II. Funções de uma única variável

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1 II. Funções de uma única variável 1 II.1. Conceitos básicos A otimização de de funções de de uma única variável consiste no no tipo mais elementar de de otimização. Importância: Tipo de problema encontrado na prática; Embasamento teórico semelhante ao empregado na análise de problemas com maior número de variáveis; A otimização para uma única variável consiste num subproblema para a otimização de funções de várias variáveis. 2 1

2 Estratégia usual para problemas de de várias variáveis: { X } k+1 = { X } k + α { d } k X = vetor das variáveis de projeto, de dimensão n k = número da iteração d = direção de busca (ou direção de descida) α = tamanho do passo na direção de busca (também conhecida como busca unidimensional, busca unidirecional ou busca linear) 3 Propriedades das funções de de uma única variável: y = f(x) S R x = variável independente y = variável dependente R = conjunto de números reais S = conjunto que contém as variáveis independentes (x S) Se S = R problema sem restrição Caso contrário, constitui-se num problema com restrição, no qual S é um subconjunto de R. 4 2

3 Por exemplo, f(x) = x 3 + 2x 2 x + 3, x R é uma função sem restrição, enquanto f(x) = x 3 + 2x 2 x + 3, x S = {x -5 x 5} é uma função com restrição. Em otimização: f = função objetivo S = região factível (ou domínio) 5 Classificação das funções: Contínuas Descontínuas Discretas 6 3

4 Continuidade de de uma função: Uma função f(x) é contínua no ponto x se, dado um ε > 0, existe um δ > 0 tal que y x < δ implica em f(y) - f(x) < ε Funções monotônicas: Uma função f(x) é monotônica se, para quaisquer dois pontos x 1 e x 2, tem-se que: f(x 1 ) f(x 2 ) (monotonicamente crescente) f(x 1 ) f(x 2 ) (monotonicamente descrescente) 7 Observação: Uma função não precisa ser contínua para ser monotônica. Ex: monotônica crescente monotônica decrescente 8 4

5 Funções unimodais: Uma função f(x) é unimodal no intervalo a x b se e somente se ela é monotônica em ambos os lados do ponto de ótimo x* no intervalo. Ex: Funções convexas: Uma função f(x) é dita convexa sse para quaisquer dois pontos x (1) e x (2) S, tem-se que: f [λ x (1) + (1- λ) x (2) ] λf(x (1) ) + (1- λ) f(x (2) ) com 0 λ 1 9 Ou seja: o segmento que une dois pontos quaisquer situa-se sempre sobre ou acima da curva entre estes dois pontos. 10 5

6 Algumas propriedades importantes de funções convexas: - A segunda derivada é sempre não negativa para qualquer x no intervalo; - Existe um único ponto de mínimo. convexa côncava não-convexa 11 Diferenciabilidade de de uma função: A primeira derivada, ou gradiente de uma função f em x 0 representa a declividade da reta tangente à função no ponto. Formalmente, tem-se: f' (x) = df dx 0 x = x f(x + h) f(x) = lim h 0 h A função é dita diferenciavel em X 0 se f (x 0 ) existe. O valor do limite deve ser o mesmo tanto para valores positivos como negativos de h, ou seja, à direita e à esquerda do ponto. 12 6

7 Ex: A função f(x) = x não é diferenciavel na origem. Uma função não diferenciavel é usualmente designada como C 0. Já uma função que possua primeira derivada contínua (mas não a segunda derivada) é chamada de C 1. De forma geral, a designação C n indica a continuidade até a n-ésima derivada. 13 II.2. Condições de otimalidade: Respondem à pergunta: Uma solução x* x* é de de fato a solução ótima? Definições: Uma função f(x) definida em S possui seu mínimo global em x** S se e somente se: f(x**) f(x), x S Uma função f(x) definida em S possui seu mínimo local em x* Ssse: f(x*) f(x), x contido em um intervalo ε de x* ou seja, existe um ε>0 tal que para qualquer x satisfazendo x-x* < ε, tem-se que f(x*) f(x) 14 7

8 Observações: Invertendo as desigualdades, tem-se definições equivalentes para máximo global e máximo local; Verificada a unimodalidade da função, o mínimo local passa a equivaler ao mínimo global; Quando a função não é unimodal, muitos mínimos locais são possíveis. A localização do mínimo global pode ser determinada localizando-se todos os ótimos locais e escolhendo o melhor (algorítmos de busca local). 15 Exemplo: x 1 = máximo global x 2 = mínimo local x 3 = máximo global x 4 = mínimo global x 5 = mínimo e máximo local 16 8

9 Identificação do do ponto de de ótimo: Seja f(x) uma função de uma única variável x definida no intervalo aberto (a,b), e seja f diferenciável de ordem n no intervalo. Se x* é um ponto do intervalo, a mudança no valor de x* para (x* + ε) pode, expandindo a função em série de Taylor, ser escrita como: df 2 2 d f n n d f f(x * ) f(x*) ( ) ε... ε + ε = + ε On 1( ε) dx * x x 2! 2 * dx x x n! n * + = = dx x = x onde O n+1 (ε) indica os termos de ordem superior. Se x* é um mínimo local de f em (a,b), tem-se que para todo x a uma distância igual ou inferior a ε: f(x) f(x*) 17 A desigualdade anterior implica em que: df 2 2 d f n n d f ( ) ε... ε ε On 1( ε) 0 dx * x x 2! 2 * dx x x n! n * + = = dx x = x Para valores pequenos de ε o primeiro termo domina os demais. Como ε pode ser tanto positivo como negativo, tem-se que a relação acima é verdadeira se: df dx 0 * x = x = Ainda da desigualdade, tem-se: 2 d f 0 2 * dx x = x Uma construção semelhante pode ser feita para a determinação do ponto de máximo local pela inversão do sentido da desigualdade. 18 9

10 Teorema: São condições necessárias para que x* seja um mínimo local de f no intervalo aberto (a,b), sendo f duas vezes diferenciável (C 2 ): df dx 0 * x = x = e 2 d f 0 2 * dx x = x As condições acima são apenas condições necessárias, ou seja, podem ser atendidas sem que o ponto corresponda a um ponto de ótimo (pode ser ponto de inflexão ou ponto de sela). Teorema: Seja a primeira derivada no ponto x* igual a zero. Designando por n a primeira derivada de ordem superior não nula, tem-se que: -Se n é impar, então x* corresponde a um ponto de inflexão; n d f -Se n é par, x* corresponde a: > 0 mínimo local n * dx x = x n d f < 0 n * dx x = x máximo local 19 II.3. Métodos para a determinação do ótimo: Em função de sua importância, existe um grande número de métodos para a determinação do ponto de ótimo para funções de uma única variável. Propriedade necessária à quase totalidade dos métodos: unimodalidade Uma classificação possivel: Métodos de eliminação de região (comparam valores de f); Métodos que utilizam informações das derivadas; Métodos que utilização aproximações polinomiais, com ou sem derivadas; 20 10

11 II.3.1. Métodos de eliminação de região: Teorema: Seja f estritamente unimodal no intervalo fechado (a,b) com mínimo em x*. Sendo x 1 e x 2 dois pontos no intervalo, de tal forma que a<x 1 <x 2 <b, tem-se que: Se f(x 1 ) > f(x 2 ), então x* (x 1,b) Se f(x 1 ) < f(x 2 ), então x* (a,x 2 ) Se f(x 1 ) = f(x 2 ), então x* (x 1,x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) f(x 1 ) < f(x 2 ) 21 Método de redução à metade (interval halving): Como o nome sugere, reduz o intervalo à metade a cada iteração. a x 1 x m x 2 b Valores iniciais: x m =(a+b)/2 L=b-a x 1 =a+l/4 x 2 =b-l/4 Se f 1 < f m : b x m x m x 1 Novos L, x 1 e x 2 calculados Se f 2 < f m : a x m x m x 2 Novos L, x 1 e x 2 calculados Se f 2 >f m e f 1 >f m: a x 1 b x 2 Novos L, x 1 e x 2 calculados 22 11

12 Método da Seção Áurea (Golden Section) Consiste em uma forma bastante eficiente de eliminação de região. 1-τ τ -(1-τ) τ Descartar x l x 1 x 2 x u τ 1-τ Os valores de x 1 e x 2 são determinados de forma que a razão entre os pontos intermediários e os extremos seja sempre a mesma: x1 xl x2 x1 = x x x x u l u 1 Fazendo x u =1 e x l =0, tem-se: 1- τ= τ 2, resultando em x 2 = τ = 0,61803 e x 1 = 0, É interessante observar que: x 2 = 0,61803 = x 1 /x 2 x 1 = x 2 2 x 2 /x 1 = 1,61803 Número áureo (ou phi) Sequência de Fibonacci: F= 1,1,2,3,5,8,13,21... F i+1 = F i + F i-1 Verifica-se que: lim (Fi+1 / Fi ) = 1,61803 i 24 12

13 Após os cálculos de x 1 e x 2, cada novo valor reduzirá o intervalo a (1- τ) do intervalo anterior. Ou seja, caso o intervalo fosse reduzido à metade a cada novo cálculo de x, após n cálculos o intervalo inicial se reduziria a (1/2) n/2. Segundo o Golden Section, esse mesmo intervalo seria reduzido a τ n-1. Os métodos de eliminação de região necessitam apenas que a função seja unimodal. Pode-se portanto trabalhar com funções contínuas ou descontínuas, ou mesmo com variáveis discretas. x 1 = τx l +(1- τ)x u e x 2 = (1-τ)x l + τx u Se f1>f2: x l x 1 x 1 x 2 Novo x 2 é calculado C.c.: x u x 2 x 2 x 1 Novo x 1 é calculado 25 II.3.2. Aproximação polinomial: Caso a função a otimizar seja contínua, pode ser convenientemente aproximada por um polinômio. Consideram não apenas as diferenças entre os valores das funções em determinados pontos, mas também as magnitudes destas diferenças. Polinômio usuais (Vanderplaats): Lineares Quadráticos (informações de 2 ou 3 pontos) Cúbicos (informações de 2 ou 3 pontos) 26 13

14 Aproximação polinomial quadrática: q(x) = a0 + a1(x x1) + a2(x x1)(x x 2 ) onde: a 0 = f 1 f2 f1 a1 = x 2 x1 1 f3 f1 f2 f1 a2 = ( ) x3 x2 x3 x1 x2 x1 dq como: = 0 dx x + x 2 tem-se que: x = x * a 2a2 27 II.3.3. Métodos que utilizam derivadas: Podem ser empregados caso a função a otimizar seja, além de unimodal e contínua, também diferenciável. Principais métodos: Newton-Raphson Bisecção Secante (ou false position) Ajustes polinomiais (cúbicos ou quadráticos de 2 pontos) 28 14

15 Método de Newton-Raphson: Necessita que a função seja duas vezes diferenciável. Ao contrário dos métodos anteriormente estudados, trabalha com apenas um ponto. Conhecendo o valor da função e de sua derivada neste ponto, é efetuada uma aproximação linear. 29 Efetuando a expansão em série de Taylor, tem-se: ' ' '' f (xk+ 1) = f (xk ) + f (xk )(xk+ 1 xk ) Igualando a derivada a zero, resulta em: Observação: ' f (xk ) xk+ 1 = xk '' f (xk ) Dependendo do ponto inicial adotado, bem como da forma da função, o método pode apresentar divergência em relação ao ótimo

16 Método da Bissecção: Determina a derivada da função em um ponto, comparando-a com a do ponto anteriormente obtido. Sendo a função unimodal, um ponto extremo se localiza entre dois pontos de curvaturas de sentido contrário. Uma vez determinados dois pontos L e R tais que f (L)<0 e f (R)>0, determina-se a derivada no ponto médio z: L + R z = 2 Se f (z)>0, o intervalo (z,r) pode ser eliminado; Caso contrário (f (z)<0, elimina-se o intervalo (L,z). Observação: O método utiliza apenas o sinal da derivada, não seu valor. 31 Método Secante (ou False Position): Considera que a derivada de segunda ordem pode ser difícil de calcular. Desta forma, efetua uma aproximação desta derivada a partir de Newton- Raphson. Substituindo f''(x k ) em Newton-Raphson por: '' ' ' f (x) = (f (xk ) f (xk 1))/(xk xk 1) Tem-se: ' f (xk ) xk+ 1 = xk ' ' (f (xk ) f (xk 1)) /(xk xk 1) 32 16

17 Interpretação: Adotando a notação de Reklaitis, a equação anterior pode ser escrita como: ' f (R) z = R ' ' (f (R) f (L)) /(R L) O processo é finalizado quando f ' (z) ε 33 17

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