Interpolação em imagens
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- João Henrique Assunção Weber
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1 Processamento de Imagens Médicas Interpolação em imagens Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Informática Biomédica Depto. de Física e Matemática (FFCLRP/USP) 1
2 Principais Tópicos Introdução Método de interpolação por vizinhos próximos Método de interpolação linear Método de interpolação por convolução Método de interpolação Spline Interpolação em duas dimensões 2
3 Introdução Interpolação é o processo de estimar valores intermediários de uma função ou sinal discreto amostrado em posições no espaço contínuo. O objetivo concreto é obter uma estimativa ótima para valores de uma imagem em qualquer posição do espaço bidimensional de imagem: I( x, y), (x, y) R 2 Na prática, a função interpolada deve preservar o máximo de detalhes possíveis sem causar artefatos. 3
4 Introdução Interpolação é o processo de estimar valores intermediários de uma função ou sinal discreto amostrado em posições no espaço contínuo. 4
5 Interpolação por vizinhos próximos O método de interpolação mais simples possível é o operado pelo arredondamento da coordenada x pelo inteiro mais próximo u 0 e usa a amostra em g(u 0 ) como estimativa de g(x). 5
6 6 Outro método de interpolação simples é a interpolação linear. Aqui o valor estimado é a soma ponderada dos dois pontos mais próximos g(u 0 ) e g(u 0 +1), sendo u 0 =[x]. O peso de cada ponto é proporcional à proximidade da posição continua x. Interpolação linear ) ( 1) ( ) ( 1 0) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ˆ( u x u g u x u g u g u g u x u g x g
7 7 O peso de cada ponto é proporcional à proximidade da posição continua x. Interpolação linear ) ( 1) ( ) ( 1 0) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ˆ( u x u g u x u g u g u g u x u g x g
8 Interpolação Ideal A princípio, o problema de interpolação parece não ter uma solução definitiva, uma vez que dois pontos podem ser interpolado de uma infinidades de trajetórias. Há uma solução intuitiva se pensarmos em termos de banda de freqüências limitada. Não podendo conter sinais com freqüências maiores que metade da freqüência de amostragem. Isto significa que o sinal reconstruído pode conter apenas um conjunto limitado de freqüências definidos pela lei de Nyquist. 8
9 Interpolação Ideal Se considerarmos a freqüência amostral ω s = 2π, a máxima freqüência será ω max = ω s / 2 = π. Para isolar as freqüências devemos multiplicar o espectro pela janela quadrada o que é o filtro ideal em uma dimensão, cujo correspondente no espaço direto é a função Sinc: 9
10 Interpolação Ideal Espaço direto Espaço de Freqüências 10
11 Interpolação Ideal Calculo de valores interpolados: 11
12 Interpolação Ideal Se a função continua possui o espaço de freqüências adequadamente limitado (ω max = ω s / 2), ela pode ser exatamente reconstruída com interpolação ideal. Porem, uma função continua com componentes de alta freqüência, com transições rápidas como a figura acima (b, c), aparecem artefatos. 12
13 Interpolação Ideal A interpolação ideal não é prática porquê: 1. Como vimos ela impõe artefato quando a função contínua não tem a banda limitada adequadamente. 2. A função Sinc tem extensão infinita, e em tese, seriam necessários todos os pontos para o calculo do valor interpolado. 13
14 Interpolação cúbica A Solução para os problemas da interpolação ideal é truncar a função Sinc, como uma aproximação dela mesma, uma vez que os lóbulos distantes da função tem influências cada vez menores. A função Sinc truncada pode ser aproximada por uma função cúbica. 14
15 15 A função Sinc truncada pode ser aproximada por uma função cúbica. Interpolação cúbica 2 para 0 2 para para 0 1 3) ( 2) ( x x a x a x a x a x x a x a w cub
16 Interpolação cúbica interpolação cúbica variando o parâmetro a. a = 0,25 a = 1 a = 1,75 16
17 Splines Concepção: Splines são construídas como correspondências ótimas entre funções discretas e continuas. 17
18 Splines Definição: uma função s(x) é uma spline polinomial de grau n com nós...< x k <x k+1 <... Se satisfazem as seguintes duas propriedades: Polinômios por parte. s(x) é um polinômio de grau n dentro de cada intervalo. Função e derivadas continuas. s(x), s (x), s (x),... são continuas nos nós. Graus de liberdade por segmentos: n+1 - n = 1 Coeficientes polinomiais restrições grau de liberdade 18
19 Base de funções Expansão B-spline: s(x)= β 0 kζ (x)= 1, 1, 2 0 c(k)β x 1 2 = n < x < > x > (x k) β n (x)= β 0 (x) β 0 (x)... β 0 (x) n+1 vezes 19
20 Base de funções Convoluções = Bases de funções cada vez mais extensas 20
21 Extração dos coeficientes Função continua (interpolada) coeficientes Bspline 21
22 22 Extração dos coeficientes x x x x x x x 2 0, 2 1, , max min max min ) ( ) ( ), ( ), ( 3 3 k k k l l l l y k x l k c y x f
23 Interpolação em duas dimensões vizinhos próximos e interpolação linear 23
24 Interpolação em duas dimensões vizinhos próximos, interpolação bilinear e bicúbica 24
25 Transformação Deformável BSplines 25
26 Transformação Deformável y y Transformada Fixed Image x Moving Image x 26
27 Transformação Deformável y y Transformação Fixed Image x Moving Image x 27
28 Transformação Deformável y x 28
29 Transformação Deformável y x 29
30 Reamostando Imagens Imagens Fixas Interpoladoor Imagens em Movimento Filtro Resamostragem de Imagens Transformada BSpline Imagens Deformadas 30
31 Interpolação por convolução Em geral, podemos expressar uma interpolação como uma convolução de uma dada função discreta com uma função contínua que representa o núcleo da interpolação. gˆ ( x0) [ w g]( x0) u w( x0 u) g( u) 31
32 Interpolação por convolução vizinhos próximos e interpolação linear 32
33 BSplines Ordem Zero
34 BSplines Ordem Zero por partes Y =
35 BSplines Convolução
36 BSplines Area sobre a curva do produto
37 BSplines
38 BSplines Ordem Um
39 BSplines Order Um por partes Y = ( X + 1 ) Y = ( 1 - X )
40 BSplines Convolução
41 BSplines Convolução
42 BSplines Ordem Dois
43 BSplines Ordem Dois por partes Y = ( 1 2 X 2 ) Y = ( X + 3/2 ) 2 / 2 Y = ( X 3/2 ) 2 /
44 BSplines Convolução
45 BSplines Convolução
46 BSplines Ordem Três
47 BSplines Ordem Três Y = ( - 3X 3-6X )/6 por partes Y = ( 3X 3-6X )/6 Y = (2+X) 3 / 6 Y = (2-X) 3 /
48 BSplines Interpolando com BSplines 48
49 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais Próximos
50 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais próximos
51 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais próximos
52 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais próximos
53 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear
54 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear
55 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear
56 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear
57 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática
58 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática
59 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática
60 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática
61 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica
62 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica
63 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica
64 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica
65 BSplines BSplines Cúbicas em Duas Dimensões 65
66 BSplines em 2D Produto Tensor 66
67 BSplines em 2D Produto Tensor 67
68 BSplines em 2D Produto Tensor Separável 68
69 BSplines em 2D Suporte Nós na Região de Influência #Nós = 4 N 69
70 BSplines em 2D Interpolação Grade BSpline Grade de Reamostragem 70
71 BSplines em 2D Interpolação Grade BSpline Grade de Reamostragem 71
72 Grade Amostral y x 72
73 Grade BSpline Grade BSpline y Resampling Grid x 73
74 Grade BSplines & Grade Imagem 74
75 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline 75
76 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline Região Válida 76
77 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline 77
78 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline Região Válida 78
79 Interpolação BSplines Interpolando Vetores 79
80 Interpolando Vetores BSpline Grid y Resampling Grid x 80
81 Interpolando Vetores BSpline Grid y X Components Resampling Grid x 81
82 Interpolando Vetores BSpline Grid y X Components Resampling Grid x 82
83 Interpolando Vetores BSpline Grid y Y Components Resampling Grid x 83
84 Interpolando Vetores BSpline Grid y X Components Resampling Grid x 84
85 Alimentando a Transformada BSpline X Grade Y Grade Z Grade.. N Grade Dimensão N Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 85
86 Alimentando a Transformada BSpline Arranjo de Parâmetros Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 86
87 Alimentando a Transformada BSpline x 1 x 2 x 3 x 4 x 5... Arranjo y 1 y 2 de y 3 yparâmetros 4 y 5.. z 1 z 2 z 3 z 4. Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 87
88 Alimentando a Transformada BSpline x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4. x N y N z N Entradas Arranjo de parâmetros x 1 x 2 x 3 x 4 x 5... y 1 y 2 y 3 y 4 y 5.. z 1 z 2 z 3 z 4. Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 88
89 Interpolação BSplines Reamostrando Imagens Deformação BSpline 89
90 Reamostragem de imagens Imagens Fixas Interpoladoor Imagens em Movimento Filtro Resamostragem de Imagens Transformada BSpline Imagens Deformadas 90
91 Interpolação BSplines Lena Original 91
92 Interpolação BSplines Deformado com Transformada BSpline 92
93 Interpolação BSplines Lena Deformada Lena Original 93
94 Co-registro de imagens Co-registro Imagem Transformada BSpline 94
95 Co-registro de imagens Imagem Fixa Métrica Imagem Movimento Interpolador Otimizador Transformada Arranjo de Parâmetros 95
96 Co-registro c/ BSplines Deformável Deformada com Transformada BSpline 96
97 Co-registro c/ BSplines Deformável Co-registrada com transformada BSplines 97
98 Co-registro c/ BSplines Deformável Lena Original 98
99 Co-registro c/ BSplines Deformável Diferença antes do Co-registro Diferença após o Co-registro 99
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