Prof. Dr. Eduardo Lenz Cardoso

Transcrição

1 Introdução ao Método dos Elementos Finitos Prof. Dr. Eduardo Lenz Cardoso

2 Breve Curriculo Dr. Eng Mecânica UFRGS/DTU Prof. Subst. UFRGS (Mecânica dos Sólidos I/ MEF/ Mecânica dos Sólidos III) Prof. Adjunto UDESC (Projeto Mecânico) Areas de trabalho: Mecânica computacional, com ênfase em problemas acoplados e não lineares; Otimização, com ênfase em Otimização Topológica

3 Sumário 1 Histórico / Conceituação; Modelos Estruturais; Revisão do modelo de barra / Rigidez de uma barra; Elemento finito de uma barra; Rotação do sistema de coordenadas; Montagem do sistema global; Solução do problema de elementos finitos;

4 Método dos Elementos Finitos Origem nos anos 40 (Courant); Avanço rápido nos ultimos 30 anos, devido aos avanços tecnológicos ocorridos nos equipamentos computacionais; Ele consiste basicamente em uma adaptação/modificação de métodos de aproximação conhecidos já no início do século passado, como por exemplo o Método de Ritz (1909)

5 Método dos Elementos Finitos Ele é atualmente considerado um método matemático para a solução de equações diferenciais parciais,comumente encontradas em problemas de Engenharia, embora tenha tido um desenvolvimento com base mais física, antes do desenvolvimento matemático posterior.

6 Método dos Elementos Finitos Várias maneiras de deduzir : Dedução clássica: conceito físico de rigidez ; Mais apropriada para elementos simples Dedução matemática: conceitos energéticos; Adequada para qualquer tipo de elemento

7 Abordagem Proposta Introdução ao método dos elementos finitos: conceitos básicos, utilizando abordagem direta; Elementos Finitos I: conceitos intermediários, utilizando a abordagem energética; Elementos Finitos II: problemas dinâmicos; Elementos Finitos III: tópicos avançados.

8 Exposição da Matéria / Avaliação Aula expositiva, apresentando a teoria; Aula prática, para utilização de um programa de elementos finitos; Avaliação 1: questionário sobre a matéria apresentada em sala de aula (com consulta); Avaliação 2: trabalho prático, utilizando o programa de elementos finitos.

9 Utilização em um Problema de Engenharia

10 Modelos Estruturais Vários problemas de engenharia apresentam características comuns; Eixo: comprido, feito de material isotrópico, submetido a um torque; Treliça: formado por barras compridas e retas, isotrópicas, submetidas a esforços normais;

11 Modelos Estruturais Nestes casos, faz sentido particularizar as equações gerais da elasticidade para lidar com estas situações específicas: a estas particularizações, chamamos modelos estruturais; Barras, vigas, eixos, placas, cascas, etc...

12 Obtenção de um Modelo Estrutural Hipóteses geométricas; Hipóteses materiais; Hipóteses de carregamento; Hipóteses de comportamento.

13 Modelo de Barra

14 Modelo de Barra Geometria Comprimento L >> demais dimensões transversais ; Seção transversal constante (qualquer formato); Sistema de referencia local xyz (centroidal)

15 Modelo de Barra Material Homogêneo; Isotrópico; Regime Elástico; Regime Linear.

16 Modelo de Barra Carregamento Somente carregamento axial; Não pode gerar momentos ou cortantes; A forma de aplicação da força não importa se L >>

17 Modelo de Barra Comportamento Fluxo de forças constante longe do ponto de aplicação da força;

18 Modelo de barra Consequência 1 Somente tensão normal constante ao longo de uma seção transversal

19 Modelo de barra Consequência 2 Somente deslocamentos axiais ; Todos os pontos de uma seção tem o mesmo deslocamento axial

20 Modelo de Barra Caso Particular Assim, se forças forem aplicadas somente nas extremidades, verificamos que tanto a tensão quanto a deformação são homogêneas: P L u

21 Modelo de Barra Caso Particular Em qualquer ponto Em qualquer ponto

22 Rigidez de uma Barra Vamos considerar uma barra presa na extremidade 1 e com uma força aplicada na extremidade 2: P P 2 L P 1 u 2 2

23 Rigidez de uma barra Neste caso, podemos fazer uma analogia com uma mola em extensão, onde o deslocamento é proporcional a uma constante de rigidez;

24 Matriz de Rigidez de uma Barra Assim, podemos verificar que: P 2 L P P 1 u 2 2

25 Matriz de Rigidez de uma Barra Ou, no outro lado: (x positivo para a direita) P 1 L P 1 P u 1 2

26 Matriz de Rigidez de uma Barra Como o problema é linear, podemos considerar agora um caso geral, onde as duas extremidades são carregadas e apresentam deslocamentos ; Neste caso, basta somar os resultados obtidos anteriormente:

27 Matriz de rigidez de uma Barra

28 Matriz de Rigidez Este sistema de equações caracteriza o modelo de barra: Matriz de Rigidez Vetor de deslocamentos nas extremidades Vetor de deforças axiais nas extremidades

29 Elemento Finito de Barra Descrito por sua matriz de rigidez Ke e por forças e deslocamentos em pontos pré estabelecidos (nós) E, A e L nó 2 nó 1

30 Elemento Finito de Barra Assim, se tivermos várias barras, basta conectar os elementos. Isto implica em conectar as matrizes de rigidez de cada elemento, formando um sistema cada vez maior.

31 Exemplo Uma barra modelada pela união de 3 elementos finitos de barras. P u1 u2 u3 u4 P nó 1 (2) u1 nó 2 nó 3 (2) u2 nó 4

32 Exemplo. Cuidado: existem informações do problema (Globais) e dos elementos (Locais). As matrizes de cada elemento são informações locais.

33 Exemplo Assim, cada elemento tem uma contribuição no sistema global, que representa toda a estrutura:

34 Exemplo

35 Exemplo E, somando as contribuições, vizando manter o equilíbrio de forças, observamos que

36 Exemplo Assim, substituindo as contribuições, obtemos

37 Exemplo Nunca esquecendo de informar as condições de contorno do problema: u(0)=u1=0 e P(L)=P4=P

38 Solução do Sistema de Equações Etapa que demanda tempo computacional; Exponencialmente proporcional ao número de nós considerados;

39 Treliças Rotação do sistema de coordenadas Cada elemento de barra foi deduzido no seu sistema de referência, além de ter apenas desloc. axiais.

40 Rotação do sistema de referência Sistema local faz um ângulo teta em relação ao sistema global; gl axial w, gls globais u e v

41 Rotação do sistema de referência

42 Rotação do sistema de coordenadas Primeiro rotacionamos os deslocamentos dos nós da barra (LOCAL >GLOBAL)

43 Rotação do sistema de coordenadas Depois rotacionamos as forças nos nós.

44 Rotação do sistema de coordenadas Finalmente, rearranjamos o sistema, obtendo uma nova expressão para a matriz do elemento, agora em coord. globais.

45 Treliça

46 Treliça

47 Sumário 2 Revisão do modelo de eixo circular / Rigidez torcional de um eixo; Elemento finito de eixo circular; Rotação do sistema de coordenadas; Montagem do sistema global;

48 Modelo Estrutural de Eixo Circular

49 Modelo Estrutural de Eixo Circular Comprimento L >> demais dimensões transversais ; Seção transversal constante e circular; Sistema de referencia local xyz

50 Modelo de eixo circular Material Homogêneo; Isotrópico; Regime Elástico; Regime Linear. (igual ao de barra)

51 Modelo de eixo circular Carregamento Somente torque ; A forma de aplicação não importa se L >>

52 Modelo de eixo circular Comportamento Material é isotrópico, as seções são circulares, o carregamento é apenas torque e o giro máximo é pequeno

53 Eixo Circular Consequência 1 Não ocorre empenamento

54 Eixo Circular Consequência 1 Único grau de liberdade de uma seção transversal : giro da seção transversal +

55 Deformação angular em eixos

56 Rigidez torcional de um eixo

57 Matriz de Rigidez um eixo Se fixarmos a extremidade 1 do eixo e aplicarmos um torque na extremidade 2, iremos obter um giro, proporcional a rigidez:

58 Matriz de Rigidez um eixo Se fixarmos a extremidade 2 do eixo e aplicarmos um torque na extremidade 2, iremos obter um giro, proporcional a rigidez:

59 Matriz de Rigidez Torcional de um eixo Podemos sobrepor as equações deduzidas, obtendo uma forma matricial; Este sistema de equações caracteriza o modelo de eixo circular:

60 Associação de Eixos Rotação do sistema de coordenadas segue a mesma lógica de barras; Associação de elementos segue a mesma lógica de barras; Repetir o exemplo anterior trocando o apoio esquerdo por um engaste e a força por um torque.

61 Sumário 3 Revisão do modelo de viga longa / Rigidez de uma viga; Elemento finito de viga longa; Elemento finito de pórtico plano; Rotação do sistema de coordenadas; Montagem do sistema global;

62 Modelo Estrutural de Viga Longa (Euler Bernoulli)

63 Modelo de Viga Longa Geometria Comprimento L >> demais dimensões transversais ; Seção transversal constante; Sistema de referencia local xyz; Simetria no plano de flexão;

64 Modelo de Viga Longa Material Homogêneo; Isotrópico; Regime Elástico; Regime Linear.

65 Modelo de Viga Longa Carregamento Flexão pura > somente momentos fletores (não são considerados, inicialmente, efeitos associados ao cortante); M

66 Teoria de Vigas Longas Comportamento 1 Se a flexão for pequena, então a altura e a espessura da viga se mantém constantes; h x h x

67 Teoria de Vigas Longas Comportamento 1 Assim, todos os pontos de uma seção transversal tem o mesmo deslocamento vertical v; Conceito de linha elástica. v(x) v(x)

68 Graus de Liberdade de uma Viga longa Deslocamento transversal: v(x); Rotação da linha elástica: (x) (x) v(x)

69 Modelo de Viga Longa Comportamento 2 Hipótese das seções planas: seção transversal gira, sem entortar ; Decorrencia direta do fato de estarmos aplicando somente momentos fletores. x x

70 Modelo de viga longa comportamento 2 Assim, os pontos de uma determinada seção transversal são submetidos somente a deformações e tensões normais; +

71 Validade do modelo de viga longa Se a viga for longa, mesmo a aplicação de uma força transversal provoca momento mais intenso do que o cortante. F V = F M = F*L

72 Rigidez de uma viga longa O procedimento é análogo aos anteriores (barra e eixo), com a diferença de que temos 2 graus de liberdade, ao invés de 1; Modelo de viga longa:

73 Rigidez Flexional de Viga Longa Se E e I forem constantes, podemos integrar esta equação 2 vezes:

74 Matriz de Rigidez de uma Viga Longa Vamos aplicar uma força transversal na extremidade da direita, mantendo os outros graus de liberdade fixos; M F F M

75 Matriz de rigidez de uma viga longa

76 Matriz de Rigidez de uma viga longa Vamos aplicar um momento fletor na extremidade da direita, mantendo os outros graus de liberdade fixos; F M F M

77 Matriz de Rigidez de Viga Longa O mesmo procedimento deve ser repetido para os dois graus de liberdade do lado esquerdo; Ao sobrepor as equações, obtemos:

78 Matriz de Rigidez de Viga

79 Carregamento Distribuído Conceito de reações de engastamento perfeito; Novamente, tiramos proveito da linearidade do problema; Carregamento com variação linear. q2 q1

80 Carregamento Distribuído Basta sobrepor as reações na hora de deduzir a matriz de rigidez; Não modifica a rigidez.

81 Elemento Finito de Pórtico Plano União de efeito Axial (barra) e flexional (Viga Longa): 3 graus de liberdade por nó.

82 Elemento Finito de Pórtico Plano Rigidez Axial > barra

83 Elemento Finito de Pórtico Plano Rigidez Flexional > viga

84 Elemento Finito de Pórtico Plano Sobrepondo:

85 Rotação do Sistema de Coordenadas F F nó 2 nó 3 b nó 1 a

86 Rotação do Sistema de Coordenadas F x nó 2 x nó 3 Sistemas locais rotacionados em torno do eixo Z Y nó 1 X

87 Rotação do Sistema de Coordenadas Somente as forças e deslocamentos precisam ser rotacionados. Os momentos em torno de Z e os giros não não se alteram!

88 Rotação do Sistema de Coordenadas

89 Rotação do Sistema de Coordenadas

90 Sobreposição das Matrizes de Rigidez dos Elementos

91 Matriz de Rigidez Simétrica; Esparsa depende da numeração dos nós; Positivo Definida;

92 Sumário 4 Estrutura de um programa de elementos finitos; Exemplos / Considerações;

93 Estrutura de um Programa de Elementos Finitos Pré processamento; Solver; Pós Processamento

94 Pré Processamento Definição da geometria do problema (pode ser importado de um CAD); Posição dos nós; Conectividade dos elementos; Carregamentos; Apoios; PODE SER REALIZADO EM UM PROGRAMA SEPARADO

95 Solver (CAE) Montagem do sistema global de equações; Aplicação das condições de contorno; Solução do sistema global de equações; ESTE É O PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS

96 Pós Processamento Os resultados são deslocamentos / giros nos nós; Qualquer outra grandeza deve ser pós processada, ie, calculada em função dos resultados nodais; Menor precisão nestes cálculos; PODE SER REALIZADO EM UM PROGRAMA SEPARADO

97 Qualidade do Resultado Em primeiro lugar: quem limita o escopo da análise é o modelo considerado; O elemento finito irá adicionar uma série de aproximações sobre o modelo estrutural;

98 Exemplo 1 > Barra Seção constante A; Submetida ao peso próprio; Solução exata: Elemento só consegue representar um campo linear de deslocamentos; Solução: utilizar mais de um elemento (solução aproximada)

99 Exemplo Refino nó 1 nó 2 nó 3 nó 4 Refino da malha: solução melhora a medida que aumentamos o número de elementos

100 Exemplo Convergência Solução Numero de elementos

101 Exemplo 2 > Viga Viga submetida a carregamento distribuído quadrático; Devemos utilizar vários elementos com aproximações lineares para o carregamento;

102 Descontinuidades Geométricas Modelos estruturais não levam em consideração as concentrações de tensão; Correção posterior utilizando Kt