n, a função spline será, em cada intervalo [x i-,x i ], 0<i n, um polinômio cúbico s i (x), com as seguintes propriedades: s i (x i ) = y i s i (x i- ) = y i- s i (x i ) = s i- (x i ) s i (x i ) = s i- (x i ) Passa através dos pontos de interpolação A variação da curvatura é contínua nesses pontos A partir dessas condições, é possível deduzir os 4 coeficientes de cada um dos n polinômios cúbicos s i (x) CÁLCULO DA SPLINE Φ i x i si (x) i Φ i+ Desenvolvendo a equação da reta: s i (x) = Φ i + (Φ i+ x Φ i+ x i -Φ i x + Φ i x i )/ i s i (x) = (Φ i (x i+ x i ) + (Φ i+ x Φ i+ x i -Φ i x + Φ i x i ))/ i s i (x) = Φ i (x i+ x)/ i + Φ i+ (x x i )/ i Integrando: x i+ x Condições da spline: s i (x i ) = s i- (x i ) = Φ i Equação da reta: s i (x) = Φ i + (Φ i+ - Φ i )(x x i )/ i s i (x) = -Φ i (x i+ x) / i + c i + Φ i+ (x x i ) / i + d i 6

7 CÁLCULO DA SPLINE s i (x) = Φ i (x i+ x) / i + c i + Φ i+ (x x i ) / i + d i Integrando novamente: s i (x) = Φ i (x i+ x) /6 i + Φ i+ (x x i ) /6 i + c i (x x i ) + d i (x i+ x) Substituindo x por x i : s i (x i ) = Φ i i /6 + d i i Sabemos que s i (x i ) = y i : d i = y i / i - i Φ i /6 Idem para x i+ : s i (x i+ ) = Φ i+ i /6 + c i i Sabemos que s i (x i+ ) = y i+ : c i = y i+ / i i Φ i+ /6 Substituindo c i e d i na fórmula de s i (x): s i (x) = Φ i (x i+ x) /6 i + Φ i+ (x x i ) /6 i + (y i+ / i i Φ i+ /6)(x x i ) + (y i / i - i Φ i /6)(x i+ x) CÁLCULO DA SPLINE s i (x) = Φ i (x i+ x) /6 i + Φ i+ (x x i ) /6 i + (y i+ / i i Φ i+ /6) (x x i ) + (y i / i - i Φ i /6)(x i+ x) Diferenciando s i (x): s i (x) = -Φ i (x i+ x) / i + Φ i+ (x x i ) / i + y i+ / i i Φ i+ /6 - y i / i + i Φ i /6 Substituindo x por x i : s i (x i ) = - i Φ i / + y i+ / i i Φ i+ /6 - y i / i Calculemos também s i- (x i ): s i- (x) = -Φ i- (x i x) / i- + Φ i (x x i- ) / i- + y i / i- i- Φ i /6 y i- / i- + i- Φ i- /6 s i- (x i ) = i- Φ i / + y i / i- y i- / i- + i- Φ i- /6 Sabemos que s i (x i ) = s i- (x i ): - i Φ i / + y i+ / i i Φ i+ /6 - y i / i = i- Φ i / + y i / i- y i- / i- + i- Φ i- /6 i- Φ i- + ( i- + i )Φ i + i Φ i+ = 6((y i+ y i )/ i (y i - y i- )/ i- ) CÁLCULO DA SPLINE i- Φ i- + ( i- + i )Φ i + i Φ i+ = 6((y i+ y i )/ i (y i - y i- )/ i- ) Essa igualdade é válida para 0 < i < n n- equações n+ incógnitas: Φ 0,..., Φ n Basta acrescentar duas condições: Φ 0 = 0 e Φ n = 0 Sistema tridiagonal de equações: ( 0 + ) ( + ) ( + ) O n ( n + ) onde b i = 6(y i+ y i )/ i ( + n Φ b b0 Φ b b Φ b b. = M M Φ bn bn ) Φn bn bn Deseja-se obter f(0,5) através de spline cúbica: x 0 0,5,0,5,0,866-0,557-4,987-9,056 Será preciso determinar s 0 (x), s (x), s (x) e s (x) Nesse exemplo, i = 0,5, para 0 i < 5 Sistema tridiagonal: 0,5 0 0,5 0 Φ 5,66 = Eliminação de Gauss 0,5. Φ 4,6748 0,5 Φ 4,5598 Φ = -6,5 Φ = -4, Φ = -6,654 s i (x) = Φ i (x i+ x) /6 i + Φ i+ (x x i ) /6 i + (y i+ / i i Φ i+ /6)(x x i ) + (y i / i - i Φ i /6)(x i+ x) Como se deseja obter uma aproximação para f(0,5), basta calcular s 0 (0,5): s i(x) = Φ i(x i+ x) /6 i + Φ i+(x x i) /6 i + (y i+/ i iφ i+/6)(x x i) + (y i/ i - iφ i/6)(x i+ x) s 0(0,5) = Φ (0,5 0) /6.0,5 + (y /0,5 0,5Φ /6)(0,5 0) + (y 0/0,5)(0,5 0,5) s 0(0,5) =,548 f(0,5) IMPLEMENTAÇÃO Na implementação em computador, o cálculo da spline é realizado de um modo bem eficiente: c = ( 0 + ) c i = ( i- + i ) + ( i- ) /c i-, para < i < n d = b - b 0 d i = (b i b i- ) - ( i- d i- )/c i-, para < i < n Φ n- = d n- /c n- Φ i = (d i i Φ i+ )/c i, para n- > i > 0 s i (x) = y i + α i (x-x i ) + β i (x-x i ) + δ i (x-x i ), onde: α i = (y i+ y i )/ i Φ i+ i /6 -Φ i i / β i = Φ i / δ i = (Φ i+ -Φ i )/6 i 7