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1 Processamento de Imagens Médicas Interpolação em imagens Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Informática Biomédica Depto. de Física e Matemática (FFCLRP/USP) 1

2 Principais Tópicos Introdução Método de interpolação por vizinhos próximos Método de interpolação linear Método de interpolação por convolução Método de interpolação Spline Interpolação em duas dimensões 2

3 Introdução Interpolação é o processo de estimar valores intermediários de uma função ou sinal discreto amostrado em posições no espaço contínuo. O objetivo concreto é obter uma estimativa ótima para valores de uma imagem em qualquer posição do espaço bidimensional de imagem: I( x, y), (x, y) R 2 Na prática, a função interpolada deve preservar o máximo de detalhes possíveis sem causar artefatos. 3

4 Introdução Interpolação é o processo de estimar valores intermediários de uma função ou sinal discreto amostrado em posições no espaço contínuo. 4

5 Interpolação por vizinhos próximos O método de interpolação mais simples possível é o operado pelo arredondamento da coordenada x pelo inteiro mais próximo u 0 e usa a amostra em g(u 0 ) como estimativa de g(x). 5

6 6 Outro método de interpolação simples é a interpolação linear. Aqui o valor estimado é a soma ponderada dos dois pontos mais próximos g(u 0 ) e g(u 0 +1), sendo u 0 =[x]. O peso de cada ponto é proporcional à proximidade da posição continua x. Interpolação linear ) ( 1) ( ) ( 1 0) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ˆ( u x u g u x u g u g u g u x u g x g

7 7 O peso de cada ponto é proporcional à proximidade da posição continua x. Interpolação linear ) ( 1) ( ) ( 1 0) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ˆ( u x u g u x u g u g u g u x u g x g

8 Interpolação Ideal A princípio, o problema de interpolação parece não ter uma solução definitiva, uma vez que dois pontos podem ser interpolado de uma infinidades de trajetórias. Há uma solução intuitiva se pensarmos em termos de banda de freqüências limitada. Não podendo conter sinais com freqüências maiores que metade da freqüência de amostragem. Isto significa que o sinal reconstruído pode conter apenas um conjunto limitado de freqüências definidos pela lei de Nyquist. 8

9 Interpolação Ideal Se considerarmos a freqüência amostral ω s = 2π, a máxima freqüência será ω max = ω s / 2 = π. Para isolar as freqüências devemos multiplicar o espectro pela janela quadrada o que é o filtro ideal em uma dimensão, cujo correspondente no espaço direto é a função Sinc: 9

10 Interpolação Ideal Espaço direto Espaço de Freqüências 10

11 Interpolação Ideal Calculo de valores interpolados: 11

12 Interpolação Ideal Se a função continua possui o espaço de freqüências adequadamente limitado (ω max = ω s / 2), ela pode ser exatamente reconstruída com interpolação ideal. Porem, uma função continua com componentes de alta freqüência, com transições rápidas como a figura acima (b, c), aparecem artefatos. 12

13 Interpolação Ideal A interpolação ideal não é prática porquê: 1. Como vimos ela impõe artefato quando a função contínua não tem a banda limitada adequadamente. 2. A função Sinc tem extensão infinita, e em tese, seriam necessários todos os pontos para o calculo do valor interpolado. 13

14 Interpolação cúbica A Solução para os problemas da interpolação ideal é truncar a função Sinc, como uma aproximação dela mesma, uma vez que os lóbulos distantes da função tem influências cada vez menores. A função Sinc truncada pode ser aproximada por uma função cúbica. 14

15 15 A função Sinc truncada pode ser aproximada por uma função cúbica. Interpolação cúbica 2 para 0 2 para para 0 1 3) ( 2) ( x x a x a x a x a x x a x a w cub

16 Interpolação cúbica interpolação cúbica variando o parâmetro a. a = 0,25 a = 1 a = 1,75 16

17 Splines Concepção: Splines são construídas como correspondências ótimas entre funções discretas e continuas. 17

18 Splines Definição: uma função s(x) é uma spline polinomial de grau n com nós...< x k <x k+1 <... Se satisfazem as seguintes duas propriedades: Polinômios por parte. s(x) é um polinômio de grau n dentro de cada intervalo. Função e derivadas continuas. s(x), s (x), s (x),... são continuas nos nós. Graus de liberdade por segmentos: n+1 - n = 1 Coeficientes polinomiais restrições grau de liberdade 18

19 Base de funções Expansão B-spline: s(x)= β 0 kζ (x)= 1, 1, 2 0 c(k)β x 1 2 = n < x < > x > (x k) β n (x)= β 0 (x) β 0 (x)... β 0 (x) n+1 vezes 19

20 Base de funções Convoluções = Bases de funções cada vez mais extensas 20

21 Extração dos coeficientes Função continua (interpolada) coeficientes Bspline 21

22 22 Extração dos coeficientes x x x x x x x 2 0, 2 1, , max min max min ) ( ) ( ), ( ), ( 3 3 k k k l l l l y k x l k c y x f

23 Interpolação em duas dimensões vizinhos próximos e interpolação linear 23

24 Interpolação em duas dimensões vizinhos próximos, interpolação bilinear e bicúbica 24

25 Transformação Deformável BSplines 25

26 Transformação Deformável y y Transformada Fixed Image x Moving Image x 26

27 Transformação Deformável y y Transformação Fixed Image x Moving Image x 27

28 Transformação Deformável y x 28

29 Transformação Deformável y x 29

30 Reamostando Imagens Imagens Fixas Interpoladoor Imagens em Movimento Filtro Resamostragem de Imagens Transformada BSpline Imagens Deformadas 30

31 Interpolação por convolução Em geral, podemos expressar uma interpolação como uma convolução de uma dada função discreta com uma função contínua que representa o núcleo da interpolação. gˆ ( x0) [ w g]( x0) u w( x0 u) g( u) 31

32 Interpolação por convolução vizinhos próximos e interpolação linear 32

33 BSplines Ordem Zero

34 BSplines Ordem Zero por partes Y =

35 BSplines Convolução

36 BSplines Area sobre a curva do produto

37 BSplines

38 BSplines Ordem Um

39 BSplines Order Um por partes Y = ( X + 1 ) Y = ( 1 - X )

40 BSplines Convolução

41 BSplines Convolução

42 BSplines Ordem Dois

43 BSplines Ordem Dois por partes Y = ( 1 2 X 2 ) Y = ( X + 3/2 ) 2 / 2 Y = ( X 3/2 ) 2 /

44 BSplines Convolução

45 BSplines Convolução

46 BSplines Ordem Três

47 BSplines Ordem Três Y = ( - 3X 3-6X )/6 por partes Y = ( 3X 3-6X )/6 Y = (2+X) 3 / 6 Y = (2-X) 3 /

48 BSplines Interpolando com BSplines 48

49 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais Próximos

50 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais próximos

51 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais próximos

52 Interpolação BSplines Ordem Zero Vizinhos mais próximos

53 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear

54 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear

55 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear

56 Interpolação BSplines Primeira Ordem Interpolaçào Linear

57 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática

58 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática

59 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática

60 Interpolação BSplines Segunda Ordem Interpolação Quadrática

61 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica

62 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica

63 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica

64 Interpolação BSplines Terceira Ordem Interpolação Cúbica

65 BSplines BSplines Cúbicas em Duas Dimensões 65

66 BSplines em 2D Produto Tensor 66

67 BSplines em 2D Produto Tensor 67

68 BSplines em 2D Produto Tensor Separável 68

69 BSplines em 2D Suporte Nós na Região de Influência #Nós = 4 N 69

70 BSplines em 2D Interpolação Grade BSpline Grade de Reamostragem 70

71 BSplines em 2D Interpolação Grade BSpline Grade de Reamostragem 71

72 Grade Amostral y x 72

73 Grade BSpline Grade BSpline y Resampling Grid x 73

74 Grade BSplines & Grade Imagem 74

75 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline 75

76 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline Região Válida 76

77 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline 77

78 Grade BSplines & Grade Imagem Grade BSpline Região Válida 78

79 Interpolação BSplines Interpolando Vetores 79

80 Interpolando Vetores BSpline Grid y Resampling Grid x 80

81 Interpolando Vetores BSpline Grid y X Components Resampling Grid x 81

82 Interpolando Vetores BSpline Grid y X Components Resampling Grid x 82

83 Interpolando Vetores BSpline Grid y Y Components Resampling Grid x 83

84 Interpolando Vetores BSpline Grid y X Components Resampling Grid x 84

85 Alimentando a Transformada BSpline X Grade Y Grade Z Grade.. N Grade Dimensão N Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 85

86 Alimentando a Transformada BSpline Arranjo de Parâmetros Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 86

87 Alimentando a Transformada BSpline x 1 x 2 x 3 x 4 x 5... Arranjo y 1 y 2 de y 3 yparâmetros 4 y 5.. z 1 z 2 z 3 z 4. Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 87

88 Alimentando a Transformada BSpline x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4. x N y N z N Entradas Arranjo de parâmetros x 1 x 2 x 3 x 4 x 5... y 1 y 2 y 3 y 4 y 5.. z 1 z 2 z 3 z 4. Ponto de Entrada Transformada BSpline Ponto de Saída x 88

89 Interpolação BSplines Reamostrando Imagens Deformação BSpline 89

90 Reamostragem de imagens Imagens Fixas Interpoladoor Imagens em Movimento Filtro Resamostragem de Imagens Transformada BSpline Imagens Deformadas 90

91 Interpolação BSplines Lena Original 91

92 Interpolação BSplines Deformado com Transformada BSpline 92

93 Interpolação BSplines Lena Deformada Lena Original 93

94 Co-registro de imagens Co-registro Imagem Transformada BSpline 94

95 Co-registro de imagens Imagem Fixa Métrica Imagem Movimento Interpolador Otimizador Transformada Arranjo de Parâmetros 95

96 Co-registro c/ BSplines Deformável Deformada com Transformada BSpline 96

97 Co-registro c/ BSplines Deformável Co-registrada com transformada BSplines 97

98 Co-registro c/ BSplines Deformável Lena Original 98

99 Co-registro c/ BSplines Deformável Diferença antes do Co-registro Diferença após o Co-registro 99

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