Capítulo 7: Equações Diferenciais Ordinárias. 1. Problema de valor inicial

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1 Capítulo 7: Equações Diferenciais Ordinárias. Problema de valor inicial Definição: Sea uma função de e n um número inteiro positivo então uma relação de igualdade que envolva... n é camada uma equação diferencial ordinária. Eemplos Equação Diferencial Ordem 3 d d 5 0 d d 4-5 4e d d d 4 d Uma função f é solução de uma equação diferencial se a substituição de por f resulta em uma identidade para todo em algum intervalo. Por eemplo a equação diferencial 6-5 tem solução f 3-5C para todo o real C pois a substituição de por f conduz à identidade Denominamos f 3-5C a solução geral de 6-5 pois toda a solução da equação é desta forma. Obtém-se uma solução particular atribuindo a C valores específicos. Para ilustrar se C 0 temos a solução particular f 3-5 Às vezes impõem-se condições iniciais que determinam uma solução particular.

2 Associados a n f... n- podem eistir condições cuo número coincide com a ordem da equação diferencial ordinária. Se tais condições se referem a um único tem-se um problema de valor inicial PVI. Caso contrário tem-se um problema de fronteira. Por eemplo '' 3' 0 '0 0 é um PVI de segunda ordem. Pretende-se valores de em pontos distintos daqueles das condições iniciais associadas aos PVI. Vai se estudar PVI de primeira ordem i.e. ' f 0 ηum número dado η Os PVI de ordem superior a um podem ser reduzidos a sistemas de PVI de primeira ordem à custa de variáveis auiliares. Eemplo Considere-se o seguinte PVI de ordem dois '' 3' 0 '0 0 Sea z então z e z0 00. Ou sea obteve-se o seguinte sistema de PVI de ordem um: z' 3z ' z 0 z0 0 Um PVI tem solução única se f é uma função real e satisfaz a: i é definida e contínua na faia a b - << com a e b finitos;

3 ii eiste uma constante L tal que para qualquer pertencente ao intervalo [a b] e todo o par de números e * f f * L * a condição anterior designa-se por condição de Lipscitz. Se f satisfaz as condições anteriores então eiste eactamente uma função que satisfaz: i é contínua e diferenciável em [ab] ii f [a b] iii aη com η um número dado.. Solução numérica de um PVI de primeira ordem: Métodos de passo simples Suponamos que o PVI 7. satisfaz as condições de eistência e unicidade de solução vai tentar-se encontrar uma solução numérica para o problema. b a Considere-se m subintervalos de [a b] m e sea 0 onde 0...m e m [ab]. Ao conunto I { 0... m }obtido da forma anterior cama-se rede ou mala de [ab]. A solução numérica m é a função linear por partes cuo gráfico é uma poligonal com vértices nos pontos onde foi calculado usando algum dos métodos numéricos que serão vistos a seguir. Se m n então m b a n0... e a sucessão de funções poligonais { n n } converge uniformemente para a solução do PVI. O obectivo dos métodos numéricos é o cálculo dos vértices { 0... m }. 3

4 Notação: 0...m solução eacta do PVI nos pontos I significa que é aproimação para I... Métodos da série de Talor: Método de Euler Considere-se o PVI ' f η um número dado. 0 0 η Deseam-se aproimações... m para as soluções eactas... m. Comecemos por determinar a aproimação para. Sea T a tangente à curva no ponto 0 0 a equação de T é: Fazendo e notando que 0 0 condição inicial f 0 0 tem-se que f f 0 0. O erro cometido na aproimação de por é: e - ou sea a diferença entre a solução numérica e a solução eacta. obtém-se de modo análogo ao de tendo-se que: f e - Genericamente f 0...m- cuo erro é e m- 4

5 O método de Euler consiste então em calcular recursivamente a sucessão { } através das fórmulas: 0 a η f 0... m Interpretação analítica do método de Euler Epandindo a solução em série de Talor em torno do ponto f ''...! n! n n Truncando a série após o termo em e identificando com obtém-se a igualdade pretendida ou sea o método de Euler. Eemplo Acar aproimações para a solução do PVI ' 0 na mala [0] com 0.. Tem-se que 0 0 e 0. º iteração 0 f f0 ; º iteração f 0.f0..04; º iteração 3 f f ; º iteração 4 3 f f ; º iteração 5 4 f f ; As soluções aproimadas na mala [0 ] são: { }. 5

6 Métodos de Passo Simples Um método para resolver um PVI é de passo simples se a aproimação depende apenas dos resultados de da etapa anterior. Todos os métodos de passo simples são escritos na forma: 7. Φ 0...m- onde Φ é a função incremento e o comprimento do passo. O método de Euler é um eemplo de um método de passo simples com função incremento Φ f. Diz-se que um método da forma 7. possui ordem r se r for o maior número inteiro para o qual --Φ o r onde é a solução teórica do PVI. O método de Euler é de ordem um. Métodos com derivadas O método de Euler ou método de Talor de ª ordem foi obtido a partir da fórmula de Talor onde se tomaram termos até ao termo em. Teoricamente pode-se afirmar que a fórmula de Talor fornece tantos métodos quantos se queiram desde que se calculem as derivadas necessárias. O método de Talor de ª ordem é ' ' ' 0..m-! Os métodos que usam a fórmula de Talor apresentam alguns inconvenientes computacionais: deve-se operar simultaneamente com várias funções i.e. as derivadas da função f o que aumenta em muito o espaço ocupado na memória do computador. Além disso a compleidade das epressões analíticas para as derivadas de f aumenta com a ordem de derivação de f salvo casos triviais. Em geral estes métodos não são usados. 6

7 Essa é a razão por que serão obtidos a seguir métodos de precisão equivalente aos métodos da fórmula de Talor porém sem o inconveniente de se calcularem derivadas; são os camados métodos de Runge-Kutta RK... Métodos de Runge-Kutta... Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem As fórmulas têm a forma geral [ ] 0 0 f bf af β α 0...m- sendo as constantes abα e β escolidas de modo que o erro de truncatura local do método sea proporcional a 3 tal como o método de Talor de ª ordem. Tal condição implica b b a β α sendo b arbitrário. Apresentaremos aqui os dois métodos mais conecidos de Runge-Kutta de ª ordem. O método de Euler melorado corresponde à escola b e tem-se a β α : 0...m k f k f k k k 7

8 O método de Euler modificado corresponde à escola b e tem-se a 0 α β : k 0 0 k f k f k 0... m - Eemplo: ' Acar aproimações para o PVI 0 na mala [0] com 0. usando o método de Euler melorado. Tem-se que 0 0 e 0. 0 k º iteração: k. Tem-se que k f 0 0 f00 k f 0 0 k k f0. 0.*0 k 0. Donde ; k º iteração: k. Tem-se que k f f k f k k f *0.8 k Donde ; k 3º iteração: k. Tem-se que k f f k f k k f *0.376 k Donde ;

9 4 3 k 4º iteração: k. Tem-se que k f 3 3 f k f 3 3 k k f * k Donde ; k 5º iteração: k. Tem-se que k f 4 4 f k f 4 4 k k f.5760.* k Donde ;