Altamir Dias CURSO DE GRADUAÇÃO ENGENHARIA MECÂNICA ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

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1 Representação Matemática de Curvas Altamir Dias 1 DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA Universidade Federal de Santa Catarina CURSO DE GRADUAÇÃO ENGENHARIA MECÂNICA ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

2 1 Representação Matemática de Curvas Compostas Curvas de Bezier Compostas

3 Introdução Representação Matemática de Curvas Alguns produtos precisam de mais requisitos geométricos diferentes tipos de continuidades garantia de continuidade de tangentes garantia de continuidade de curvatura A necessidade de curvas sintéticas aparece quando: é preciso interpolar um conjunto de pontos para obter a curva; é necessário manipular a curva para satisfazer novos requisitos de projeto. Exemplos: carrocerias de carros, casco de navios e barcos, fuselagem de aviões, solados e forma de sapatos, hélice de turbinas, garrafas, etc...

4 Introdução Representação Matemática de Curvas Matematicamente curvas sintéticas representam um problema de interpolação de uma curva suave passando por um conjunto de pontos São curvas polinomiais requerem vários graus de continuidade O grau de continuidade da curva pode ser classificado em: 1 Continuidade de posição (C 0 ): garante que os segmentos de curvas são interligados; 2 Continuidade de tangência (C 1 ): garante que os segmentos de curvas tenham a mesma inclinação nos seus pontos de junção; 3 Continuidade de posição (C 2 ): garante que os segmentos de curvas tenham a mesma curvatura nos pontos de junção.

5 Introdução Representação Matemática de Curvas

6 Introdução Representação Matemática de Curvas A curva polinomial cúbica é a polinomial de mais baixa ordem que permite: a inflexão da curva dentro do segmento; a representação não planar (torcida) de curvas espaciais. polinomiais de alta ordem não são comuns em CAE/CAD/CAM elas tendem a oscilar em torno dos pontos de interpolação; são computacionalmente inconveniente; custosas em ser armazenadas. O tipo de entrada de dado e sua influência no controle da curva determina o seu uso e eficácia da curva no projeto.

7 Introdução Representação Matemática de Curvas Tipos de curvas sintéticas usadas em sistemas CAE/CAD/CAM curvas splines cúbicas (ou de Hermite); são curvas interpolantes; curvas de Bezier são curvas aproximativas; garantem continuidade de primeira ordem (C 1 ); curvas B-splines são também aproximativas, mas em certas condições podem ser interpolantes;. garantem continuidade de primeira ordem (C 2 ).

8 Curvas paramétricas splines são definidas como curvas polinomiais segmentadas com certa ordem de continuidade. polinomiais de ordem n garantem continuidade n 1. são usadas para interpolar um conjunto de dados; não servem para trabalhar com curvas de forma livre o nome tem origem nas curvas francesas ou splines; a polinomial cúbica precisa de quatro constantes para ser descrita: os pontos de interpolação; continuidade de tangente nos pontos interpolados; o mais comum é usá-la planarmente.

9 A equação paramétrica de uma spline cúbica: P(u) = 3 i=0 C i u i u é o parâmetro da curva C i são os coeficientes da polinomial Na forma escalar a equação pode ser escrita x(u) = C 3x u 3 + C 2x u 2 + C 1x u + C 0x y(u) = C 3y u 3 + C 2y u 2 + C 1y u + C 0y z(u) = C 3z u 3 + C 2z u 2 + C 1z u + C 0z

10 Na forma expandida P(u) = C 3 u 3 + C 2 u 2 + C 1 u + C 0 E na forma matricial P(u) = U T C onde U = [ u 3 u 2 u 1 ] T e C = [ C 3 C 2 C 1 ] T C 0, C é chamada de matriz de coeficientes.

11 O vetor tangente à curva em qualquer ponto é P (u) = 3 i=0 C i iu i 1 Para achar os coeficientes do polinômio cúbico é preciso fornecer quatro condições de contorno. Assume-se que a curva passe pelos pontos P 0 e P 1 e que seja conhecidas os valores da tangentes nestes pontos, isto é, P 0 e P 1

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13 Usando-se as equações da spline cúbica e da tangente a curva em u = 0 e u = 1, tem-se: P 0 = C 0 P 0 = C 1 Resolvendo vem: C 0 = P 0 P 1 = C 3 + C 2 + C 1 + C 0 P 0 = 3C 3 + 2C 2 + C 1 C 1 = P 0 C 2 = 3(P 1 P 0 ) 2(P 0 + P 1) C 3 = 2(P 0 P 1 ) + P 0 + P 1

14 P 0, P 1, P 0 e P 1 são chamados de coeficientes geométricos; A equação paramétrica da curva pode ser expressa em termos u como: P(u) = (2u 3 3u 2 + 1)P 0 + ( 2u 3 + 3u 2 )P 1 + (u 3 2u 2 + u)p 0 + (u 3 u 2 )P 1 A equação paramétrica da tangente à curva é, então, dada em termos u como: P (u) = (6u 6 6u)P 0 + ( 6u 2 + 6u)P 1 + (3u 2 4u + 1)P 0 + (3u 2 2u)P 1 em variação do parâmetro é dado por: 0 u 1

15 Expressando a equação da curva na forma matricial vem: P(u) = U T M H V M H matriz de Hermite M H = V vetor geometria ou das condições de contorno V = [ P 0 P 1 P 0 P 1 ] T

16 Veja que C = M H V e V = M H 1 C Escreva a equação paramétrica da tangente à curva na forma matricial!!!!

17 As equações descritas até aqui interpolam apenas 2 pontos, desde que sejam dados os valores das tangentes nestes pontos. a forma da curva é controlada: pela posição dos pontos; pela manipulação das tangentes: envolve a direção e magnitude. a manipulação da tangente pode ser dada pela inclinação do vetor em relação ao WCS. Exemplo: se a inclinação de P 0 no plano for 30 o, assume-se que P [ ] 0 cos30 sin30 0 Qual é a estrutura de dados para manipular curvas splines de Hermite em sistemas CAE/CAD/CAM?

18 Compostas A equação da curva paramétrica spline cúbica de Hermite pode ser generalizada para dois, três, n-segmentos. interpolar um conjunto de pontos Problema Este problema é chamado de ajuste de curvas de Hermite. Dado n pontos P 0, P 1,, P n 1 e as duas tangentes nos pontos extremos P 0 e P n 1 conectar os pontos com uma curva spline cúbica.

19 Compostas

20 Compostas Solução a spline conecta os pontos dados são necessários determinar os vetores tangentes intermediários de P 1 a P n 2 pode ser eliminados os vetores pela imposição de continuidade de tangentes ou continuidade de curvatura nos pontos internos de conexão. Exemplo: conectando 2 segmentos que passem por P 0, P 1 e P 2. Assume que continuidade de curvatura entre os dois segmentos: P (u 1 = 1) = P (u 2 = 0) o sub-escrito de u refere-se ao segmento;

21 Compostas diferenciando a equação da tangente e isolando os termos pode-se determinar que: P 1 = 1 4 (3P 0 + P 0 3P 2 + P 2) Para mais pontos a ser interpolados, a equação pode ser expandida recursivamente, montando-se um sistema linear para determinar o vetor P i.

22 Compostas As curvas splines cúbica de Hermite não muito apropriadas para aplicações de projeto; Bezier e B-splines são mais populares o controle da curva é do tipo global ou seja a mudança da posição de um ponto influencia em toda a curva; a ordem da curva é constante, (o que é bom) a flexibilidade da curva pode ser aumentada com a introdução de novos pontos.

23 História Curvas de Bezier são curvas aproximativas; não passam necessariamente pelos pontos dados; alguns pontos de entrada são usados para controlar a forma da curva. em algumas atividades de projetos curvas por aproximação são preferidas Curvas de Bezier são creditadas a P. Bezier que desenvolveu a formulação em 1962, quando trabalhava para a Renaux na França usado no software UNISURF - projeto de painéis de carros.

24 De Casteljau Desenvolveu independentemente uma formulação para a Citroen em torno de (1959), para o CAD da empresa, mas não publicou o trabalho. Só foi conhecido nos anos 70.

25 Diferenças entre curvas de Bezier e splines A forma da curva é controlada somente por pontos de controle. O que dá ao projetista um sentimento melhor entre posição dos pontos e a forma da curva O grau da curva é variável e está relacionado ao número de pontos que vai definir a curva; n + 1 pontos define uma curva de ordem n; a curva de Bezier é mais suave que as curvas splines devido sua derivadas de alta ordem.

26 Componentes e nomenclatura das curvas de Bezier A curva é definida por n + 1 pontos de entrada; os pontos são chamados de dados ou pontos de controle; formam um polígono de controle ou polígono característico de Bezier que define unicamente a curva de Bezier; a curva interpola o primeiro e o último ponto ou vértices que estejam sobre a curva; os demais vértices definem a ordem, as derivadas e a forma da curva;

27 a curva é sempre tangente ao primeiro e último segmento do polígono de controle; a curva tende a seguir a forma do polígono de controle.

28 A equação matemática da curva para n + 1 pontos de controle e: P(u) = n i=0 P i B i,n (u) P(u) são pontos sobre a curva; P i são os pontos de controle; B i,n (u) são as polinomiais de Bernstein; B i,n (u) são conhecidas como funções de ajustes ou funções base da curva de Bezier e dado: B i,n (u) = C(n,i)u i (1 u) (n i) C(n, i) é o coeficiente binomial dado: C(n,i) = n! i!(n i)!

29 Propriedades das curvas de Bezier 1 A curva interpola o primeiro e último ponto; 2 A tangente à curva no primeiro é último ponto é proporcional ao comprimento do segmento do polígono característico; P r (0) = n! n r P r (1) = n! n r r i=0 r i=0 ( 1) r i C(r,i)P i ( 1) r i C(r,i)P n i Escrevendo a equação para a primeira derivada fica: P (0) = n(p 1 P 0 ) P (1) = n(p n P n 1 )

30 Propriedades 1 A curva é simétrica com respeito a u e 1 u reverter a ordem dos pontos não altera a forma da curva. 2 O máximo da polinomial de Bersntein B i,n (u) e dado por C(n,i)(i/n) i (1 i/n) ( n i) e ocorre em u = i/n. Isso significa que cada ponto de controle influencia mais a curva em u = i/n. 3 a forma da curva pode ser alterada pela variação de um ou mais vértices ou mantendo o polígono fixo usar múltiplos vértices coincidentes. 4 curvas fechadas são obtidas pelo uso de polígonos fechados ou seja P 0 = P n. 5 Para qualquer valor de u a soma de B i,n (u) = 1. Isso pode ser usado para verificar se a implementação da curva foi correta.

31 Curvas Paramétricas de Bezier Contorno convexo A curva de Bezier sempre estará dentro de um contorno convexo formado pelos seus pontos de controle; Isso relaciona a curva ao seu polígono característico; no plano o contorno convexo é um polígono; no espaço 3D o contorno convexo é poliedro Consequências desta propriedade se o polígono degenerar numa linha reta a curva é a própria linha reta; o tamanho do contorno convexo define o limite superior da curva; Em operações gráficas de recorte de curvas, pode-se testar se a curvas está dentro de um espaço, pelo teste de seu contorno convexo. a curva nunca oscila para distante dos seus pontos de controle.

32 Curvas Paramétricas de Bezier Estrutura de dados em CAE/CAD/CAM os pontos de controle na ordem de entrada uma função que calcule a curva a partir dos pontos entrados dados adicionais: camada, cor, nome, fonte e espessura da curva.

33 Curvas de Bezier Compostas A maioria das aplicações requerem lidar com curvas compostas; Isso implica em manter diferentes graus de continuidade; Continuidade C 0 : junção simples entre os segmentos de curvas; Continuidade C 1 : garantir que a tangente as curvas na junção sejam iguais. No exemplo (5.47) P 4 P 3 = 4 3 (P 5 P 4 ) Isso implica que os pontos próximos a junção vão definir a continuidade de tangentes entre eles; Se for forçado a continuidade C 2, os dois pontos anteriores e os dois pontos posteriores definirão esta continuidade e a forma da curva que satisfaz a ela.

34 Curvas Paramétricas de Bezier

35 Curvas Paramétricas de Bezier Desvantagens a curva não passa por todos os pontos de controle; falta controle local tem somente controle global como as curvas splines; a curva é dependente do número de pontos de controle, embora possa ser reduzida a uma formulação cúbica ou quártica para garantir certos graus de continuidade.

36 Representação Matemática de Curvas Ë uma curva própria e generalizada das curvas de Bezier; Compartilha as vantagens das curvas de Bezier, mas com novas vantagens; Controle local ao invés de controle global; consegue-se manter o grau da curva com adição de novos pontos de controle; pode ser interpolante ou aproximativa; As curvas B-spline separam o grau da curva do número dos pontos de controle; Na curva de Bezier quatro pontos de controle produzem sempre uma polinomial cúbica; na B-spline: pode ser uma reta, uma cônica (quadrática) ou cúbica.

37 Representação Matemática de Curvas A curva B-spline é definida também por n + 1 pontos de controle P(u) = n i=0 P i N i,k (u) 0 u u max onde N i,k (u) formam as funções base B-spline; pontos de controle P i são chamados de pontos de deboor; diferenças com a formulação de Bezier Lembrando, em Bezier n define o grau da curva e n + 1 o número de pontos de controle necessários; agora o parâmetro k controla o grau k 1 da curva B-spline; o limite de u não é mais a unidade, o seja, o espaço u é particionado, embora ainda linear;

38 Curvas Paramétricas B-spliner

39 Representação Matemática de Curvas Propriedades das funções B-spline Partição da unidade: n i=0 N i,k(u) = 1 garante que relação entre os pontos e curva é invariante e affine; Positividade: N i,k (u) 0 garante que a curva estará sempre dentro dos pontos de controle; Suporte local: N i,k (u) = 0 se u / [ u i, u i+k+1 ] indica que cada segmento de curva é influenciada somente por k pontos de controle ou que cada ponto de controle afeta k curvas; Continuidade: N i,k (u) é (k 2) vezes continuamente diferenciada.

40 Representação Matemática de Curvas As curvas B-spline foram desenvolvidas independentemente por Cox e deboor, que propuseram uma forma de recursão para determinar as funções base B-spline: N i,k 1 (u) N i,k (u) = (u u i ) + (u i+k u) N i+1,k 1(u) u ( i + k 1) u i u ( i + k) u i+1 onde N i,1 = { 1 u i u u i+1 0 qualquer outra coisa. algumas regras precisam ser seguidas: 0/0 = 0 Veja que N i,1 é uma função degrau.

41 Representação Matemática de Curvas Como N i,1 é constante para k = 1 um valor geral de k produz um polinômio de grau k 1; k é a ordem da curva; k 1 e o grau da curva. u j é chamado de valores de nós ou parâmetro nó; os nós são dados em uma seqüência não decrescente de inteiros; por eles a curva é definida como periódica (fechada) ou não periódica (aberta)

42 Representação Matemática de Curvas Para curvas abertas a seqüência de nós deve ser { 0, j < k u j = j k + 1, n k + 2, k j n j > n onde 0 j n + k e a faixa de u é 0 u n k 2 Estas relações mostram que: É preciso (n + k + 1) nós para criar uma curva de grau (k 1) definida por (n + 1) pontos de controle; os nós são igualmente espaçados; nós múltiplos pode existir; a faixa de u implica que o limite de k é dado pelo número de pontos de controle n k + 2 > 0.

43 Representação Matemática de Curvas Características das B-spline As curvas possuem controle local que pode ser obtida: pela mudança de posição dos pontos de controle; pelo uso de múltiplos pontos de controle; pela escolha de diferentes graus (k 1) da curva. a curva aberta passa pelo primeiro e último ponto de controle e como a Bezier é tangente ao segmento inicial e final do polígono de controle; quanto maior o grau da curva B-spline mais rígida é curva menor o grau mais perto do polígono de controle ela estará;

44 Representação Matemática de Curvas se k for igual ao número de pontos de controle n + 1, então a curva B-spline torna-se a curva de Bezier. A faixa de u estará entre 0 e 1. Pontos de controle múltiplos induz regiões de alta curvatura. É útil para criar cantos vivos. o aumento do grau da curva torna mais difícil de calculá-la e controlá-la.

45 Representação Matemática de Curvas Curvas fechadas A diferença entre curvas abertas e fechadas está: na escolha do nós e nas funções base; as curvas fechadas utilizam funções B-spline periódica como funções base e com nós inteiros; estas funções são traduções de funções canônicas simples com intervalos k como suporte; Exemplo: uma curva B-spline de ordem 2 (k = 2) ou grau 1 (k 1) a função base é linear. O vetor nó [ 0 12 ]

46 Representação Matemática de Curvas Curvas fechadas Uma curva fechada de grau (k 1) é definida por n + 1 pontos de controle, tem como equações: N i,k (u) = N 0,k ((u i n + 1)mod(n + 1)) u j = j, 0 j n < j n + 1 a faixa de u: 0 u n + 1

47 Representação Matemática de Curvas Curvas fechadas o operador mod { A, A < n A mod n = 0, A = n resto A/n, A > n

48 Representação Matemática de Curvas A teoria da B-spline tem sido estendida para permitir mais controle forma e continuidade da curva β-spline e ν-spline fornecem manipulação da forma curva mantendo a continuidade geométrica; β-spline é uma generalização da curva B-spline uniforme; controlado por fatores que tencione ou destencione a curva...

49 Representação Matemática de Curvas São dadas pela razão entre duas polinomiais; elas aparecem a partir da teoria de projeção geométrica; são consideradas invariantes quando submetidas a projeção geométrica; Qualquer tipo de formulação visto até aqui podem gerar curvas racionais; A mais usada são as NURBS: non-uniform rational B-spline; Sua teoria requer o entendimento de transformações no espaço homogêneo e coordenadas homogêneas; Coordenadas do 3 (x,y,z) são representadas no espaço E 4 como (x,y,z,h), onde h é fator escalar.

50 Representação Matemática de Curvas As curvas racionais são dadas por: P(u) = n i=0 P i R i,k (u) 0 u u max onde R i,k (u) são funções racionais dadas por R i,k (u) = h i N i,k (u) n i=0 h i N i,k (u) h i pode ser usado em cada ponto de controle para definir o comportamento da curva racional. A curva é definida pelos: pontos de controle conjunto de nós pelo vetor coordenadas homogêneas H = [ ] T h 0 h 1 h n